Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quarta. Capitulum </p>
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      Questo, acioché piú liquidamente appaia, sia il circulo .abcd. Del quale el diame-
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      tro .ac. sia .10. E in quello sia data la corda nota .bd. che sia .8. e vogliamo l’ arco
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      .bad., per la notitia di deta corda. Prima è da trovare la longheza di ciascuna saet-
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      ta in questo modo. Dividase la corda .bd. in .2. parti iguali sopra il ponto .e. E fa-
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      ciase .aec. e sia perpendiculare. La quale passerá per lo centro. E, per la .34a. del .3o., tanto fa
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      .be. in .ed., quanto .ae. in .ec. Dove .be. in .ed. fanno .16. E dirai che tu habia a dividere .10. in .2. parti,
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      che, l’ una multiplicata nel’ altra facino .16. Che sia l’ una .2., l’ altra .8. Adunque .ae. è .2. e .ec. è </p>
      <p class="main"> E, similmente, volendo la corda .bd., havendo la saetta .ae. e .ec., multiplicando .2. via .8. e di quel-
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      lo pigliando la radici che sia .4. per lo .be. e altretanto per lo .ed. E cosí tutta .bd. è .8. Faciase
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      adunque le .2. corde degli .2. archi .ab. e .ad. per le linee .ab. e .ad. Dele quali, se vuoi la notitia, a-
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      giongase el quadrato .ae. col quadrato .be. e haremo .20. per lo quadrato d’ una dele linee .ad.
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      overo .ab. Dipoi dividasi la corda .ad. nel ponto .g., faremo .igfh. diametro e troveremo, per
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      quelle cose che sonno dette, la notitia dele saette .ig. e .gh., con quai li quadrati dele linee .ag. e
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      .gi. congiungeremo e haremo el quadrato dela linea .ai., che è la quarta parte di tutto l’ arco .bda.
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      E cosí faremo frequentemente e haremo apresso a tutto l’ arco .bad. Lo quale dela linea cir-
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      cunferente, cioé del .adhb., cioé di .31 3/7., trarai e rimarrate l’ arco .bcd. manifesto.
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      Ancora ci é un altro modo a trovare degli archi le corde de’ mezzi archi de’ qua-
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      li archi le corde sonno note. El quale Ptolomeo pose nel’ Almagesto. Sia adonca
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      nel cerchio .abgd. el diametro .bd. noto e ancore la corda .ad. nota. Voglio trova-
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      re la corda dela mitá del’ arco .ad. Meneró la corda .ab. e sia nota: conciosiacosa-
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      ché la corda .ad. sia nota e l’ angolo .dab. sia retto per la .30a. del 3o. Onde il quadrato del dia-
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      metro .db. è iguali a’ .2. quadrati de .2. corde .da. e .ab. E faciase la retta .be. iguale ala retta .ba.
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      e dividase l’ angolo .abe. in .2. parti iguali dala linea .bz. e comporró le rette .zd.ze.za. E dal
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      ponto .z., sopra el diametro .bd., meneró il catetto .zi. E, perché e gli è iguale la retta .ab. ala ret-
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      ta .be., se comunamente si pone la retta .bz., fienno .2. rette .ab. e .bz. a .2. rette .bz. e .be. iguali, im-
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      peroche infra loro sonno iguali le periferie .az. e .zd. che, comme habiamo mostro, iguali an-
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      goli in uno cerchio, sopra l’ iguali periferie, sonno fatti overamente al centro overamen-
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      te sopra la circonferentia sienno fatti. E gli angoli che sonno al .b. sonno iguali infra loro e
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      sonno sopra le periferie .az.zd. Onde la retta .ze. è iguale ala retta .zd. e ala retta .za. per .4am.
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      primi. Equicurio é adunque il triangolo .zed. Onde il ponto .i., che è il cadimento del catetto
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      .zi., é in mezzo dela linea .ed. E, perché ortogonio è il triangolo .bzd., imperoché gli é nel mez-
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      zo cerchio e sopra le base, dal’ angolo retto, è menato lo catetto a ciascuno triangolo de’ .2.
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      per li quali ‘l triangolo .bzd. è diviso e ciascuno triangolo á uno angolo retto e uno comune
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      con tutto el triangolo .bzd. Comme Euclide per la .8a. del .6o. dimostra. Onde sará cosí .bd.
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      al .dz. cosí .zd. al .di. Onde la multiplicatione del .di. in .bd. è iguale al quadrato dela linea .zd.
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      E certamente .id. è noto. Conciosiacosaché sia la mitá del .ed., che è noto. Imperoché .be. è
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      noto che è iguali ala corda .ba. nota. Onde, se si toglie la la corda .ba., cioé .be., del diametro .bd.,
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      rimarrá .ed. noto. Dove la mitá di quello è .id. che sia noto. Onde, se multiplicaremo el .di. no-
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      to in .bd. noto, ne perverrá il quadrato dela corda .zd. noto. Onde .zd. sia noto comme habiamo
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      detto, che ancora, con numeri, porró sia il diametro .bd.10. e la corda .da. sia .8. Dove la
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      corda .ab. sia .6. E, perché .be. é a quella iguale, sia .be.6. che, tratto del diametro .bd., cioé di
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      .10., rimane .4. per la retta .ed. De’ quali la mitá, cioé .2., sia tutto .id. E dela multiplicatione del
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      .id. in .bd. fanno .20. che sonno iguali al quadrato dela corda .zd. Onde la corda .zd. è radici di </p>
      <p class="main"> Ancora, se traremo el quadrato dela linea .zd. del quadrato del diametro .bd.,
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      rimarrano .80. per lo quadrato dela corda .bz. De’ quali la radice è .9. meno .1/18.,
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      la quale se trarremo del diametro .bd., rimarrá .1 1/18. De’ quali se la mitá multipli-
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      caremo nel diametro .bd. overo se multiplicaremo .1 1/18. per la mitá del diametro,
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      cioé per .5., fanno .5 5/18. per lo quadrato dela corda, che è corda dela mitá del mezzo del’ arco
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      .dz. E, secondo questo modo, possiamo trovare le corde dela mitá di qualunque arco dato.
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      Ma questa tale inventione non è da essere operata da quelli che misurano e campi, che
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      vogliono procedere secondo un vulgare modo. Imperoché, quando vulgarmente la lon-
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      ghezza d’ alcuno arco disidereno d’ avere, habiano alcuna misura cognosciuta de .2. o .3.bracia.,
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      la quale si possa piegare e distendere. E con quella studi intorno misurare gli archi che vo-
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      gliano misurare. Overamente habino una fune d’ un braccio o piú e con quella studi misurare
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      intorno gl’ archi de’ cerchi, ficando spesso le canne per lo giro del cerchio, accioche quella fune
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      non si disvii dala circonferentia del circulo. E cosí potrai la misura di tutti gli archi de’ cerchi
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