Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quinta. Capitulum primum. . </p>
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      re, se ’l quadrato dela mitá .gz. avanza ala superficie del .ge. in .gz. overo sia a quella igua-
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      le, che sia l’ una .gi. e l’ altra .iz. E compise la retta .id. infino al ponto .t. Dico adonca el trian-
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      golo .abg. esser diviso in .2. parti iguali dala linea .idt., che cosí te ’l proveró. Perché, a mul-
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      tiplicare del .ge. in .gz. è iguale ala multiplicatione del .gi. in .iz., sará cosí .gz. al .zi. comme .ig.
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      al .eg. Onde sia cosí .zg. al’ altra parte di sé, cioé al .ig., comme .ig. al’ altra parte di sé, cioé al .ie.
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      Ma è cosí .gi. al .ie., cosí .gt. al .de. Adunca cosí .gz., al .ig., cosí .gt. al .de. Ma la multiplicatio-
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      ne del .zg. in .de. è la mitá dela multiplicatione del .ag. in .bg., onde il triangulo .itg. è la mitá
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      triangulo .abg., comme dicemmo. E, acioché questo s’ abia neli numeri, sia .ab.13. e
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      .ag.15. e .bg.14. E faciase .ac. catetto, che sia .12. E il cadimemo .bc. sia .5. e .cg. sia .9. e il ponto
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      .d. sia infra il catetto e l’ angolo .g. E faciase la linea .dk. equedistante al catetto e sia .3. E me-
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      nise la linea .edl., e e al lato .bg., e sia .ld. 3/16. d’ uno. Voglio, pel ponto .d., menare una
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      linea che divida lo triangulo .abg. in .2. parti iguali. In questo modo .kc. è iguale e equedistante
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      al .ld. e il .dk. sia iguale e equedistante ala linea .lc., dove .lc. è .3. e .kc. sia .3/16. e .al. rimará .9. e la
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      linea .le. sia .6 1/4., che in questo modo lo troverai. Nel triangulo .acg. la linea .le. è equidistan-
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      te ala linea .cg. Sará cosí .al. al .ac. comme .le. al .gc., per la .2a. del sexto. Dove, multiplicato .al.,
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      ch’ é .9., per .gc., che è ancora .9., fanno .81. che, diviso per .ac., ne viene .6 3/4. per la linea .le., dela qua-
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      le, tratta .ld., cioé .3/16., rimarrá .de.6 9/16., per lo quale numero se divideremo la mitá del fatto del
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      .ag. in .bg., cioé .105., ne perverrá .16. per la linea .gz. Ancora, perché gli é cosí .al. al .ac., cosí .ae. al .ag.,
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      sia .ae.11 1/4., cioé diviso la multiplicatione del .al. in .ag. per .ac., dove .eg. fieno .3 3/4., cioé il quar-
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      to dela linea .ga., per la quale multiplicato la linea .gz., fanno .60. Adunque abiamo a dividere
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      .16. in .2. parti che, multiplicata l’ una per l’ altra, facino .60. Dove del quadrato dela mitá di .16.
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      cioé .64., ne trarrai .60., rimane .4., del quale la radici è .2., dove, che tratta di .8., riman .6. per una
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      parte. L’ altra sia infino in .16., che è .10. Adunque .gi. sia .10. Dipoi, diviso .105. per .gi., cioé per
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      .10., ne viene .10 1/2. per la linea .gt., che passa per lo ponto .d., e la linea .ti. sia radice di .80 1/4., che
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      la troverai, se il catetto .in. troverrai che sia .8. e .ng. sia .6., ch’ era da mostrare.
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      Se’ l ponto datto fosse di fora del triangulo dal quale vogliamo menare la linea che
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      divida il detto triangulo in .2. parti iguali. Comme sia il ponto dato .d., fuori del tri-
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      angulo .abg. E voglio dividere il detto triangolo in .2. parti iguali dala linea che
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      si muova dal ponto .d. Io meneró la linea .ad., segante il lato .bg. nel ponto .e. E,
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      se la retta .be. è iguale ala retta .eg., noi aremo il proposito, che giá molte volte l’ abiamo det-
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      to. Adunque la linea .aed. sarebe quella che dividerebe il detto triangulo in .2. parti iguali.
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      Ma non sia .be. iguali al .eg., ma sia una di loro magiore e sia .be. magiore del .eg.
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      e dal ponto .d. si meni la retta .dz. equidistante ala linea .be. E menise la retta
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      .ab. infino tochi lo ponto .z. E, perché la retta .be. è magiore dela mità del lato
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      .bg., la superficie fatta dal .be. in .ba. é piú che la mitá dela superficie fatta dal .ba.
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      in .bg. E ancora molto piú è la superficie .ba. in .zd. che la mitá dela superficie del .ba. in .gb.,
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      imperoché magiore è .zd. che .bc. Piglise adunca la superficie .ib. in .zd., che sia iguale ala
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      mitá dela superficie del .ab. in .bg. E, perché magiore è la superficie del .ab. in .be. dela super-
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      ficie del .ib. in .zd., sará la proportione del .zd. al .de. minore dela proportione del .ba. al .bi.
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      Ma la proportione del .zd. al .be. è iguale ala proportione del .za. al .ab. E, per la disgionta
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      proportionalitá, sirá la proportione del .zb. al .ba. minore dela proportione de .ai. al .ib. On-
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      de la superficie del .zb. in .bi. è minore dela superficie .ba. in .ai. Agiungase adunca ala retta
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      .bi. uno paralello iguale ala superficie del .z.b. in .bi., cioé che ala retta .bi. s’ agiunga alcuna li-
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      nea che, multiplicata in sé e nel .ib., facia iguali ala multiplicatione del .zb. in .bi., che sia .ti., e com-
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      pise la retta .tkd. La quale linea divide il triangulo .abg. in .2. parti iguali, commo volava-
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      mo. E con numeri. Sia .ab.13. e .ag.15. e .gb.14. e .zd.10 2/5. e .bz. 1 3/7. Voglio dal ponto .d. mena-
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      re la linea che divida il triangulo .abg. in .2. parti iguali. Divideró la mitá dela multiplica-
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      tione del .ab. in .bg., cioé .91., per .dz., cioé per .10 2/5. e verrane .8 3/4. per la linea .bi. E multiplica-
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      ró .zb., cioé .1 3/7. per .8 3/4., fanno .12 1/2., a’ quali agiongneró. Il quadrato dela mitá dela linea .bi., cioé
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      la multiplicatione de .4 3/6. in sé, che fanno .19 9/64. che, con .12 1/2., fanno .31. e .41/64., de’ quali la radici è
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      .5 5/8. per la linea .lt., ai quali, agionto .lb., che è .4 3/6., fanno .10. per la linea .tb. E, perché gli é cosí el
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