1KC ad R. ac propterea lineæ OPQR inter ſe ſunt æquales.
Atverò quoniam ita eſt AC ad AG, vt AG ad O, & vt
AC ad GH, ita GH, hoc eſt AG ipſi ęqualis, ad P. rurſus
vt AC ad HK, ita HK, hoc eſt AG ad 〈que〉 ac tandem vt
AC ad KC, ita KC, hoc eſt AG ipſi ęqualis, ad R. erit
ad omnes conſe〈que〉ntes ſimul ſumptas AG GH HK KC,
hoc eſt erit AC ad eandem AC, vt AG ad omnes ſimul
OPQR. vnde ſequitur omnes ſimul OPQR ipſi AG ęqua
les eſſe. Ita〈que〉 quoniam ſimilia triangula in dupla pro
portione laterum homologorum, erit triangulum ABC ad
ALG, vt AC ad O. eodemquè modo erit triangulum ABC
ad GMH, vt AC ad P. rurſus ABC ad HNK, vt AC ad
Q, & vt idem ABC ad KFC, ita AC ad R. triangulum
igitur ABC ad omnes conſe〈que〉ntes, videlicet ad omnia triam
gula ſimul ſumpta ALG GMH HNK KFC, eritvt AC ad
omnes ſimul OPQR. hoc eſt ad AG. oſtenſum eſt igitur,
quod propoſitum fuit.
Atverò quoniam ita eſt AC ad AG, vt AG ad O, & vt
AC ad GH, ita GH, hoc eſt AG ipſi ęqualis, ad P. rurſus
vt AC ad HK, ita HK, hoc eſt AG ad 〈que〉 ac tandem vt
AC ad KC, ita KC, hoc eſt AG ipſi ęqualis, ad R. erit
ad omnes conſe〈que〉ntes ſimul ſumptas AG GH HK KC,
hoc eſt erit AC ad eandem AC, vt AG ad omnes ſimul
OPQR. vnde ſequitur omnes ſimul OPQR ipſi AG ęqua
les eſſe. Ita〈que〉 quoniam ſimilia triangula in dupla pro
portione laterum homologorum, erit triangulum ABC ad
ALG, vt AC ad O. eodemquè modo erit triangulum ABC
ad GMH, vt AC ad P. rurſus ABC ad HNK, vt AC ad
Q, & vt idem ABC ad KFC, ita AC ad R. triangulum
igitur ABC ad omnes conſe〈que〉ntes, videlicet ad omnia triam
gula ſimul ſumpta ALG GMH HNK KFC, eritvt AC ad
omnes ſimul OPQR. hoc eſt ad AG. oſtenſum eſt igitur,
quod propoſitum fuit.
2. ſexti.
1. lemma.
29. primi.
76. primi.
19.ſexti.
61[Figure 61]
PROPOSITIO. XIII.
Sit triangulum ABC. & in ipſo ſit AD ab angulo A ad dimi
diambaſim BC ducta. oſtendendum est, centrum grauitatis trianguli
ABC eſſe in linea AD. Non ſit quidem, ſed ſi fieri potest ſit punctum
H. & ab ipſo ducatur HI æquidiſtansipſi BC, quæ ipſam AD
in I. Deinde diuiſa DC bifariam, idquè ſemper fiat, dones relinqua
tur linea Dω minor ipſa HI. Diuidaturquè ipſarum vtra〈que〉 BD DC
in partes æquales Dω; parteſquè in DC exrſtentes ſint Dω ωβ
βZ ZC; quibus reſpondeant æquales partes DααζζO OB. &
a ſectionum punctis ducantur OE ζG αL ωM βK ZF æquidictan
tes ipſi AD. & connectantur EF Gk LM quæ nimirum ipſi BC
æquidistantes erunt. cùm enim ſint BD DC interſe equales, iti
dem OB ZC æquales; erit DO ipſi DZ ęqualis. quare DO
ad OB eſt, vt DZ ad ZC. Quoniam autem EO FZ ſunt
diambaſim BC ducta. oſtendendum est, centrum grauitatis trianguli
ABC eſſe in linea AD. Non ſit quidem, ſed ſi fieri potest ſit punctum
H. & ab ipſo ducatur HI æquidiſtansipſi BC, quæ ipſam AD
in I. Deinde diuiſa DC bifariam, idquè ſemper fiat, dones relinqua
tur linea Dω minor ipſa HI. Diuidaturquè ipſarum vtra〈que〉 BD DC
in partes æquales Dω; parteſquè in DC exrſtentes ſint Dω ωβ
βZ ZC; quibus reſpondeant æquales partes DααζζO OB. &
a ſectionum punctis ducantur OE ζG αL ωM βK ZF æquidictan
tes ipſi AD. & connectantur EF Gk LM quæ nimirum ipſi BC
æquidistantes erunt. cùm enim ſint BD DC interſe equales, iti
dem OB ZC æquales; erit DO ipſi DZ ęqualis. quare DO
ad OB eſt, vt DZ ad ZC. Quoniam autem EO FZ ſunt