8060GNOMONICES
eodem puncto F.
Si enim puncta cont actuum C, D, per diametrum ſunt oppoſita, ita vt arcus C G, D G,
ſint quadrantes, perſpicuum eſt ex ijs, quæ proximè demonſtrata ſunt, tres hos circulos ſe mutuo interſe-
care in Aequatore in vno eodemq́, puncto. Si verò puncta contactuum C, D, non ſunt oppoſita, deſcri-
bantur per polum E, & per contactus C, D, circuli maximi E C, E D. Item per puncta C, G, arcus
61[Figure 61]
circuli maximi C H G, &
per puncta G, D, arcus
maximi circuli G I D, deſcribatur, ducantur{q́ue} chor
dę C G, G D. Quoniam igitur per defin. poli à Theo-
doſio traditam, rectæ ex polo E, ad puncta C, D,
cadentes æquales ſunt, erũt & arcus E C, E D, æqua-
1128. tertij. les. Rurſus, quia arcus C G, G D, paralleli C D,
2210 æquales ſunt, erunt & rectę C G, G D, æquales. Igi-
3329. tertij. tur & arcus maximorum circulorum C H G, G I D,
4428. tertij.55Duo circuli ho
rarum ab or.
vel òcc. tangen-
tes maximum
parallelorũ ſem
per apparentiũ
in duobus pun-
ctis quibuſcun-
que, & circulus
horæ à mer. uel
med. noc. ſecans
eundem paral-
lelam in pun-
cto æqualiter à
punctis conta-
ctuum diſtante,
ſe mutuo ſecãt
in vno eodéq́ue
puncto. ęquales erunt. Quare duo latera E C, E G, triangu-
li ſphærici C E G, duobus lateribus E D, E G, trian-
guli ſphęrici D E G, ęqualia erunt: Sunt autem &
baſes C H G, D I G, æquales. Igitur per propoſ. 35.
lib. 3. Ioan. Regiom. de triangulis, vel per propoſ.
18. nostrorum triangulorum ſphęricorum, anguli
C E G, D E G, ęquales erunt, ac proinde arcus E G, angulum C E D, diuidet bifariam. Quoniam verò
circulus maximus per polum E, & punctum F, deſcriptus diuidit eundem angulum CED, bifariam, vt
6620 mox demonſtrabimus, perſpicuum eſt, circulum maximum E G, productum per punctum F, tranſire:
alias duo maximi circuli, nempe E G, & ille qui ex E, per F, ducitur, diuiderent eundem angulum
C E D, bifariam, quod est abſurdum. Quòd autem circulus maximus per E, & F, deſcriptus di-
uidat bifariam angulum C E D, ita demonſtrabimus. Intelligatur per polum E, & per F, deſcri-
ptus circulus maximus E F H. Dico angulum C E F, æqualem eſſe angulo D E F. Quoniam enim cir-
culi maximi E C, E D, tranſeunt, per propoſ. 5. lib. 2. Theodoſii, per polos circulorum C F, D F, quòd per
contactus C, D, & per polum E, circuli C D, ducti ſint; Tranſeunt autem & per polum Aequatoris
A B; fit vt per propoſ. 9. lib. 2. Theodoſii, circulus E C, ſecet ſegmenta circulorum C B, A B, ſe ſe in
B, ſecantium, quæ quidem, per propoſ. 11. lib. 1. Theodoſii, ſemicirculi ſunt, bifariam: Ac propterea ar-
cus C B, ſit quadrans. Eadem{q́ue} ratione quadrans erit arcus D A. Quia vero per Theorema 1. ſcholij
7730 propoſ. 21. lib. 2. Theodoſii, circuli maximi C B, D N, eundem parallelum C D, tangentes, æqualiter in-
clinantur ad A B, maximum parallelorum, æquales erunt anguli ſphærici C B A, D N K. Cum ergo an-
gulo D N K, æqualis quoque ſit angulus D A K, per propoſ. 13. noſtrorum triangulorum ſphæricorum,
quòd A D N, ABN, per propoſ. 11. lib. 1. Theod. ſemicirculi ſint; æquales erunt anguli ſphærici F B A,
F A B; ac proinde & arcus B F, A F, æquales erunt, per propoſ. 4. lib. 1. Menelai, vel per propoſ. 40.
lib. 3. Ioan. Regiom. de triangulis, vel certè per propoſ. 9. noſtrorum triangulorũ ſphæricorum. Cum ergo
& toti arcus B C, A D, æquales ſint, nempe quadrantes, vt oſtendimus; erunt & reliqui arcus F C, F D,
æquales. Et quoniam ostenſi ſunt arcus E C, E D, æquales, erunt duo latera E C, E F, trianguli ſphærici
C E F, æqualia duobus lateribus E D, E F, trianguli ſphærici D E F. Cum ergo habeant & baſes C F,
D F, æquales, vt oſtenſum eſt, erunt per propoſ. 35. lib. 3. Ioan. Regiom. de triangulis, vel per propoſ.
