Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio quinta. Capitulum </p>
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      ne e seguendo diremo del quarto e ultimo.
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      <p class="head"> De divisione circulorum in partes ad invicem proportionabiles. Capitulum </p>
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      Se alcuno cerchio in .2. parti iguali voi segare per una linea menata da uno pon-
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      to dato in sula perifera sua overo fuor del cerchio, quel ponto, col centro del cer-
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      chio, componi e quella passi per infino ala perifera dal’ altro lato e harai quello
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      voi. Verbi gratia: Sia el dato circulo .abgd. e fuor di quello sia dato il ponto .e. e
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      sia .z. centro del cerchio. Compila .ez. infino al ponto .g., sia tutta .ag. diametro di cerchio
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      .abgd. Imperoché ’l diametro del cerchio è la retta menata pe ’l centro e terminata da ogni
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      parte dela periferia e la retta .ezg. è diametro del cerchio, adonca ciascuna parte .eazg. e
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      .ebzg. è mitá de ditto cerchio. E, se infra ’l cerchio il ponto dato sará .i. comporró .iz. e me-
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      nerolla in ogni parte neli ponti .b. e .d. e sia la retta .bd. diametro del cerchio che sega .abgd.
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      similmente in .2. parti iguali per la linea .bizd., commo da lato appare nella figura presen-
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      te. E, se uno cerchio dato vorrai dividere in tre parti iguali constituisce in quello uno trian-
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      golo equilatero. Commo sia il cerchio .abg. nel quale sia el centro .d. e in quello compilere-
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      mo uno triangolo equilatero e equiangolo e comporemo le rette .da.db.dg. che divideran-
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      no il cerchio in tre parti iguali, dele quali l’ una sia il settore .dab., la seconda il settore .dbg.,
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      la terza il settore .dga. Verbi gratia. Perché iguali sonno le rette .ab.bg.ga., perché le ret-
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      te iguali nelli cerchi iguali hano archi iguali e dal centro sonno infra loro igualmente disco-
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      ste. E peró le parti infra loro fienno iguali. Adonca le rette .da.db.dg. in tre settioni iguali
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      dividono el cerchio, commo era de bisogno. E, se in piú parti quelli dal centro voi divi-
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      dere, in quante parti quante voi, in tante dividi la circunferentia di quel cerchio e questo sen-
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      za fatiga harai se le sexte overo una misura che si possa curvare harai.
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      Se il cerchio per le linee equedistanti in tre parti voi dividere questo, senza gran
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      fatiga, non si puó fare. Nientedimeno commo questo, secondo l’ appressamento,
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      si debbia fare lo mostraró. Porró prima nel cerchio .abg. la retta .ag., che sia il
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      lato del triangolo equilatero cadente in quello. Onde la periferia .ag. sirá. la ter-
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      za parte di tutta la periferia del cerchio .abg. E porró dal centro .d. la retta .db. equedistan-
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      te ala retta .ag. e comporró le rette .da.dg.ab. e .bg. e fienno li triangoli .bag. e .dag. infra
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      loro iguali. Ali quali agionto l’ augmento commune dela portione del cerchio contenta sot-
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      to la retta .ag. e l’ arco .ag., sirá la figura contenta sotto le rette .ba. e .bg. e l’ arco .ag. iguale al
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      settore .dag., che è la terza parte del circulo. Adonca la figura fatta dale rette .ba. e .bg. e l’ar-
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      co .ag. è la terza parte del cerchio .abg. ali quali, agionto la portione del circolo contenta sot-
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      to la retta .ab. e la perifera .agb. piú dela terza parte del circolo .abg., secondo la quantitá
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      dela portione .bg., onde troveró l’ area dela portione fatta e contenta sotto la retta .bg. e la
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      periferia .bg. e divideró il doppio sopra la retta .ab. e poco piú di quello ne perverá. Trarró
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      dela periferia .bg. e sia quello l’ arco .be. E comporró la retta .ae. e sirá secondo l’ apressamen-
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      to la portione .age. il terzo del cerchio .abg. Dipoi, sopra la retta .ae., meneró dal centro .d.
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      el catetto .dz. e produrollo infino al .i. e sia la retta .di. iguale ala retta .dz. E, per lo ponto .i.
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      meneró la retta .tk. equedistante ala retta .ae. e sia la portione .thk. iguale ala portione .abe.
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      L’ avanzo certamente che si contiene sotto le rette .ae. e .tk. e l’ arco .ke. e .at. sirá l’ altra terza parte,
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      che cosí si prova. Meneró dal ponto .e. sopra la linea .ab. il catetto .ec. e sia quello che pervie-
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      ne del doppio dell’ embado dela portione del .bg. nella retta .ab. e compongase la retta .eb. e
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      sia il triangolo .abe. iguale alla portione del cerchio. Onde .bg., quando si togli il triango-
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      lo .abe. della portione del cerchio .agb., rimarrá la portione .aeg. terza parte del circulo .abg.
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      e, perché la retta .tk. e .ae. equedistanti sonno, equalmente distante del centro, sonno iguali
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      e, perché iguale è la retta .tk. ala retta .ae., quelle doi linee rette da uno medesimo cerchio
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      iguale parte pigliano. Commo per lo terzo de Euclide mostrammo. Iguale é adonca la por-
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      tione .tkl. ala portione .aeg. Onde la terza parte è la settione .tkl. l’ avanzo che se contie-
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      ne infra le equedistanti .tk. e .ae. rette. E l’ arco .ik. e .at. sirá l’ avanzo, cioé l’ altra terza parte, com-
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      mo bisogna. E, accioché questo s’ abia piú presto, quanto piú sotilmente poddi trovar la pro-
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      portione dela retta .dz. al mezzo diametro del circolo e trovai quella essere secondo l’ apres-
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      samento, commo .9. a .34. Onde, quando alcuno cerchio in tre iguali parti colle rette equedi-
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      stanti vorrai dividere, el diametro del cerchio studiamo di trovare e la mitá di quello nella
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