1ut Vk-VKad kS-KS,id eſt ut 2 VXad 2 KX& 2 KXad
2 SX,adeoque ut VXad HX& HXad SX,ſimilia erunt tri
angula VXH, HXS,& propterea VHerit ad SHut VXad XH,
adeoque ut VKad KS.Habet igitur Trajectoriæ deſcriptæ axis
principalis VHeam rationem ad ipſius umbilieorum diſtantiam SH,
quam habet Trajectoriæ deſcribendæ axis principalis ad ipſius um
bilieorum diſtantiam, & propterea ejuſdem eſt ſpeciei. Inſuper cum
VH, vHæquentur axi principali, & VS, vSa rectis TR, tr
perpendiculariter biſecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas
Trajectoriam deſcriptam tangere. q.E.F.
2 SX,adeoque ut VXad HX& HXad SX,ſimilia erunt tri
angula VXH, HXS,& propterea VHerit ad SHut VXad XH,
adeoque ut VKad KS.Habet igitur Trajectoriæ deſcriptæ axis
principalis VHeam rationem ad ipſius umbilieorum diſtantiam SH,
quam habet Trajectoriæ deſcribendæ axis principalis ad ipſius um
bilieorum diſtantiam, & propterea ejuſdem eſt ſpeciei. Inſuper cum
VH, vHæquentur axi principali, & VS, vSa rectis TR, tr
perpendiculariter biſecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas
Trajectoriam deſcriptam tangere. q.E.F.
Cas.3. Dato umbilico Sdeſcribenda ſit Trajectoria quæ rect
am TRtanget in puncto dato R.In rectam TRdemitte perpen
dicularem ST,& produc eandem ad V,ut ſit TVæqualis ST.Junge
VR,& rectam VSinfinite productam ſeca in K& k,ita ut ſit
VKad SK& Vkad Skut Ellipſeos deſcribendæ axis principalis
ad diſtantiam umbilieorum; circuloque ſuper diametro Kkde
ſcripto, ſecetur producta recta VRin H,& umbilicis S, H,axe
principali rectam VHæquante, deſcribatur Trajectoria. Dico fa
ctum. Namque VHeſſe ad
33[Figure 33]
SHut VKad SK,atque adeo
ut axis principalis Trajectoriæ
deſcribendæ ad diſtantiam um
bilieorum ejus, patet ex demon
ſtratis in Caſu ſecundo, & prop
terea Trajectoriam deſcriptam
ejuſdem eſſe ſpeciei cum deſcri
benda; rectam vero TRqua an
gulus VRSbiſecatur, tangere Trajectoriam in puncto R,patet ex
Conicis. q.E.F.
am TRtanget in puncto dato R.In rectam TRdemitte perpen
dicularem ST,& produc eandem ad V,ut ſit TVæqualis ST.Junge
VR,& rectam VSinfinite productam ſeca in K& k,ita ut ſit
VKad SK& Vkad Skut Ellipſeos deſcribendæ axis principalis
ad diſtantiam umbilieorum; circuloque ſuper diametro Kkde
ſcripto, ſecetur producta recta VRin H,& umbilicis S, H,axe
principali rectam VHæquante, deſcribatur Trajectoria. Dico fa
ctum. Namque VHeſſe ad
33[Figure 33]SHut VKad SK,atque adeo
ut axis principalis Trajectoriæ
deſcribendæ ad diſtantiam um
bilieorum ejus, patet ex demon
ſtratis in Caſu ſecundo, & prop
terea Trajectoriam deſcriptam
ejuſdem eſſe ſpeciei cum deſcri
benda; rectam vero TRqua an
gulus VRSbiſecatur, tangere Trajectoriam in puncto R,patet ex
Conicis. q.E.F.
Cas.4. Circa umbilicum Sdeſcribenda jam ſit Trajectoria APB,
quæ tangat rectam TR,tranſeatque per punctum quodvis Pextra
tangentem datum, quæque ſimilis ſit Figuræ apb,axe principali
ab& umbilicis s, hdeſcriptæ. In tangentem TRdemitte per
pendiculum ST,& produc idem ad V,ut ſit TVæqualis ST.An
gulis autem VSP, SVPfac angulos hsq, shqæquales; cen
troque q& intervallo quod ſit ad abut SPad VSdeſcribe circu
lum ſecantem Figuram apbin p.Junge sp& age SHquæ ſit ad
shut eſt SPad sp,quæque angulum PSHangulo psh& angulum
VSHangulo psqæquales conſtituat. Denique umbilicis S, H,
& axe principali ABdiſtantiam VHæquante, deſcribatur ſectio
Conica. Dico factum. Nam ſi agatur svquæ ſit ad sput eſt sh
quæ tangat rectam TR,tranſeatque per punctum quodvis Pextra
tangentem datum, quæque ſimilis ſit Figuræ apb,axe principali
ab& umbilicis s, hdeſcriptæ. In tangentem TRdemitte per
pendiculum ST,& produc idem ad V,ut ſit TVæqualis ST.An
gulis autem VSP, SVPfac angulos hsq, shqæquales; cen
troque q& intervallo quod ſit ad abut SPad VSdeſcribe circu
lum ſecantem Figuram apbin p.Junge sp& age SHquæ ſit ad
shut eſt SPad sp,quæque angulum PSHangulo psh& angulum
VSHangulo psqæquales conſtituat. Denique umbilicis S, H,
& axe principali ABdiſtantiam VHæquante, deſcribatur ſectio
Conica. Dico factum. Nam ſi agatur svquæ ſit ad sput eſt sh