8840 18. noſtrorum triangulorum ſphæricorum, anguli C E F, D E F, æquales. Diuidit ergo arcus E F, cir-
culi maximi angulum C E D, bifariam; Ac propterea cum eundem bifariam ſecet arcus E G, vt de-
monſtratum eſt, tranſibit omnino arcus E G, productus per F, adeo vt ab arcu E F, non differat, ne
duo arcus concedantur eundem angulum C E D, bifariam ſecare. Quapropter tres circuli horarij C F,
D F, E F, vnam eandem{q́ue} ſectionem habent communem. Quod eſt propoſitum: Acproinde in quo pun-
99Quænam horæ
ab or. vel occ.
& à mer. vel
med. noc. ſe mu
tuo ſecẽt in eo-
dem puncto. cto planum horologij communem hanc ſectionem ſecat, per idem communes ſectiones eorundem circulo-
rum, & plani horologij tranſibunt, per propoſ. 18. huius lib. adeo vt in eodem puncto horologij ſe inter-
ſecent lineæ horariæ illorum circulorum. Quocirca in quo puncto horaria linea circuli C F, horariam li-
neam circuli E F, ſecat, per idem ducenda erit linea horaria circuli D F, & e contrario. Quibus autem
horis deputentur circuli C F, D F, E F, docebit nos figura, quam in propoſ. 9. huius libri poſuimus. Si
101050 enim alter circulorum C F, D F, nempe C F, tribuatur, verbi gratia, horæ 12. ab ortu, vel occaſu; &
alter D F, exempli cauſa, horæ 20. ab ortu, vel occaſu, erit E F, circulus horæ quartæ à meridie, vel me-
dia nocte, cum hæc hora in medio illarum ſit poſita in figura dicta propoſitionis 9. huius libri, quemad-
modum & punctum G, in medio punctorum C, & D, poſitum eſt. Sic etiam, ſi E F, ponatur eſſe
circulus horæ 1 {1/2}. à meridie, vel media nocte, & E C, horæ tertiæ ab ortu, vel occa-
ſu; erit E D, circulus horæ 24. ab ortu, vel occaſu, quòd hæ duę horę ab
illa hinc inde ęqualiter abſint, ſicuti & puncta C, D, à puncto
G, ęqualibus interuallis diſiunguntur, & c. Ex his
1111Compoſitio ſu-
periorum qua-
tuot, & ſequen-
tium duarum
& triginta ta-
bularum. autem nullo negotio conficiemus trigin-
ta ſex illas tabulas, quas in hoc
ſcholio conſcripſimus.
ſint quadrantes, perſpicuum eſt ex ijs, quæ proximè demonſtrata ſunt, tres hos circulos ſe mutuo interſe-
care in Aequatore in vno eodemq́, puncto. Si verò puncta contactuum C, D, non ſunt oppoſita, deſcri-
bantur per polum E, & per contactus C, D, circuli maximi E C, E D. Item per puncta C, G, arcus
maximi circuli G I D, deſcribatur, ducantur{q́ue} chor
dę C G, G D. Quoniam igitur per defin. poli à Theo-
doſio traditam, rectæ ex polo E, ad puncta C, D,
cadentes æquales ſunt, erũt & arcus E C, E D, æqua-
1128. tertij. les. Rurſus, quia arcus C G, G D, paralleli C D,
2210 æquales ſunt, erunt & rectę C G, G D, æquales. Igi-
3329. tertij. tur & arcus maximorum circulorum C H G, G I D,
4428. tertij.55Duo circuli ho
rarum ab or.
vel òcc. tangen-
tes maximum
parallelorũ ſem
per apparentiũ
in duobus pun-
ctis quibuſcun-
que, & circulus
horæ à mer. uel
med. noc. ſecans
eundem paral-
lelam in pun-
cto æqualiter à
punctis conta-
ctuum diſtante,
ſe mutuo ſecãt
in vno eodéq́ue
puncto. ęquales erunt. Quare duo latera E C, E G, triangu-
li ſphærici C E G, duobus lateribus E D, E G, trian-
guli ſphęrici D E G, ęqualia erunt: Sunt autem &
baſes C H G, D I G, æquales. Igitur per propoſ. 35.
lib. 3. Ioan. Regiom. de triangulis, vel per propoſ.
