Per puncta A, B, C, D& aliquod infinitorum punctorum P,pu
ta p,concipe Conicam ſectionem deſcribi: dico punctum Phanc
ſemper tangere. Si negas,
41[Figure 41]
junge APſecantem hanc
Conicam ſectionem alibi
quam in P,ſi fieri poteſt,
puta in b.Ergo ſi ab his
punctis p& bducantur in
datis angulis ad latera Tra
pezii rectæ pq, pr, ps, pt
& bk, br, bſ, bd; erit
ut bkXbr ad bſXbdita
(per Lem. XVII) pqXpr
ad psXpt,& ita (per
Hypoth.) PQXPRad
PSXPT.Eſt & prop
ter ſimilitudinem Trapeziorum bkAſ, PQAS,ut bkad bſita
PQad PS.Quare, applicando terminos prioris proportionis ad
terminos correſpondentes hujus, erit br ad bdut PRad PT.Er
go Trapezia æquiangula Dr bd, DRPTſimilia ſunt, & eorum
diagonales Db, DPpropterea coincidunt. Incidit itaque bin
interſectionem rectarum AP, DPadeoque coincidit cum puncto
P.Quare punctum P,ubicunque ſumatur, incidit in aſſignatam
Conicam ſectionem. Q.E.D.
ta p,concipe Conicam ſectionem deſcribi: dico punctum Phanc
ſemper tangere. Si negas,
41[Figure 41]junge APſecantem hanc
Conicam ſectionem alibi
quam in P,ſi fieri poteſt,
puta in b.Ergo ſi ab his
punctis p& bducantur in
datis angulis ad latera Tra
pezii rectæ pq, pr, ps, pt
& bk, br, bſ, bd; erit
ut bkXbr ad bſXbdita
(per Lem. XVII) pqXpr
ad psXpt,& ita (per
Hypoth.) PQXPRad
PSXPT.Eſt & prop
ter ſimilitudinem Trapeziorum bkAſ, PQAS,ut bkad bſita
PQad PS.Quare, applicando terminos prioris proportionis ad
terminos correſpondentes hujus, erit br ad bdut PRad PT.Er
go Trapezia æquiangula Dr bd, DRPTſimilia ſunt, & eorum
diagonales Db, DPpropterea coincidunt. Incidit itaque bin
interſectionem rectarum AP, DPadeoque coincidit cum puncto
P.Quare punctum P,ubicunque ſumatur, incidit in aſſignatam
Conicam ſectionem. Q.E.D.
Corol.Hinc ſi rectæ tres PQ, PR, PSa puncto communi P
ad alias totidem poſitione datas rectas AB, CD, AC,ſingulæ ad
ſingulas, in datis angulis ducantur, ſitque rectangulum ſub duabus
ductis PQXPRad quadratum tertiæ PS quad.in data ratione:
punctum P,a quibus rectæ ducuntur, locabitur in ſectione Conica
quæ tangit lineas AB, CDin A& C; & contra. Nam coeat linea
BDcum linea ACmanente poſitione trium AB, CD, AC; de
in coeat etiam linea PTcum linea PS:& rectangulum PSXPT
evadet PS quad.rectæque AB, CDquæ curvam in punctis A& B,
C& Dſecabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non am
plius ſecare poſſunt ſed tantum tangent.
ad alias totidem poſitione datas rectas AB, CD, AC,ſingulæ ad
ſingulas, in datis angulis ducantur, ſitque rectangulum ſub duabus
ductis PQXPRad quadratum tertiæ PS quad.in data ratione:
punctum P,a quibus rectæ ducuntur, locabitur in ſectione Conica
quæ tangit lineas AB, CDin A& C; & contra. Nam coeat linea
BDcum linea ACmanente poſitione trium AB, CD, AC; de
in coeat etiam linea PTcum linea PS:& rectangulum PSXPT
evadet PS quad.rectæque AB, CDquæ curvam in punctis A& B,
C& Dſecabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non am
plius ſecare poſſunt ſed tantum tangent.