7866IO. BAPT. BENED.
affirmabant.
Quæ ſanè regula, non ſemper, etſi interdum vera ſit.
Sumebant hi exemplum progreſſionis, quæ ab vnitate incohata creſcit per bina
rium, in qua per accidens euenit vt numerus dimidium vltimi termini proximè ſe-
quens, nempe è duabus partibus vltimi termini maior, æqualis ſit numero termino
rum, qui per ſe vnus è producentibus, ex ijs que .94. theoremate diximus, eſſe debet;
alter vero producens, qui per ſe dimidium ſummæ primi & vltimi eſſe debet, per
accidens pars maior eſt duarum vltimi termini, & alteri producenti æqualis.
rium, in qua per accidens euenit vt numerus dimidium vltimi termini proximè ſe-
quens, nempe è duabus partibus vltimi termini maior, æqualis ſit numero termino
rum, qui per ſe vnus è producentibus, ex ijs que .94. theoremate diximus, eſſe debet;
alter vero producens, qui per ſe dimidium ſummæ primi & vltimi eſſe debet, per
accidens pars maior eſt duarum vltimi termini, & alteri producenti æqualis.
Aut alio modo ratiocinemur, dicentes, in huiuſmodi progreſſione dimidium
ſummæ vltimi termini cum primo, ſemper medium proportionale eſt inter eam
ſummam & dimidium numeri terminorum, etenim huiuſmodi ſumma numero ter-
minorum ſemper dupla eſt, prout .94. theoremate tradimus. Itaque ex .20. ſeptimi,
quadratum partis maioris, producto ſummæ dictæ in numerum dimidij terminorum
æquale erit, quod productum per ſe ſummæ progreſſionis eſt æquale. At in cæte-
ris eiuſmodi progreſſionibus fallit regula, vt ex ſupradictis facilè demonſtratur.
ſummæ vltimi termini cum primo, ſemper medium proportionale eſt inter eam
ſummam & dimidium numeri terminorum, etenim huiuſmodi ſumma numero ter-
minorum ſemper dupla eſt, prout .94. theoremate tradimus. Itaque ex .20. ſeptimi,
quadratum partis maioris, producto ſummæ dictæ in numerum dimidij terminorum
æquale erit, quod productum per ſe ſummæ progreſſionis eſt æquale. At in cæte-
ris eiuſmodi progreſſionibus fallit regula, vt ex ſupradictis facilè demonſtratur.
THEOREMA CIIII.
PErmultis terminis ad libitum propoſitis, diſpoſitis nihilominus progreſſio-
ne, aut proportionalitate geometrica continua, ſi minimus ex maximo & exfe-
quenti minimum detrahatur, reſiduum maximi, eam proportionem ad fum-
mam reliquorum omnium terminorum retinebit, quam reſiduum ſecundi ad pri-
mum.
ne, aut proportionalitate geometrica continua, ſi minimus ex maximo & exfe-
quenti minimum detrahatur, reſiduum maximi, eam proportionem ad fum-
mam reliquorum omnium terminorum retinebit, quam reſiduum ſecundi ad pri-
mum.
Proponuntur, exempli gratia, quatuor termini .3. 12. 48. 192. continui geome-
tricè proportionales, ſi primum, hoc eſt minimum, ex ſecundo, & maximo detra
has, exſecundo ſupererit .9. ex maximo .189. quod ſi minimum per reſiduum maxi
mi multiplicaueris, hoc eſt .189. orietur .567. tum ſi huiuſmodi productum per .9.
