9369
Productis enim contingentibus EB, NI vſque ad aſymptotos in S, T, fiat
vt DB ad MI, ita BQ ad IV, & per V applicetur VXY: cum ſit DB maior
MI, erit BQ, & IR maior IV, eſtque FB maior OI (cum duplum DB ſit maior
duplo MI) ergo tota FQ erit maior tota OV, & QA ad VX erit vt DB 1138. h. MI, & quoniam QB ad VI, eſt vt BD ad IM, vel vt dimidium BF ad dimi-
dium IO, erit per-
63[Figure 63]
mutando, compo-
nendo, & iterum
permutando QF ad
VO, vt BF ad IO,
vel vt DB ad MI; &
cum ſit quadratum
SB ad TI, vt rectan-
gulũ DBE ad MIN,
vtrunque enim eſt
quarta pars ſuæ fi-
guræ) vel vt qua-
dratum DB ad qua-
dratum MI; ob rectangulorum ſimilitudinem) vel ſumptis ſubquadruplis, vt
quadratum FB ad OI, erit quoque linea SB ad TI, vt linea FB ad OI, & per-
mutando SB ad BF, vt TI ad IO, ſed anguli SBF, TIO ſunt æquales per ſex-
tam ſecundarum definitionum, & per conſtructionem, quare triangula SBF,
TIO erunt ſimilia, vti etiam triangula GQF, YVO, obidque homologa eo-
rum latera proportionalia erunt, hoc eſt GQ ad YV, vt FQ ad OV, ſed eſt
FQ maior OV, ergo, & GQ erit maior YV, ſed FQ ad OV, eſt vt DB ad MI,
item AQ ad XV, vt DB ad MI, vt ſupra oſtendimus, quare GQ ad YV erit
vt AQ ad XV, & permutando, & per conuerſionem rationis, & iterum per-
mutando GQ ad YV, vt GA ad YX, ſed eſt GQ maior YV, ergo, & G A
maior YX, eſt autem YX maior PH, ergo eò magis GA erit maior PH. Quod
erat demonſtrandum.
vt DB ad MI, ita BQ ad IV, & per V applicetur VXY: cum ſit DB maior
MI, erit BQ, & IR maior IV, eſtque FB maior OI (cum duplum DB ſit maior
duplo MI) ergo tota FQ erit maior tota OV, & QA ad VX erit vt DB 1138. h. MI, & quoniam QB ad VI, eſt vt BD ad IM, vel vt dimidium BF ad dimi-
dium IO, erit per-
nendo, & iterum
permutando QF ad
VO, vt BF ad IO,
vel vt DB ad MI; &
cum ſit quadratum
SB ad TI, vt rectan-
gulũ DBE ad MIN,
vtrunque enim eſt
quarta pars ſuæ fi-
guræ) vel vt qua-
dratum DB ad qua-
dratum MI; ob rectangulorum ſimilitudinem) vel ſumptis ſubquadruplis, vt
quadratum FB ad OI, erit quoque linea SB ad TI, vt linea FB ad OI, & per-
mutando SB ad BF, vt TI ad IO, ſed anguli SBF, TIO ſunt æquales per ſex-
tam ſecundarum definitionum, & per conſtructionem, quare triangula SBF,
TIO erunt ſimilia, vti etiam triangula GQF, YVO, obidque homologa eo-
rum latera proportionalia erunt, hoc eſt GQ ad YV, vt FQ ad OV, ſed eſt
FQ maior OV, ergo, & GQ erit maior YV, ſed FQ ad OV, eſt vt DB ad MI,
item AQ ad XV, vt DB ad MI, vt ſupra oſtendimus, quare GQ ad YV erit
vt AQ ad XV, & permutando, & per conuerſionem rationis, & iterum per-
mutando GQ ad YV, vt GA ad YX, ſed eſt GQ maior YV, ergo, & G A
maior YX, eſt autem YX maior PH, ergo eò magis GA erit maior PH. Quod
erat demonſtrandum.
COROLL.
EX hac patet, in ſimilibus Hyperbolis aſymptotos ad partes æqualium in-
clinationum ductas, æquales angulos cum diametris efficere, ac ideo
angulos ab aſymptotis factos eſſe inter ſe æquales. Cum enim demonſtrata
ſint triangula SFB, TOI ſimilia, erunt anguli ad F, O, æquales; eademque
ratione æquales etiam anguli ab alijs aſymptotis cum diametris ad alteram
partem conſtitutis; vnde eorum aggregata, nempe anguli ab aſymptotis fa-
cti in ſimilibus Hyperbolis inter ſe æquales erunt.
clinationum ductas, æquales angulos cum diametris efficere, ac ideo
angulos ab aſymptotis factos eſſe inter ſe æquales. Cum enim demonſtrata
ſint triangula SFB, TOI ſimilia, erunt anguli ad F, O, æquales; eademque
ratione æquales etiam anguli ab alijs aſymptotis cum diametris ad alteram
partem conſtitutis; vnde eorum aggregata, nempe anguli ab aſymptotis fa-
cti in ſimilibus Hyperbolis inter ſe æquales erunt.