7967THEOREM. ARIT.
r.f. hoc eſt .o.r. ad .m.s. ex .11. quinti.
Itaque ex communi ſcientia ſic ſe habe-
bit .d.i. ad .d.b. vt .e.d. ad .e.b: cum .e.d. æqualis ſit .t.a. Ita etiam vt .e.n. ad .n.b: cum .n.
e. æqualis ſit .o.r. Iam ſi ſic ſe habeat .d.i. ad .d.b. vt .d.e. ad .e.b. permutando quoque; ſic
ſe habebit .d.i. ad .d.e. vt .d.b. ad .b.e. & compon endo ita .i.d.e. ad .e.d. vt .d.b.e. ad .e.
b. & permutando ſic .i.d.e. ad .d.b.e. vt. de .a.d.e.b. nempe vt .e.n. ad .n.b. & permutan
do ita .i.d.e. ad .e.n. vt .d.b.e. ad .b.n. & componendo ita .i.d.e.n. ad .n.e. vt .d.b.e. et .b.
n. ad .b.n. & permutando ſic .i.d.e.n. ad .d.b.e. et .b.n. nempe ad .a.c: f.r: m.s: vt .e.n. ad .
n.b. hoc eſt. ut .o.r. ad .m.s. quod erat propoſitum.
bit .d.i. ad .d.b. vt .e.d. ad .e.b: cum .e.d. æqualis ſit .t.a. Ita etiam vt .e.n. ad .n.b: cum .n.
e. æqualis ſit .o.r. Iam ſi ſic ſe habeat .d.i. ad .d.b. vt .d.e. ad .e.b. permutando quoque; ſic
ſe habebit .d.i. ad .d.e. vt .d.b. ad .b.e. & compon endo ita .i.d.e. ad .e.d. vt .d.b.e. ad .e.
b. & permutando ſic .i.d.e. ad .d.b.e. vt. de .a.d.e.b. nempe vt .e.n. ad .n.b. & permutan
do ita .i.d.e. ad .e.n. vt .d.b.e. ad .b.n. & componendo ita .i.d.e.n. ad .n.e. vt .d.b.e. et .b.
n. ad .b.n. & permutando ſic .i.d.e.n. ad .d.b.e. et .b.n. nempe ad .a.c: f.r: m.s: vt .e.n. ad .
n.b. hoc eſt. ut .o.r. ad .m.s. quod erat propoſitum.
THEOREMA CV.
CVR deſideranti ſummam quorumcunque terminorum progreſſionis conti-
nuæ geometricæ cognoſcere. Rectè minimus terminus ex maximo detrahen
dus eſt, reſiduumque; per denominantem progreſſionis dempta vnitate diuidendum,
prouenientique; maximum terminum addendum, ex quo oritur ſumma quæſita.
nuæ geometricæ cognoſcere. Rectè minimus terminus ex maximo detrahen
dus eſt, reſiduumque; per denominantem progreſſionis dempta vnitate diuidendum,
prouenientique; maximum terminum addendum, ex quo oritur ſumma quæſita.
Exempli gratia, ſi darentur quatuor termini continui proportionales .8. 12. 18.
27. primum hoc eſt minimum .8. ex vltimo .27. detraheremus: remaneretque; .19. qui
per denominantem progreſſionis, dempta vnitate, diuideretur. Quo loco animad
uertendum eſt, quamlibet denominationem cuiuſcunque proportionis numerorum
ſupra vnitatem fieri, nam de proportionibus multiplicibus dubitandum non eſt, &
idipſum de ſuperparticularibus, & ſuperpartientibus eſt intelligendum, vt in præ-
ſenti proportio ſeſquialtera inter duos terminos cogitanda eſt, nempe inter vnum
& dimidium, atque vnum. Seſquitertia autem inter vnum & tertiam partem,
& vnum. Seſquiquinta inter vnum cum quinta parte, & vnum. De ſuperpartien
tibus idem aſſero quod de proportione ſuperbipartiente tertias appellata, vt .5.
ad .3. quæ cogitanda eſſet inter vnum duas tertias, & vnum, ſuperbipartiens quar-
tas inter vnum tres quartas, & vnum, ita vt minor terminus, numerans ſcilicet, ſem
per ſit vnitas, alter verò denominans. Idem de cæteris. Quare in præſenti exem
plo, detracta vnitate ex denominante progreſſionis, ſupererit tantummodo dimi-
dium, quo diuiſo .19. proueniet .38. qui numerus æqualis erit ſummæ reliquorum
omnium terminorum, cui coniuncto vltimo termino .27. dabitur ſumma quæſita .65.