( refiduum ſecundi ) diuiſeris, proueniet .63. quod proueniens æquale erit ſummæ
reliquorum omnium terminorum, maximo excepto. Ex quo inferre licet ex .20. ſe
ptimi eandem proportionem eſſe .189. ad .63. quæ .9. ad .3. aut ſi reſiduum ſecundi
per ſummam dictorum terminorum multiplicaueris produceturidem .567. quare
ex .20. ſeptimi & cætera.
tricè proportionales, ſi primum, hoc eſt minimum, ex ſecundo, & maximo detra
has, exſecundo ſupererit .9. ex maximo .189. quod ſi minimum per reſiduum maxi
mi multiplicaueris, hoc eſt .189. orietur .567. tum ſi huiuſmodi productum per .9.
( refiduum ſecundi ) diuiſeris, proueniet .63. quod proueniens æquale erit ſummæ
reliquorum omnium terminorum, maximo excepto. Ex quo inferre licet ex .20. ſe
ptimi eandem proportionem eſſe .189. ad .63. quæ .9. ad .3. aut ſi reſiduum ſecundi
per ſummam dictorum terminorum multiplicaueris produceturidem .567. quare
ex .20. ſeptimi & cætera.
Quod vt ſcientificè poſſimus, & in vniuerſum ſpeculari.
Quatuor termini propo-
ſiti, quatuor ſubſcriptis lineis ſignificentur .b.i: c.a: f.r: m.s. (quod autem de his quatuor di
co de centummillibus, & eo amplius dicere poſſum.) Nunc minimus terminus .m.s. ex
maximo .b.i. detrahatur, ſuperſitque; .n.i. idemque; .m.s. ex ſecundo termino .f.r. ſubtra-
hatur, ſuperſitque; .o.r. Dico proportionem .n.i. ad ſummam reliquorum omnium ter-
minorum .c.a: f.r: m.s. eandem effe, quæ .o.r. ad .m.s. Quamobrem ex tertio & quar-
to ſecundus .f.r. detrahatur, ex tertioque; ſuperſit .t.a. & ex quarto .e.i. ita etiam tertius .
c.a. ex quarto .b.i. ſuperſitque; .d.i. ſanè
106[Figure 106]
ſic ſe habebit .c.a. ad .f.r. vt .c.t. ad .f.o.
vt quisque; per ſe ſcire poteſt. Quare ex
19. quinti ſic ſe habebit .a.t. ad .r.o. vt .
c.a. ad .f.r. & permutando ita .a.t. ad .a.
c. vt .o.r. ad .r.f. & ſeparando ſic .a.t. ad .
a.c. (hoc eſt .f.r.) vt .r.o. ad .o.f. vide-
licet .m.s. Idem dico de .d.i. ad .a.c. nem-
pe ſic ſe habebit .d.i. ad .a.c. vt .a.t. ad .
ſiti, quatuor ſubſcriptis lineis ſignificentur .b.i: c.a: f.r: m.s. (quod autem de his quatuor di
co de centummillibus, & eo amplius dicere poſſum.) Nunc minimus terminus .m.s. ex
maximo .b.i. detrahatur, ſuperſitque; .n.i. idemque; .m.s. ex ſecundo termino .f.r. ſubtra-
hatur, ſuperſitque; .o.r. Dico proportionem .n.i. ad ſummam reliquorum omnium ter-
minorum .c.a: f.r: m.s. eandem effe, quæ .o.r. ad .m.s. Quamobrem ex tertio & quar-
to ſecundus .f.r. detrahatur, ex tertioque; ſuperſit .t.a. & ex quarto .e.i. ita etiam tertius .
c.a. ex quarto .b.i. ſuperſitque; .d.i. ſanè
vt quisque; per ſe ſcire poteſt. Quare ex
19. quinti ſic ſe habebit .a.t. ad .r.o. vt .
c.a. ad .f.r. & permutando ita .a.t. ad .a.
c. vt .o.r. ad .r.f. & ſeparando ſic .a.t. ad .
a.c. (hoc eſt .f.r.) vt .r.o. ad .o.f. vide-
licet .m.s. Idem dico de .d.i. ad .a.c. nem-
pe ſic ſe habebit .d.i. ad .a.c. vt .a.t. ad .