Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio sexta. Capitulum </p>
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      che sia la piramide .acfh. dela quale la somitá sia .e. la basa sua sia il circulo .fcb. E descrive-
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      ró nel cerchio .fch. la figura rettilinea .cfh. e meneró, dal centro .e. sopra la linea .cf. el catetto
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      .el. che dividerá la linea .cf. in .2. parti iguali e comporró la retta .ac. al .af.ah. E, per quello che
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      s’ é detto, si mostrará la linea .al. essere perpendiculare sopra la linea .fc. e fienno iguali le perpendi-
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      culari cadenti sopra le linee .ch.fh. ala perpendiculare .al. Sia la retta .al. magiore che .ab., impero-
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      ché magiore è .el. che .eb. e la mitá de’ lati dele figure .cfh. è magiore dela mitá dela linea
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      circunferentiale del cerchio .bgd. e la mitá del cerchio .bgd. è magiore che .iz. E, a multiplicare
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      .al. nela mitá deli lati dele figure di rette linee .cfh., fanno l’ area dela piramide .acfh., dela
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      quale la basa è il triangolo .cfh. e dela multiplicatione del .ab., che è minore del .al., nel .iz., che
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      è minore de’ lati .cfh., ne proviene l’ area dela piramide magiore che la piramida .acfh., che è in-
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      conveniente. Adonca, a multiplicare .ab. nela mitá dela circunferentia del cerchio .bgd., fa-
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      ranno l’ area dela superficie dela piramide .abgd., ch’ era da dimostrare, la quale superficie é dal
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      summo dela piramide, cioé dal ponto .a., e il cerchio .bgd. Onde, se poniammo la perpendicula-
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      re .ae. essere .24. e il mezzo diametro .eb.7., sirá la linea .ab.25. la quale, multiplicata nela mitá de-
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      la circuferentia del circulo .bgd., che è .22., faranno .550. per l’ area dela superficie dela piramide .abgd.
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      Se sia una piramide di colonna corta dela quale la basa sia uno cerchio e il capo sia
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      il cerchio e sia equedistante la basa al capo e tu voglia la superficie di quella piramide
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      corta, dico che te bisogna sapere la linea che si mena dala circunferentia del cerchio
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      del capo dela basa ala circonferentia dela basa dela ditta piramide. E quella nela mi-
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      tá dela circunferentia de’ .2. cerchi, cioé del capo e dela basa, multiplica. E la mulplicatione si-
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      rá la superficie dela ditta piramide corta. Commo sia la piramide corta dela quale la basa sia il
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      cerchio .abg. e il suo capo sia il cerchio .dez. li quali cerchi sienno infra loro equedistanti e da’ cen-
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      tri loro si meni la retta .it. perpendiculare ad amendoi li cerchi e l’ estremitá di ditti cerchi si
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      congionga per le linee .be. e .gz. Dico che la multiplicatione del’ una de linee .be.gz. nela mitá de-
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      la circunferentia de’ cerchi .abg. e .dez. ne pervenga l’ area dela superficie dela corta piramide
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      cioé l’ area dela superficie che è infra ’ditti .2. cerchi. Commo sia il diametro .bg.14. e il diametro
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      .ez. sia gli .2/5., cioé .5 3/5. Per la linea .be.15. e .it. sia .14 2/5. E comporró la retta .mi. e, per li gli ponti .ez., me-
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      neró le linee .ec.zf. equedistanti ala retta .it. E fienno le rette .ct. et .tf. iguali commo sonno .ei. e
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      .iz. l’ altre .bc. e .gf. infra loro iguali. Onde li triangoli .ecb. e .zfg. sonno simili infra loro e igua-
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      li. E gli angoli al .b. e al .g. sonno infra loro iguali. Onde il triangolo .mbg. è equicurio haven-
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      te lati .bm. e .mg. iguali. E, perché la retta .ez. è equedistanti ala retta .bg., sia il triangolo .mez. si-
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      mile al triangolo .mbg. e equicurio havente gli angoli che sonno al .e. e .z. iguali. Onde la ret-
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      ta .mi. sia catetto sopra .ez. conciosiacosa sia in sul mezzo .ez., fo adonca l’ angolo .tib. retto.
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      Onde è manifesto la linea .mit. essere continuata. Adonca .me. è perpendiculare dela pira-
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      mide .mbag. e passa per lo centro del cerchio .edz. E, perché e la retta .mb. e .mg. sonno igua-
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      li, se da quelli togli .me. e .mz., rimarranno .eb. e .zg. infra loro iguali. Adonca .gz. è .15. E, per-
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      ché .ez. al .bg. è como .2. a .5. E per questo .me. al .mb. è commo .2. a .5. Onde .me. del .eb. è gli .2/3.,
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      cioé .10.; onde .mb. sia .25. del quale il quadrato, che è .625., se se ne togli el quadrato .tb., che è
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      .49. rimarrano .576. per lo quadrato del catetto .mt. e l’ arco .mag. sia .22., che vengono del .tb. in .3 1/7.
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      E l’ arco .edz. sia .8 14/5., cioé li .2/5. del’ arco .bag., li quali archi agionti fanno .30 4/5., li quali multiplicati
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      nela linea .eb., cioé in .15., fanno .462. per l’ area dela superficie che è infra ‘circuli .abg. e .dez. E s-
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      se del’ area dela superficie dela piramide .mabg., che viene del .mb. nel’ arco .bag., cioé del .25.
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      in .22., si togli l’ area dela superficie dela piramide .mez., che viene del .me. nel’ arco .dz., cioé de .10.
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      in .8 4/5., rimarranno similmente .462. per l’ area contenta infra ’l circulo .edz. e il cerchio .bag. e
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      questo volia </p>
      <p class="main"> Quando uno cerchio è diviso in .4. parti iguali dali doi diametri li quali fanno
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      sul centro .4. angoli retti. Dico che, se ’l si divide l’ arco d’ un di quelli .4. quarti in par-
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      ti iguali quante voi e de ciascuna di quelle parti si meni nel cerchio la linea eque-
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      distante alo diametro. E dal ponto del diamentro in sula circunferentia si pona
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      il regolo et passi per lo primo ponto dela prima parte e menisi in infinito, infino si congion-
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      ga colla linea del diametro menata infinitamente. Commo sia il cerchio .abcd., diviso in .4. par-
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      ti iguali dal diametro .ab. e .cd., che fanno .4. retti angoli al centro .e. e dividase una parte,
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      cioé il quarto, che è l’ archo .da., in .4. parti iguali che fienno .df.fh.hk. e .ka. E menise le li-
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      nee da’ ditti ponti .fhk. equedistanti alo diametro .ab. e fienno .fg. e .hi. e .kl. Dico che, menan-
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      do la linea .df. in infinito infino a tanto si congionga con lo diametro .ab., menato in continuo
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