1
DE MOTU
CORPORUM
CORPORUM
SECTIO V.
Inventio Orbium ubi umbilicus neuter datur.
LEMMA XVII.
Si a datæ Conicæ Sectionis puncto quovisP, ad Trapezii alicujus
ABDC, in Conica illa ſectione inſcripti, latera quatuor infinite
productaAB, CD, AC, DB, totidem rectæPQ, PR, PS, PT
in datis angulis ducantur, ſingulæ ad ſingula: rectangulum duc
tarum ad oppoſita duo lateraPQXPR, erit ad rectangulum duc
tarum ad alia duo latera oppoſitaPSXPT in data ratione.
ABDC, in Conica illa ſectione inſcripti, latera quatuor infinite
productaAB, CD, AC, DB, totidem rectæPQ, PR, PS, PT
in datis angulis ducantur, ſingulæ ad ſingula: rectangulum duc
tarum ad oppoſita duo lateraPQXPR, erit ad rectangulum duc
tarum ad alia duo latera oppoſitaPSXPT in data ratione.
Cas.1. Ponamus primo lineas ad
38[Figure 38]
oppoſita latera ductas parallelas eſ
ſe alterutri reliquorum laterum,
puta PQ& PRlateri AC,& PS
ac PTlateri AB.SintQ.E.I.ſuper
latera duo ex oppoſitis, puta AC
& BD,ſibi invicem paralle
la. Et recta quæ biſecat paralle
la illa latera erit una ex diametris
Conicæ ſectionis, & biſecabit eti
am RqueSit Opunctum in quo
RQbiſecatur, & erit POordinatim applicata ad diametrum illam.
Produc POad Kut ſit OKæqualis PO,& erit OKordinatim
applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta A, B,
P& Kſint ad Conicam ſectionem, & PKſecet ABin dato an
gulo, erit (per Prop.17 & 18 Lib. III Conieorum Apollonii) rectangu
lum PQKad rectangulum AQBin data ratione. Sed QK& PR
æquales ſunt, utpote æqualium OK, OP,& OQ, ORdifferentiæ,
& inde etiam rectangula PQK& PQXPRæqualia ſunt; at
que adeo rectangulum PQXPReſt ad rectangulum AQB,hoc
eſt ad rectangulum PSXPTin data ratione. Q.E.D.
38[Figure 38]oppoſita latera ductas parallelas eſ
ſe alterutri reliquorum laterum,
puta PQ& PRlateri AC,& PS
ac PTlateri AB.SintQ.E.I.ſuper
latera duo ex oppoſitis, puta AC
& BD,ſibi invicem paralle
la. Et recta quæ biſecat paralle
la illa latera erit una ex diametris
Conicæ ſectionis, & biſecabit eti
am RqueSit Opunctum in quo
RQbiſecatur, & erit POordinatim applicata ad diametrum illam.
Produc POad Kut ſit OKæqualis PO,& erit OKordinatim
applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta A, B,
P& Kſint ad Conicam ſectionem, & PKſecet ABin dato an
gulo, erit (per Prop.17 & 18 Lib. III Conieorum Apollonii) rectangu
lum PQKad rectangulum AQBin data ratione. Sed QK& PR
æquales ſunt, utpote æqualium OK, OP,& OQ, ORdifferentiæ,
& inde etiam rectangula PQK& PQXPRæqualia ſunt; at
que adeo rectangulum PQXPReſt ad rectangulum AQB,hoc
eſt ad rectangulum PSXPTin data ratione. Q.E.D.