Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio sexta. Capitulum tertium. </p>
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      no al .q. sia la linea .qk. catetto del triangolo .qbd. nel quale, menato la linea .fr. equedistan-
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      te al .ik., sirá .fr. equale ala linea .ik., perché equedistante è la linea .fi. ala linea .kc.bk. e sia
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      .rk. iguale al .fi. e il triangolo .qif. e .frb. sonno simili. Onde se traremo .rk., cioé .if. del .kb., ri-
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      marranno .br.3. e, perché e gli é cosí .br. al .rf. cosí .fi. al .iq. Onde multiplicando .rf. per .fi. e
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      dividendo per .br., vienne .5. per lo catetto .qi. Onde tutta .qf. è .20. che è l’ altezza dela pira-
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      mide </p>
      <p class="main"> Se inn una spera si piglia un ponto dal quale .4. rette linee si menino infra loro
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      iguali e vadino ala superficie dela spera e quelle linee non sienno in una superficie
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      piana, quel ponto sia il centro dela spera. Verbi gratia: sia la spera .ab. e in quella
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      sia il ponto .z. dal quale sienno menate .4. linee infra loro iguali .zb.zg.zd.ze. e non
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      sienno li ponti .b.g.d.e. in una superficie piana. Dico il ponto .z. essere centro dela ditta spera e
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      questo evidentemente appare e peró nonn’ á bisogno de dimonstratione.
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      Quando sirá menato dal ponto del capo d’ ogni piramide colonnale al centro dela
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      basa sua perpendiculare sopra la sua basa, alora le linee rette che sonno menate
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      dal ponto del capo suo al cerchio contenente la superficie dela sua basa sonno in-
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      fra loro iguali. E la multiplicatone d’ una di quelle linee che sonno menate dal ca-
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      po loro al cerchio contenente la sua basa nela mitá del cerchio contenente la ditta basa é l’ a-
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      rea dela superficie de ditta piramide colonnale. Verbi gratia: sia la piramide colonnale .abgd.
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      dela quale la sua somitá sia .a. e la sua basa sia il circulo .bgd. del quale sia il centro .e. E la li-
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      nea .ae. ortogonalmente sia ritta sopra il piano del cerchio .bgd. E dal ponto .a. ala linea cir-
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      cunferentiale contenente il circulo .bgd. dela basa dela data piramide di colonna se meni
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      molte linee .ab.ag.ad. Dico certamente le rette .ab.ag.ad. infra lloro essere iguali. La prova: me-
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      nise dal centro .e. le rette .eb.eg.ed. che sonno tutte iguali infra loro. E, perché .ae. è perpen-
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      diculare sopra il piano del circulo .bgd. fienno gli angoli .aeb.aeg.aed. retti. Onde li trian-
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      goli sonno ortogonij .aeb.aeg.aed. e hano le base iguali che sonno .eb.eg.ed. e il lato .ae. è
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      commune. Onde li lati subtendenti agli angoli retti, che sonno .ab.ag.ad., sonno infra loro
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      iguali. E per questo è manifesto che tutte le rette linee che si possono menare dal .a. ala linea
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      circunferente .bgd. essere iguali ala linea </p>
      <p class="main"> Ancora dico che, multiplicato .ab. nela mitá dela linea circunferente .bgd., fará
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      l’ area dela superficie dela piramide, cioé l’ area di fuora dela superficie .abgd., la
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      quale superficie é dal circulo dela basa .bgd. infino ala sua summitá. E, se non fos-
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      se cosí, alora sia la multiplicatione dela linea .ab. dela mitá del circulo .bgd. ma-
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      giore o minore quella che facia l’ area dela superfie. Dico che quella quantitá che se mul-
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      tiplica per .ab., a fare l’ area dela superficie, sia minore over magiore dela mitá dela linea cir-
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      cunferente .bgd. E sia la quantitá .iz. e il doppio del .iz. é piú che ’l cerchio .bgd. Adonca fa-
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      ró sopra il cerchio .bgd. una figura rettilinea havente e lati e gli angoli iguali contenente
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      quello. E fienno li lati insiemi agionti meno che lo doppio del .iz. che sia la figura .lkt. E me-
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      neró la linea .ab., la quale è perpendiculare sopra la linea .bk., in questo modo. Meneró la li-
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      nea .et. Fienno li quadrati dele linee .eb. et .bt. iguali al quadrato dela linea .et. e commune a
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      tutti sia il quadrato dela perpendiculare .ae. Siranno li quadrati dele linee .eb. e .ba. igua-
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      li al quadrato dela linea .et. E communamente s’ agionga il quadrato dela perpendiculare .ae.
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      Fienno li quadrati dele linee .ae.eb.bt., cioé li quadrati dele linee .ab. e .bt., iguali al qua-
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      drato .at., onde l’ angolo .abt. è retto. Perpendiculare è adonca la linea .ab. sopra la linea .tk.
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      Similmente si mostra la linea .ag. essere perpendiculare sopra .kl. e .ad. sopra la linea .tl. E,
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      perché le rette .ab.ag.ad. sonno infra loro iguali, virrá dela multiplicatione d’ una di quel-
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      le, commo del .ab., nela mitá de’ lati del triangolo .tkl., l’ embado over area dela superficie de-
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      la piramide .atkl. magiore dela superficie dela piramide .abgd. conciosiacosaché la con-
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      tenga quella, cioé quello ch’ é infra ’l cerchio .bgd. e il ponto .a. E la mitá de’ lati del triangolo
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      .tkl. é minore che la quantitá .iz. Adonca giá fo la multiplicatione dela linea .ab. quello che
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      è meno dela linea .iz. é magiore dela superficie dela piramida di colonna che è impossibi-
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      le. Adonca nonn’ é possibile che la multiplicatione dela linea .ab. nela linea che sia magio-
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      re dela mitá del cerchio .bgd. sia l’ embado over continentia dela superficie .abgd. Anco-
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      ra porró la linea .iz. minore dela mitá dela circunferentia del circulo .bgd. e, se possibile è che del
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      dutto .ab. in .iz. ne pervenga l’ area dela superficie dela piramide .abgd. A multiplicare adonca dela
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      .1/2. dela circunferentia del circulo .bgd. fará la superficie d’ una minore piramide dela piramide .abgd.
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