18. nostrorum triangulorum ſphęricorum, anguli
C E G, D E G, ęquales erunt, ac proinde arcus E G, angulum C E D, diuidet bifariam. Quoniam verò
circulus maximus per polum E, & punctum F, deſcriptus diuidit eundem angulum CED, bifariam, vt
6620 mox demonſtrabimus, perſpicuum eſt, circulum maximum E G, productum per punctum F, tranſire:
alias duo maximi circuli, nempe E G, & ille qui ex E, per F, ducitur, diuiderent eundem angulum
C E D, bifariam, quod est abſurdum. Quòd autem circulus maximus per E, & F, deſcriptus di-
uidat bifariam angulum C E D, ita demonſtrabimus. Intelligatur per polum E, & per F, deſcri-
ptus circulus maximus E F H. Dico angulum C E F, æqualem eſſe angulo D E F. Quoniam enim cir-
culi maximi E C, E D, tranſeunt, per propoſ. 5. lib. 2. Theodoſii, per polos circulorum C F, D F, quòd per
contactus C, D, & per polum E, circuli C D, ducti ſint; Tranſeunt autem & per polum Aequatoris
A B; fit vt per propoſ. 9. lib. 2. Theodoſii, circulus E C, ſecet ſegmenta circulorum C B, A B, ſe ſe in
B, ſecantium, quæ quidem, per propoſ. 11. lib. 1. Theodoſii, ſemicirculi ſunt, bifariam: Ac propterea ar-
cus C B, ſit quadrans. Eadem{q́ue} ratione quadrans erit arcus D A. Quia vero per Theorema 1. ſcholij
7730 propoſ. 21. lib. 2. Theodoſii, circuli maximi C B, D N, eundem parallelum C D, tangentes, æqualiter in-
clinantur ad A B, maximum parallelorum, æquales erunt anguli ſphærici C B A, D N K. Cum ergo an-
gulo D N K, æqualis quoque ſit angulus D A K, per propoſ. 13. noſtrorum triangulorum ſphæricorum,
quòd A D N, ABN, per propoſ. 11. lib. 1. Theod. ſemicirculi ſint; æquales erunt anguli ſphærici F B A,
F A B; ac proinde & arcus B F, A F, æquales erunt, per propoſ. 4. lib. 1. Menelai, vel per propoſ. 40.
lib. 3. Ioan. Regiom. de triangulis, vel certè per propoſ. 9. noſtrorum triangulorũ ſphæricorum. Cum ergo
& toti arcus B C, A D, æquales ſint, nempe quadrantes, vt oſtendimus; erunt & reliqui arcus F C, F D,
æquales. Et quoniam ostenſi ſunt arcus E C, E D, æquales, erunt duo latera E C, E F, trianguli ſphærici
C E F, æqualia duobus lateribus E D, E F, trianguli ſphærici D E F. Cum ergo habeant & baſes C F,
D F, æquales, vt oſtenſum eſt, erunt per propoſ. 35. lib. 3. Ioan. Regiom. de triangulis, vel per propoſ.
8840 18. noſtrorum triangulorum ſphæricorum, anguli C E F, D E F, æquales. Diuidit ergo arcus E F, cir-
culi maximi angulum C E D, bifariam; Ac propterea cum eundem bifariam ſecet arcus E G, vt de-
monſtratum eſt, tranſibit omnino arcus E G, productus per F, adeo vt ab arcu E F, non differat, ne
duo arcus concedantur eundem angulum C E D, bifariam ſecare. Quapropter tres circuli horarij C F,
D F, E F, vnam eandem{q́ue} ſectionem habent communem. Quod eſt propoſitum: Acproinde in quo pun-
99Quænam horæ
ab or. vel occ.
& à mer. vel
med. noc. ſe mu
tuo ſecẽt in eo-
dem puncto. cto planum horologij communem hanc ſectionem ſecat, per idem communes ſectiones eorundem circulo-
rum, & plani horologij tranſibunt, per propoſ. 18. huius lib. adeo vt in eodem puncto horologij ſe inter-
ſecent lineæ horariæ illorum circulorum. Quocirca in quo puncto horaria linea circuli C F, horariam li-
neam circuli E F, ſecat, per idem ducenda erit linea horaria circuli D F, & e contrario. Quibus autem
horis deputentur circuli C F, D F, E F, docebit nos figura, quam in propoſ. 9. huius libri poſuimus. Si
101050 enim alter circulorum C F, D F, nempe C F, tribuatur, verbi gratia, horæ 12. ab ortu, vel occaſu; &
alter D F, exempli cauſa, horæ 20. ab ortu, vel occaſu, erit E F, circulus horæ quartæ à meridie, vel me-
dia nocte, cum hæc hora in medio illarum ſit poſita in figura dicta propoſitionis 9. huius libri, quemad-
modum & punctum G, in medio punctorum C, & D, poſitum eſt. Sic etiam, ſi E F, ponatur eſſe
circulus horæ 1 {1/2}. à meridie, vel media nocte, & E C, horæ tertiæ ab ortu, vel occa-
ſu; erit E D, circulus horæ 24. ab ortu, vel occaſu, quòd hæ duę horę ab
illa hinc inde ęqualiter abſint, ſicuti & puncta C, D, à puncto
G, ęqualibus interuallis diſiunguntur, & c. Ex his
1111Compoſitio ſu-
periorum qua-
tuot, & ſequen-
tium duarum
& triginta ta-
bularum. autem nullo negotio conficiemus trigin-
ta ſex illas tabulas, quas in hoc
ſcholio conſcripſimus.