27. primum hoc eſt minimum .8. ex vltimo .27. detraheremus: remaneretque; .19. qui
per denominantem progreſſionis, dempta vnitate, diuideretur. Quo loco animad
uertendum eſt, quamlibet denominationem cuiuſcunque proportionis numerorum
ſupra vnitatem fieri, nam de proportionibus multiplicibus dubitandum non eſt, &
idipſum de ſuperparticularibus, & ſuperpartientibus eſt intelligendum, vt in præ-
ſenti proportio ſeſquialtera inter duos terminos cogitanda eſt, nempe inter vnum
& dimidium, atque vnum. Seſquitertia autem inter vnum & tertiam partem,
& vnum. Seſquiquinta inter vnum cum quinta parte, & vnum. De ſuperpartien
tibus idem aſſero quod de proportione ſuperbipartiente tertias appellata, vt .5.
ad .3. quæ cogitanda eſſet inter vnum duas tertias, & vnum, ſuperbipartiens quar-
tas inter vnum tres quartas, & vnum, ita vt minor terminus, numerans ſcilicet, ſem
per ſit vnitas, alter verò denominans. Idem de cæteris. Quare in præſenti exem
plo, detracta vnitate ex denominante progreſſionis, ſupererit tantummodo dimi-
dium, quo diuiſo .19. proueniet .38. qui numerus æqualis erit ſummæ reliquorum
omnium terminorum, cui coniuncto vltimo termino .27. dabitur ſumma quæſita .65.
Pro cuius ſpeculatione, quatuor termini ſignificentur, quatuor lineis .m.s: f.r: c.a.
b.i. primus autem terminus .m.s. ex vltimo .b.i. detrahatur, reſiduumque; ſit .n.i. & ex
ſecundo .f.r. cuius reſiduum ſit .o.r. proportio verò progreſſionis ea ſit, quæ .g.h. ad .
y. quo vnitas repræſentatur (ex quo ſic ſe habebit .g.h. ad .y. vt .f.r. ad .m.s.) qua .y. de
tracta ex .g.h. ſuperſit .h. Tum erecta
cogitetur linea .n.u.x. indefinita per
107[Figure 107]
pendicularis .b.i. à puncto .n. quę diui
datur in puncto .x. ita vt .n.x. æqualis
ſit vnitati .y. & in puncto .u. ita. vt .n.
u. æqualis ſit .h. ex quo eadem erit
proportio .n.u. ad .n.x. vt .h. ad .y. nem-
pe .o.r. ad .m.s. Nam cú ſic ſe habeat .
f.r. ad .m.s. hoc eſt ad .f.o. vt .g.h. ad .y
hoc eſt ad .g. permutando quoque; ſic
ſe habebit .f.r. ad .g.h. vt .f.o. ad .g. Ita
que ex .19. quinti .o.r. ad .h. vt .f.r. ad .g.h. ex quo ex .11. eiuſdem .o.r. ad .h. vt .f.o. ad
b.i. primus autem terminus .m.s. ex vltimo .b.i. detrahatur, reſiduumque; ſit .n.i. & ex
ſecundo .f.r. cuius reſiduum ſit .o.r. proportio verò progreſſionis ea ſit, quæ .g.h. ad .
y. quo vnitas repræſentatur (ex quo ſic ſe habebit .g.h. ad .y. vt .f.r. ad .m.s.) qua .y. de
tracta ex .g.h. ſuperſit .h. Tum erecta
cogitetur linea .n.u.x. indefinita per
datur in puncto .x. ita vt .n.x. æqualis
ſit vnitati .y. & in puncto .u. ita. vt .n.
u. æqualis ſit .h. ex quo eadem erit
proportio .n.u. ad .n.x. vt .h. ad .y. nem-
pe .o.r. ad .m.s. Nam cú ſic ſe habeat .
f.r. ad .m.s. hoc eſt ad .f.o. vt .g.h. ad .y
hoc eſt ad .g. permutando quoque; ſic
ſe habebit .f.r. ad .g.h. vt .f.o. ad .g. Ita
que ex .19. quinti .o.r. ad .h. vt .f.r. ad .g.h. ex quo ex .11. eiuſdem .o.r. ad .h. vt .f.o. ad