Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quinta. Capitulum secundum. 38].</p>
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      Ancora sia uno triangolo .abg. e in quello sia dato uno ponto fortuitu .d., per lo
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      quale .d. voglio passi la linea che divida el triangolo overo che pigli del triango-
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      lo una parte, comme a dire il terzo. Adimandase in che modo si debia operare. Dal
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      ponto .d. meneró la linea .ae. e considereró se la settione .be. overo .eg. sia la terza
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      parte del lato .bg. Onde, se ’l .be. è la terza parte dela retta .bg., alora el triangolo .abe. è la
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      terza parte del triangolo .abg. E, se niuno di loro è la terza parte del lato .bg., alora meneró
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      la linea per gl’ altri angoli, passante per lo ponto .d. Dico che, se alcuna dele dette linee piglia
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      il terzo del lato, e alora dirai quella linea pigliare del triangolo il terzo. E, si troveró questo
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      non essere, meneró dal ponto .d. la linea .dz. equedistante ala linea .ge. E porró la superficie
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      .dz. in .zi. iguale ala terza parte dela superficie .ag. in .bg. E apiccheró ala linea .gi. la superficie
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      equiangola alla quale manchi la figura tetragona iguale ala superficie del .gz. in .zi., che sia
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      la superficie .it. in .tg. e, comporró la retta .dt. e producerolla infino al .k. Dico adunque che dal
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      triangolo .abg. n’ é tolta la terza parte, cioé il triangolo .tkg., dala linea .tk. passante per lo pon-
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      to .d. che, per le cose dette, chiaro appare. E questo basti quanto alo primo capitolo di que-
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      sta distintione e, seguendo, diremo delo </p>
      <p class="main"> Qualiter figure quadrilatere in partes proportionabiliter dividantur. Capitulum secundum.
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      Le specie de’ quadrilateri sonno .3., cioé paralelli, caput abscisum e diversilatero.
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      E paralelli sonno figure che hano e lati oposti equedistanti e gli angoli oposti
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      iguali, per la .34a. del po., de’ quali le specie sonno .4. Li primi sonno tetragoni, che
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      hano tutti e lati iguali e gli angoli retti. E li secondi sonno parte altera longiore,
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      che hanno e .2. lati oposti infra loro iguali e tutti gli angoli retti. Nela terza spetie sonno e rom-
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      bi, che hano e lati igual e gli angoli non sonno retti e né iguali. Nela quarta specie sonno li
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      romboidi, li quali hano le faccie overo lati oposti iguali, ma gli angoli non sonno iguali e non
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      retti. E, perché e gli é uno modo solo al dividerli queste .4. specie di paralelli, tutte le loro figu-
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      re, sotto le medesime notule, porremo, peroché quello che d’ una se dici, quel medesimo del’ al-
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      tre si possono dire. Sia adunque uno tetragono e parte altera longiore e rombo e romboi-
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      de .abcd. De’ quali ciascuno voglio dividere in .2. parti iguali. Li detti paralelli, se per diame-
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      tro gli dividerai, harai fatti di quelli .2. parti iguali. Onde, se meneremo il diametro .ac. ove-
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      ro .bd., comme è manifesto nela prima figura, saranno in .2. parti divise. Comme havendo
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      menato il diametro .ac., sia il triangolo .abc. iguale al triangolo .adc., perché il lato .ad. è iguale
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      al lato .bc. e il lato .ab. iguale al lato .dc. e la basa .ac. è comune a ogni triangolo.
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      E, se la divisione vuoi incomenzare d’ alcuno de’ lati, quello lato in .2. parti iguali
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      segherai e, per lo ponto dela settione, sopra il lato opposto, agli altri lati equedis-
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      tante, menerai una linea, comme nela figura sola appare, nela quale sopra la mitá
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      del lato .bc. è segnato uno ponto e da quello è menato la retta .ef. equedistante a-
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      le rete .ba. e .cd. E cosí tutto il quadrilatero .ac. è diviso in .2. parti iguali che sonno .ae. e .fc.
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      Sonno adunque sopra le base iguali .be. e .ec. e nele medesime linee equedistanti .ad. e .bc.
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      dove, comme appare per lo primo de Euclide, e lle sonno infra loro iguali.
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      Similmente, se meneremo la linea .gk. equedistante ale rette .ad. e .bc., dividente
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      e lati per lo mezzo, cioé dividente li lati .bc. e .ad., sirá ancora diviso il paralello .abcd.
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      in .2. parti iguali dala linea .gk., comme nela presente figura appare. Sonno certamente li paralelli
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      .gd. e .bk. infra loro iguali. Conciosiacosaché sienno infra le base iguali e ’lati equedistanti].
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      E, se sopra ad alcun lato sirá dato il ponto, comme se manifesta nella presente figu-
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      ra, nela quale è dato il ponto .h., cadente infra ’l ponto .be., segnerai nello posto
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      di quello il ponto .i., cadente infra ’l .fd. E sia .fi. iguali ala retta .ch. E compise la
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      retta .hi. Dico certamente essere il detto quadrilatero in .2. parti iguali diviso dala
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      linea .hi. Che cosí si pruova. Perché, in equedistanti linee .ad. e .bc., le rette .fe. e .hi. son
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      menate, sirá l’ angolo .ifk. alo angolo .keh. iguali, per la .29a. del primo, perché son coalterni.
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      E ancora l’ angolo .fik. al’ angolo .khe. e gli angoli che sonno al .k. sonno infra loro iguali
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      e la basa .fi. ala basa .eh. è iguale. Adunque e il triangolo .fhi. è iguale al triangolo .khe. E,
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      comunamente, s’ agionga el pentagono .kfabh., sirá el quadrilatero .iabh. iguale al quadri-
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      latero .abef., che è la mitá di tutto el </p>
      <p class="main"> E, se uno di detti paralelli in .2. parti, iguali per la linea menata dal ponto dato in-
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      fra quello, vuoi dividere. Comme il parelello .ag., infra ’l quale sia dato el ponto .f.,
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      per lo quale debba passare la linea che divida il detto quadrilatero in .2. parti igua-
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      li e sia il detto ponto sopra il .1/2. del diametro .bd. Onde puoi dire che ’l detto diame-
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