7941DE MATHÉMATIQUE. Liv. I.
ſeur de 6 x 4, de 6 x 5, ou des nombres 24 &
30, &
c.
2°.
Qu’un nombre qui diviſe les deux parties d’un tout,
ſera auſſi diviſeur du tout, parce qu’un nombre eſt égal à
toutes ſes parties priſes enſemble; ainſi le nombre 3 étant di-
viſeur des nombres 9 & 6, eſt auſſi diviſeur de leur ſomme 15.
ſera auſſi diviſeur du tout, parce qu’un nombre eſt égal à
toutes ſes parties priſes enſemble; ainſi le nombre 3 étant di-
viſeur des nombres 9 & 6, eſt auſſi diviſeur de leur ſomme 15.
3°.
Que ſi un nombre eſt diviſeur d’un tout &
d’une de ſes
parties, il ſera auſſi diviſeur de l’autre partie; car s’il ne la di-
viſoit pas, il ne ſeroit pas diviſeur du tout, ce qui eſt contre
l’hypotheſe: ainſi le nombre 3 étant diviſeur du tout 15, &
d’une de ſes parties 9, eſt auſſi diviſeur de l’autre 6.
parties, il ſera auſſi diviſeur de l’autre partie; car s’il ne la di-
viſoit pas, il ne ſeroit pas diviſeur du tout, ce qui eſt contre
l’hypotheſe: ainſi le nombre 3 étant diviſeur du tout 15, &
d’une de ſes parties 9, eſt auſſi diviſeur de l’autre 6.
Cela poſé, que a &
b repréſentent les deux nombres, dont
on demande le plus grand commun diviſeur, que a diviſé par
b donne un quotient f avec le reſte d, on aura a = bf + d;
car un dividende quelconque eſt égal au produit du diviſeur
par le quotient joint au reſte de la diviſion. Que b, diviſé par
le premier reſte d, donne un quotient g avec le reſte c, on aura
par la même raiſon b = dg + c: enfin que le dernier reſte c
diviſe exactement le premier d, en donnant h au quotient, on
aura encore d = ch; & raſſemblant toutes ces égalités, on
aura a = bf + d, b = dg + c, & d = ch. Or il eſt évident
que c eſt diviſeur des quantités a & b, car puiſque c eſt di-
viſeur de d, il eſt auſſi diviſeur de ſon multiple dg; d’ailleurs
il eſt diviſeur de lui-même; donc il diviſe dg + c; donc il eſt
diviſeur de b, à cauſe de l’équation b = dg + c. Puiſque c eſt
diviſeur de d & de b, il eſt auſſi diviſeur des multiples de b;
donc il diviſe bf + d; donc il eſt diviſeur de a, à cauſe de
l’égalité a = bf + d.
on demande le plus grand commun diviſeur, que a diviſé par
b donne un quotient f avec le reſte d, on aura a = bf + d;
car un dividende quelconque eſt égal au produit du diviſeur
par le quotient joint au reſte de la diviſion. Que b, diviſé par
le premier reſte d, donne un quotient g avec le reſte c, on aura
par la même raiſon b = dg + c: enfin que le dernier reſte c
diviſe exactement le premier d, en donnant h au quotient, on
aura encore d = ch; & raſſemblant toutes ces égalités, on
aura a = bf + d, b = dg + c, & d = ch. Or il eſt évident
que c eſt diviſeur des quantités a & b, car puiſque c eſt di-
viſeur de d, il eſt auſſi diviſeur de ſon multiple dg; d’ailleurs
il eſt diviſeur de lui-même; donc il diviſe dg + c; donc il eſt
diviſeur de b, à cauſe de l’équation b = dg + c. Puiſque c eſt
diviſeur de d & de b, il eſt auſſi diviſeur des multiples de b;
donc il diviſe bf + d; donc il eſt diviſeur de a, à cauſe de
l’égalité a = bf + d.
Si l’on met dans l’équation b = dg + c la quantité ch à la
place de d qui lui eſt égale, on aura b = cgh + c; ſubſtituant
pareillement cette valeur de b dans celle de a, ainſi que celle
de d, on aura a = cfgh + cf + ch; donc au lieu de la frac-
tion {a/b} on auroit, ſuivant les ſuppoſitions que nous avons faites,
{cfgh + cf + ch/cgh + c}, dans laquelle fraction il eſt aiſé de voir qu’il n’y
a que la quantité c qui ſoit un diviſeur commun au numéra-
teur & au dénominateur, & que cette lettre eſt en même tems
le plus grand commun diviſeur. Comme le procédé numé-
rique eſt préciſément le même, il faut auſſi qu’il faſſe trouver
le commun diviſeur que l’on cherche; ainſi l’on pourra
place de d qui lui eſt égale, on aura b = cgh + c; ſubſtituant
pareillement cette valeur de b dans celle de a, ainſi que celle
de d, on aura a = cfgh + cf + ch; donc au lieu de la frac-
tion {a/b} on auroit, ſuivant les ſuppoſitions que nous avons faites,
{cfgh + cf + ch/cgh + c}, dans laquelle fraction il eſt aiſé de voir qu’il n’y
a que la quantité c qui ſoit un diviſeur commun au numéra-
teur & au dénominateur, & que cette lettre eſt en même tems
le plus grand commun diviſeur. Comme le procédé numé-
rique eſt préciſément le même, il faut auſſi qu’il faſſe trouver
le commun diviſeur que l’on cherche; ainſi l’on pourra
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