Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio sexta. Capitulum tertium. </p>
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      il seratile è .3. cotanti che ’l suo piramide havente la basa triangulare. E a questo indurremo
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      la piramide .abgd. havente e lati iguali e la basa triangulare, che è .abg., e la sua altezza quel-
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      la che cade ortogonalmente dal ponto .d., ortogonalmente sopra le base .abg., che è de bisogno
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      trovare il cadimento suo nel triangolo .abg. Cosí si fa: intorno al triangolo .abg. scrivi il
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      cerchio .abc., intorno al centro .e. Dico certamente che ’l ponto .e. et il cadimento dela perpendi-
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      culare cadente dal ponto .d. sopra la superficie del triangolo .abg. El quale, se non fosse, sia
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      adonca .z. e faciase .dz.za.zb.zg. E perché .dz. è perpendiculare sopra il piano .abg. e sia ret-
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      to ciascun degli angoli .dza. e .dzb. e .dzg.; li lati adonca .dz. e .za possono sopra la retta .da.
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      Similmente li quadrati dele rette .dz. e .zb. sonno iguali al quadrato dela linea .db. e il qua-
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      drato dele rette .dz. e .zg. sonno iguali al quadrato dela linea .dg., ma li quadrati .da.db.dg.
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      sonno iguali infra loro, perché le ditte linee sonno iguali. Adonca li .2. quadrati dele linee .dz.
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      e .za. agli .2. quadrati dele linee .dz. e .zb. sonno iguali. Dove, de ciascuna parte togliendo il
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      quadrato dela linea .dz., rimarranno li quadrati dele linee .za. e .zb. iguali. Onde .za. è igua-
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      le al .zb. Similmente si mostrará la retta .zg. essere a ciascuna dele rette .za. e .zb. Adonca dal
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      ponto .z. ala periferia del cerchio concorrono .3. rette infra loro iguali. Onde il ponto .z. è cen-
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      tro di cerchio .abg., per la .9a. del terzo de Euclide, che non è in niuno modo vero. Adonca
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      il cadimeto è in sul centro .e., centro del cerchio .abg. Meneró adonca el catetto .de., del qua-
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      le la terza parte multiplicaró per l’ area del triangolo .abg. e haremo la capacitá dela pira-
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      mide .abg. che con numeri la mostraremo. Sia ciascuno de’ lati dela piramide .12. e compi-
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      se la retta .ae. e .be. nel ponto .i. e .t. Sirá il ponto .i. sopra il lato .bg. aponto nel mezzo di quel-
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      lo. Imperoché gli angoli .bai. e .gai. sonno infra loro iguali. E, perché .ab. e .ag. sonno infra
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      loro iguali, segherá ancora .bt. il terzo del catetto .ai., commo monstrammo nel trattato de’ tri-
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      angoli. Tratto adonca el quadrato del .bi. del quadrato .ab., cioé .36. di .144., rimarranno .108.
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      per lo quadrato dela linea .ai. E, perché .ei. è il terzo del .ai., sirá el quadrato dela linea .ei. el
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      nono del quadrato .ai. Adonca el quadrato dela linea .ei. é .12., a’ quali agionto il quadrato
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      dela linea .ib. fienno .48. per lo quadrato dela linea .eb. Overamente, perché .ae. è gli .2/3.
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      del .ai., sirá al quadrato dela linea .ae. li .4/9. del quadrato dela linea .ai., cioé li .4/9. di .108., el quale
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      tratto del quadrato dela linea .db., rimarrá il catetto .de. radici di .96. e, multiplicato .ai. in .bi.,
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      fanno radici di .3888. per l’ area del ditto triangolo .abg. che, multiplicato nel terzo del .de.,
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      cioé nel nono del quadrato di .96., cioé in .10 2/3., fanno .41472. per lo quadrato del’ area dela dit-
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      ta piramide .abgd., del quale la radici è circa .203 3/5., over un poco piú, el quale è meno d’ un .1/20.
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      et piú di .1/21. E per questo è manifesto che, in ogni piramide equilatera, el quadrato dela sua
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      altezza é gli .2/3. del quadrato d’ un suo lato, commo Euclide mostra. E ancora el quadrato dela
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      linea retta, che procede da ciascuno angolo al ponto del cadimento dela sua altezza, é il ter-
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      zo del quadrato del suo lato, che in questo modo lo possiamo investigare. Il .bi. è la mitá
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      del .bg. Onde il quadrato .bi. è il quarto del quadrato del .ab. Onde il quadrato del .ai.
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      è gli .3/4. del quadrato, che fatto dala retta .ab., è certamente .ae. gli .2/3. del .ai., onde il quadrato del
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      .ae. è gli .4/9. del quadrato dela retta .ai. Adonca il quadrato del .ae., cioé del .be. over del .ge. sia li
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      .4/9. de .3/4. del quadrato del lato .ab. Ma gli .4/9. de’ .3/4. d’ alcuna cosa é quanto e .3/4. di .4/9. de ditta cosa,
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      cioé .1/3. Adonca il quadrato di ciascuna dele rette .ac.be.ge. è .1/3. del quadrato del lato .ba., cioé
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      del lato .da. Onde, se dal quadrato del lato .da. si tolga il quadrato .ae., rimarranno per lo
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      quadrato del lato .de. li .2/3. del quadrato delo lato .da. commo dissi. E ancora è da notare che,
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      in ogni piramide dela quale la basa è triangulare havente e lati che si partano dagli ango-
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      li dela basa infra loro iguali, il cadimento di ditta altezza é sopra il centro del cerchio conte-
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      nente la basa de ditta </p>
      <p class="main"> Ancora e gli é una piramide .abcd. havente li lati .da.db.dc. infra loro iguali. E
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      la sua basa cioé el triangolo imperoché la pongo triangulare. E sia .ab.13.ac.15.
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      .bc.14., dove il catetto è .12., cioé .ae., per lo quale diviso la superficie del .ba. in .ac.,
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      cioé .195. vienne .16 1/4. per lo diametro del cerchio contenente il diametro .ac. del qua-
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      le la mitá è .8 1/8. e questa è la differentia che è dal cadimento del’ altezza de ditta piramide a ci-
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      ascuno degli angoli dela ditta basa. E diremo ciascuno de’ lati .da.db.dc. essere .12. dove, se del
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      quadrato di .12. che è .144. si togli el quadrato del .8 1/8., che è .66 1/64., rimarranno .78. meno .1/64. per
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      lo quadrato del catetto .dg. del quale, se pigliaremo il .1/9. e multiplicarenlo contra al quadra-
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      to del’ area dela basa, cioé contra .7056., se hará il quadrato dela piramide.
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