Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio sexta. Capitulum </p>
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      E debi notare che, se la basa de simile piramide sirá d’ angoli acuti, alora il cadimen-
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      to del’ altitudine dela ditta basa cadrá dentro al triangolo .abc.; se l’ angolo .abc.
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      sia retto, alora il cadimento dela ditta piramide sia in sul mezzo diametro .bc. E,
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      se l’ angolo .abc. sirá obtuso, alora il cadimento de ditta piramide sia fuori del tri-
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      angolo dala parte .bc. Le qual cose asa’ te fien piú chiare di sotto in questo: nel particular tratta-
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      to de’ corpi regulari, dove apieno ancora de ditte piramidi se trattará a inteligentia deli .5.
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      corpi regulari, cioé tetracedron, che è de .4. base triangulari equilatere e equiangole e con-
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      sta de .4. piramidelle simili al tutto che lo compongano. E delo exacedron, che consta de .6. qua-
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      drilatere e octocedron, che ne contien .8. triangole e duodecedron, che ne riceve .12., ciascuna
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      pentagonale e lo icocedron, che è formato de .20. piramidelle, che ognuna è triangula, in le qua-
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      li piramide tutti li detti corpi sempre se hano a resolvere tanquam in sua componentia, per-
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      ché, sí commo de triangoli rettilinei tutte le superficie rectelinee piane si compongano, cosí
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      tutte le specie di corpi rectilinei se hano a componere de piramidi triangulari, avenga che non
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      sempre abino a essere equilatere ditte piramidi. E cosí poi le piramide, maxime quelle che ha-
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      veranno la basa trilatera, si pó resolvere in doi equali piramide fra loro e tutta la grande si-
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      mili. E ognuna de quelle in doi seractili li quali insiemi presi de necessitá siranno magiori che
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      mitá de ditta piramide, commo nella terza del .12o. libro dimostra Euclide, siché a lui sem-
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      pre recorri in ditto .12o., che di loro difusamente ne parla et cetera.
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      Ancora porró una piramide dela quale la basa .abc. sia triangolo equilatero over
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      equicurio e de’ lati adonca .da.db.dg. doi solamente sonno iguali, che sienno
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      .db. e .dg. Voglio dimostrare il modo in che modo se habia l’ altezza di quella pi-
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      ramide. Perché nel triangolo .dbg. ‘2. lati .db. e .dg. sonno iguali, se dal ponto
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      .a. si menerá la retta da ogni parte in infinito ne’ ponti .f. e .c., dapoi sopra la retta .fc. produr-
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      remo el catetto dal ponto .d., che è il catetto del’ altezza dela piramide .dabg., dela quale al-
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      tezza il cadimento alcuna volta cade infra ‘l .ae., alcuna volta fuori del triangolo infra gli pon-
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      ti .af. over .ec. over alcuna volta nel ponto .a. over nel ponto .e., che ogni cosa mostraremo
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      con numeri. Sia adonca ciascuno de’ lati .ab.ag.10. e il lato .bg. sia .12. e ciascuno de’ lati .db.
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      e .dg. sia .14. e il lato .da.12. Troveró prima il catetto .de., che è radici di .160., cioé trahendo el qua-
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      drato del cadimento .be. sie tratto del quadrato del lato .db. Similmente il catetto .ae. sia </p>
      <p class="main"> Dapoi troverró el cadimento d’ altri angoli .dae. sopra la basa .ae., cosí del quadrato che è
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      fatto del .de. togli el quadrato del .da., cioé .144. di .160., rimangono .16., li quali divisi per .at.
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      vienne .2., che agionti con .ae. fanno .10., de’ quali la mita, cioé .5., è il magiore cadimento dal
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      lato del magiore .de. Onde porró .h. sopra il ponto .e., che sia .eh.5., rimarrá .ah.3. Adonca el
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      quadrato dela linea .ah. si togli del quadrato dela linea .da. over del quadrato dela linea
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      .de. si traga el quadrato dela linea .eh.; sirá quel che rimarrá .135. per lo quadrato del catet-
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      to .dh. Ed, é da notare che, se l’ angolo .dah. fosse retto, alora .da. sarebbe il catetto discenden-
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      te dal ponto .d. E, se l’ angolo .dah. fosse magiore che ’l retto, alora el catetto discendente dal pon-
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      to .d. caderebbe fuori del triangolo sopra la linea .af. Similmente, se l’ angolo .deh. fosse retto, a-
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      lora .de. sirebbe l’ altezza dela piramide. E, se obtuso, alora il catetto descendente dal ponto
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      .d. cadrebbe infra li ponti .ec. fuori del triangolo. E, se ciascuno degli angoli .dah. e .deh. fos-
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      se, acuto, alora la perpendiculare infra ‘ponti .ae. </p>
      <p class="main"> Sia ancora un’ altra volta la piramide dela quale la summitá è .a. e la sua basa sia
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      il triangolo .bcd. diversilatero. Dela quale la basa sia .bc., cioé el lato .bc. sia .13. e
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      .cd. sia .14. e .db.15., del quale il catetto sia la retta .be.; degli altri lati descendenti
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      dal ponto .a. al ponto .bcd. sienno e lati .ac. e .ad. iguali e sia ciascuno .10. e l’ altro
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      lato .ab. sia .15. Voglio adonca il catetto cadente dal ponto .a. sopra il piano nel quale è il trian-
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      golo .bcd. Meneró la linea .fg. causante retto angolo .gfd. e .gfe., comporró la retta .ag. e nel
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      triangolo .afg., sopra la linea .fg., il catetto produrró che sia il catetto cadente dal ponto .a.
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      sopra il lato del triangolo .bcd. el quale catetto per numero cosí si trova per noticia deli an-
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      goli, commo nel secondo Euclide mostra. Perché retto è l’ angolo .gfd. e peró sia la linea .fg. equi-
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      distante al catetto .be. Onde e gli é cosí .df. al .de. cosí .dg. al .db. certamete e gli é .de.9. e
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      .df.7., cioé la mitá del .cd., imperoché equicurio è il triangolo .acd. Adonca è cosí .7. al .9.
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      cosí .dg. non saputo al .db. saputo che è .15. Onde, multiplicando .7. per .15. e diviso per .9., vienne
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      .11 2/3. per la linea .dg. non saputa. Similmente, se multiplicaremo .df. per .be., cioé .7. per .12. e dividere-
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      mo per .de., virranne .9 1/3. per la linea .fg. Dapoi nel triangolo .abd., sopra il lato .bd. meneremo
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