Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio quinta. Capitulum secundum. </p>
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      2. parti in .2. parti iguali segherai e sia tutto il paralello in .4. parti diviso comme vorrai.
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      E, volendo dividere uno paralello in .3. parti non iguali, comme sia il paralello .abgd.
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      el quale in .3. parti non iguali voglio dividere in tal modo che ’l primo habia la .1/2. e ‘l secondo il
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      terzo. E il terzo habia il sexto. Divideró prima il paralello .ag. in .2. paralelli igua-
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      li che sonno .az. e .eg. Dipoi, da uno di quelli, segheró il terzo, cioé la terza parte del
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      paralello .az. overo .eg. che sirá il paralello .ig. Cioé che la retta .id. sia la terza parte del .ed.
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      Dico il paralello .ag. essere diviso in .3. parti predette dele quali la mitá è il paralello .az. e il sexto
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      é il paralello .ig. e l’ avanzo, cioé il paralello .et. sia la terza parte di tutto il paralello .ag. ch’ era
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      bisogno mostrare. Possiamo adunque qualunque parte vogliamo torre dele predette fi-
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      gure dala linea menata dal ponto dato fuor o dentro overo sopra uno de’ lati del paralello,
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      per quelle cose dette. E questo basti quanto al dividere de’ paralelli e, seguendo, diremo del
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      dividere dele figure dette caput </p>
      <p class="main"> Le figure chiamate caput abscisum, cioé le figure dette capo tagliato, sonno di .4.
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      spetie, de quali la prima se dice mezzo capo tagliato, l’ altra figura se dice igual ca-
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      po tagliato, la terza diverso capo tagliato. La quarta capo tagliato declinan-
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      te, commo di sopra havesti in lor misurare. E, perché el modo a dividere de tutte
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      queste è uno, quelle per ordine porró sotto medesime notule e termini acioché quello che
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      se dici d’ una di tutte l’ altre s’ intenda. Sienno adunque queste .4. specie di quadrilateri segna-
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      te .abgd., aventi e lati .ad. e .bg. equedistanti e volse ciascuna di queste dividere per la retta
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      equedistante ale base loro, le quali base sonno .bg., in .2. parti iguali, che in questo modo lo
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      faremo: perché la equistante .ad. e .bg. non sonno iguali, anzi é magiore .gb. che .ad. se me-
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      neremo le rette .ba. e .gd. nela parte del .ad. infino dove concorrono nel ponto .e. E sia il qua-
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      drato dela retta .ze. la mitá de’ quadrati delle rette .eb. e .ae. e dal ponto .z. si meni la retta .zi. e-
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      quedistante ala basa .gb. Dico el trapezzo .abgd. essere diviso in .2. parti iguali dala linea .zi.
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      equedistante alla linea .bg. che cosí si prova. Perché e quadrati dele linee .eb. e .ae. sonno dop-
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      pi al quadrato dela linea .ez., fienno ancora doppio li triangoli .ebg. e .ead. al triangol .ezi.
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      conciosiacosaché fra loro sienno simili. Ma, se del triangolo .ebg. lasciamo el triangolo .ezi.,
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      che è iguali a quello triangolo che è nel triangolo .ebg., rimarrá il quadrilatero .izbg. e ‘l triangolo
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      .ead. iguali al triangolo .ezi.; onde, d’ ogni parte si traga el triangolo .ead., rimane el quadrilatero .zgi.
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      iguale al quadrilatero .ai. Adonca è diviso el quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali dala linea .zi. ch’ era
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      de bisogno mostrare. Che ancora con numeri il mostraremo. Sia .ab.12. e .bg.12. e .ad. sia .3.
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      e il lato .gd. sia .15. E, perché nel triangolo .ebg. é menata la retta .da. equedistante ala basa
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      .bg., sia cosí .ad. al .gb., cioé cosí .3. e a .12., cosí .ea. al .eb., per la .2a. del 6o. Onde comme .3. è a
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      .9. cosí .ea. e .ab. Adunque .ea. é .4., cioé il terzo del .ab., adunque .eb. é .16. Agionti adunque e qua-
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      drati dele linee .eb. e .ea., cioé .256. e .16., fanno .272., de’ quali la mitá, cioé .136. é il quadrato della
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      linea .ez. E, perché e gli é cosí .ez. al .eb. cosí .zi. al .bg., sirá adunque comme el quadrato de-
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      la linea .ez. al quadrato dela linea .eb., cioé commo .136. a .256. che, ne’ minori numeri, é comme
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      .17. a .32. Cosí il quadrato dela linea .zi. é alo quadrato della linea .bg. Onde, se multiplicare-
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      mo .17. per .144. e divideremo per .32., verranne .76 1/2. per lo quadrato della linea .zi. E, perché
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      ortogonio è il triangolo .ezi. e ancora il triangolo .ead., onde, multiplicando la mitá del .ez. in
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      .zi., haremo l’ area del triangolo .ezi. che è .51. che viene dela multiplicatione della quarta par-
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      te di .136. nel quadrato dela linea .zi., cioé in .76 1/2. La quale multiplicatione è la radice de </p>
      <p class="main"> Del quale, togliendo el triangolo .ead. che è .6., rimangono .45. per l’ area del quadrilatero
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      .azid., el quale .45. è la mitá de .90. ch’ é l’ area di tutto il quadrilatero mezzo caput abscisum .abgd.
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      perché multiplicando la mitá del .ab. nel congionto del .ad. e .bg., cioé .6. per .15. haremo el det-
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      to .90. che è doppio de .45. e peró è provato el quadrilatero .ai. essere la mitá di tutto il quadri-
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      latero .abgd. overo altramente tratta .ez. del .ed., cioé radice di .136., di .16., rimarranno .16. me-
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      mo radice di .136. per la linea .bz. del quale il .1/2. è .8. meno radice di .34. che, multiplicato per lo
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      congionto del .zi. e .bg., cioé per .12. e radice di .76 1/2., haremo .45. per l’ area del quadrato .gz.
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      e questo era da </p>
      <p class="main"> E, se sopra il lato .ad. alcun ponto sia dato e vorrai da quello menare la linea che divi-
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      da el detto quadrilatero in .2. parti iguali, e lati .ad. e .bg. in .2. parti iguali dividi sopra li
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      ponti .k. e .t., che cosí si prova. Io compiró la retta .tk. Dico che la retta .tk. é quella che divide
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      il detto quadrilatero in .2. parti iguali. Adonca, quando el ponto dato fosse in sula mitá dela linea .ad. com-
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      me il ponto .t., alora el detto quadrilatero è diviso in .2. parti iguali comme nela presente
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