Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quinta. Capitulum </p>
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      .zt. al .tb., cosí .zd. al .bk., multiplicaró .zd. in .bt., cioé .10 3/5. per .10., fanno .104., lo quale divi-
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      deró per 11 3/7., cioé per la linea .zt., vienne .9 1/10. per la linea .bk. overo .91., che sonno la mitá
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      dela superficie del .ab. in .bg. Divideró per .bt., cioé per .10., similmente ne viene .9 1/10.
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      per la linea .bk. E cosí sia il triangolo .abg. diviso in .2. parti iguali dala linea .tkd., comme era
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      de bisogno. E questo del dividere el triangolo in .2. parti iguali sia abastanza e daremo mo-
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      do a dividere quello in .3. o piú parti e peró starai </p>
      <p class="main"> Sia dato uno triangolo .abg. del quale voglio torne la terza parte per una linea
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      cadente da uno angolo. Dico che bisogna che quella linea caggia in sul terzo de-
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      la facia oposta a quello angolo, comme per la linea .ad., che è .bd. il terzo dela linea
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      overo lato .bg. che, per quel che s’ é detto, chiaro si manifesta. Adunque, essendo
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      .ab.13. e .bg.15. e .ga.14. lo .bd. sia </p>
      <p class="main"> E, volendo il detto triangolo diveder per terzo, cioé .3. parti iguali, dale linee .de. e
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      .if., e voglio sapere quanto è dal .a. al .d. e dal .a. al .e. e quanto è la linea .ed. e anco-
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      ra quanto .ef. e .ai. e .if. Multiplicarai .ab. in sé, cioé .13. in sé, fanno .169. De’ quali pi-
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      glia il .1/3., che è .56 1/3., e la radice di .56 1/3. è .ae. E, per lo lato .ag., multiplica .14. in sé, fan-
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      no .196. De’ quali il 1/3. è .65 1/3. e la radici de .65 1/3. é la linea .ad. E, per .ed., multiplica .bg. in sé, fanno
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      .225. De’ quali il .1/3. è .75. e radici di .75. è .ed. E, dipoi, piglia e .2/3. di .169., che sonno .112 2/3., e radici
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      di .112 2/3. é la linea .ai. e piglia e .2/3. di .196., che sonno .130 2/3., e radice di .130 2/3. sia la linea .af. E pi-
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      glia e .2/3. di .225., che sonno .150., e radice di .150. sia la linea .if. e cosí opera in simili.
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      E, volendo il detto triangolo dividere in .2. parti iguali per la linea .pq., e vorai sa-
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      pere quanto è .ap. e .aq. e quanto è .pq. Multiplicarai .13. in sé, fanno .169. e di quel
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      piglia la mitá, che è .84 1/2., e radici de .84 1/2. sia .ap. E, dipoi, multiplica .14. in sé, fanno
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      .196. De’ quali la mitá è .98., la cui radici è la linea .pq. E, dipoi, multiplica .15. in sé, fan-
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      no .225. De’ quali la mitá è .112 1/2. e radici de .112 1/2. é la linea .pq. E cosí, in similianti, è da operare.
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      E, se si dá un ponto in sul lato del triangolo. Comme nel triangolo .gbd. e sia nel
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      lato .dg. dato il ponto .z. E voglio dal ponto .z. menare una linea che del triango-
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      lo ne tolga il .1/3. Adimando in che parte dela linea .bd. tocherá la linea che si muo-
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      ve dal .z. E questo modo farai. Overo il ponto .z. é in sul terzo dela facia .gd. o non.
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      Se gli é in sul terzo, alora si muova la linea dal ponto .z. e vada in sul’ angolo oposto. E, com-
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      me ó detto, la linea .bz. harebbe diviso il triangolo in terza parte. Ma, se ’l ponto .z. non è in sul ter-
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      zo dela linea overo lato .gd. overo .gz. sia piú che ’l terzo overo meno. Sia prima meno:
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      dove togli del .gd. la terza parte e sia .ag. e compise la retta .ai. equedistante ala linea .bz. E, di-
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      poi si facia la linea .zi., la quale divide lo triangolo .bgd. in terza parte, cioé lo quadrilatero
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      .bgzi. é il terzo del detto triangolo. Dove, con numeri, sia .gz.3., dove .zd. sia .12. E multiplichi-
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      se .gd. per .db., cioé .15. per .14., fanno .210. De’ quali togli e .2/3., sonno .140., li quali dividi per .12.,
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      haremo .11 2/3. e .11 2/3. è la linea .di. E questo volavamo mostrare.
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      E, se ’l ponto .z. è dato in modo che .zg. sia piú che ’l .1/3. e meno che .2/3., faciase dal lato
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      del’ angolo .d. la terza parte del .dg., che sia .ed. e menise .ei. E, dipoi, si meni .zi. Di-
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      co .zi. essere quella linea che divide il triangolo in terza parte. Cioé che ’l triangolo
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      .zid. è il terzo del triangolo .bgd. Che con numeri sia .gz.9. e multiplicarai .gd. per
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      .db., cioé .15. per .14., fanno .210. Del quale il .1/3. è .70. che, diviso per .9., ne viene .7 7/9. per la linea
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      .di. E cosí sempre a simigliante é da operare. E, se ’l ponto dato fosse infra ’l .e. e .d., operaresti com-
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      me in quella fatta innanze ala </p>
      <p class="main"> Ancora sia il triangolo .abg. il quale voglio dividere in .3. parti iguali. Dele quali
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      parti ciascuna habia uno angolo e uno lato. Divideró .bg. in .2. parti iguali dal
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      ponto .d. E compiró la linea .ad. E, dipoi, dela linea .ad. piglieró il terzo, che sia
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      .dc., cioé dala parte del .d., e faró le linee .bc. e .gc. Dico adunque il triangolo .abg.
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      essere diviso in .3. parti iguali, de’ quali ciascuna è sopra a uno lato del triangolo .abg., le quali
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      parti sonno li triangoli .abc. e .bgc. e .gac., che cosí el proveró. Perché .dc. è la terza parte de-
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      la retta .da., sia .ac. doppio del .cd. Onde el triangolo .abc. è doppio al triangolo .bcd., per
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      primam sexti. E, per questo, ancora el triangolo .acg. è doppio al triangolo .gcd. Ancora per-
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      ché e gli é iguale la retta .bd. ala retta .dg., iguali sonno li triangoli .cbd. e .cdg. infra loro, pur
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      per la pa. del .6o. Onde tutto .cbg. triangolo è iguale a ciascun de’ triangoli .cbd. e .cdg. e quel-
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      li, che a una medesima cosa sonno doppi, infra loro sonno iguali per la conceptione. Diviso
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      è adunque il triangolo .abg. in .3. parti iguali.
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