1due angoli retti; perciochè se oltre a questo
allongando procederai, subbito perverrai a un piano nel quale cadendo una
linea retta perpendicolarmente formarà due angoli retti, come si può
osservare in questo essempio segnato A. Il medesimo per avventura havrebbe
possuto dire adattando l’angolo ottusissimo alla Sfera, od alla
circonferenza; perciochè così fatto angolo può esser seguito da due angoli
retti sferali; che allargandosi continuamente l’angolo ottusissimo posto o
fuore o dentro la circonferenza, o sopra la superficie della Sfera,
finalmente bisogna che si riduca alla stessa circonferenza, overo alla
superficie sferica, come si può osservar nella formation delle figure di
molti lati, là dove moltiplicati i tagliamenti e costituiti tuttavia archi
minori, per la trentunesima del 3° d’Euclide si formano sempre angoli
maggiori ed ognhora più ottusi, come si accenna con questa figura, segnata
B. Ma per mostrar questo con qualche ragione, bisogna dire che ‘l
riducimento dell’angolo alla linea si può fare in due maniere, cioè o
aggiognendo all’angolo o diminuendo.
Diminuendo si fa tirando sempre nuove linee che si tocchino nel medesimo
punto dentro alle prime, che chiudono l’angolo proposto, come dentro le AB.
BC. che formano l’angolo retto ABC. Si tirino le linee DG. che scemandolo il
fanno diventar acuto; di poi le EF., le quali scemano l’angolo acuto e ‘l
fanno più acuto di prima; quindi tirate le linee GH, l’angolo scemato
diverrà ancho più acuto: tirate poi le IK si scemarà l’angolo acuto e si
farà molto più acuto, e così continuando di tirar nuove linee dentro al
detto angolo, si tagliarà talmente e talmente si diminuirà che posta in
mezzo ad esso la linea LB. l’angolo continuamen scemandosi si risolverà in
essa.
Perciochè le linee dello scemamento tanto si moltiplicano che si accostano
alla linea LB e quanto più si accostano tanto più si perde dello spatio; di
modo che finalmente tutto lo spatio contenuto dall’angolo si converte in una
linea, quasi nella
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stessa guisa che fa un piano opposto dirittamente all’occhio, come si dimostra dalla Prospettiva. Overo si dimostra in questa maniera. Essendo già tirato le due linee AB. BC. che terminino l’angolo ABC. si tirino le linee DG dentro l’angolo proposto, le quali scemino l’angolo retto e ‘l risolvino in acuto: di poi tirate dentro a queste due altre linee, ciò sono le EF, si scemi l’angolo acuto DBG. onde divenga via più acuto che ‘l primo che sarà l’angolo EBF. e tirate dentro a quest’angolo le linee GH. venga scemato l’angolo EBF. e fattone un angolo anchora più acuto che è GBH. Tirinsi in fra esso due altre linee IK, necessariamente verrà scemato l’angolo GBH e fattone l’angolo IBK. In mezzo al quale si faccia una linea retta LB. che divida l’angolo IBK per mezzo; pel 4° problema del primo d’Euclide e per le ragioni dette nel cap. 6°. Di modo che si truovi l’angolo LBI assai minore. Sia l’angolo LBI uguale all’angolo GBC. dividasi dalla linea NB per mezzo; adunque ‘l rimanente angolo NBC sarà assai minore d’ogn’altro: taglisi per mezzo l’angolo NBC. dalla linea OB. seguirà che l’angolo OBC sia molte volte più minore degli altri angoli, essendo minore tante volte dell’angolo precedente NBC. il quale è minore d’ogni altro angolo contenuto nella division dell’angolo ABC. E se sia possibile con la pratica dividersi l’angolo OBC. da una linea retta PB. dico che l’angolo PBC sarà molte volte più minore del precedente e de’ rimanenti angoli; onde procedendo continuamente in questa guisa, se non con la pratica, almeno con la speculativa si divida tante volte l’angolo che si pervenga finalmente alla stessa linea, e così si vedrà l’angolo necessariamente in essa essersi risoluto; che per la division continua, l’angolo continuamente si ristregne. Questo medesimo possiamo dimostrare con la ventunesima del primo d’Euclide là dove si mostra che costituite due linee rette dentro un triangolo dato, le quali sieno tirate dai termini de’ lati d’esso, essendo minori de’ lati del
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stessa guisa che fa un piano opposto dirittamente all’occhio, come si dimostra dalla Prospettiva. Overo si dimostra in questa maniera. Essendo già tirato le due linee AB. BC. che terminino l’angolo ABC. si tirino le linee DG dentro l’angolo proposto, le quali scemino l’angolo retto e ‘l risolvino in acuto: di poi tirate dentro a queste due altre linee, ciò sono le EF, si scemi l’angolo acuto DBG. onde divenga via più acuto che ‘l primo che sarà l’angolo EBF. e tirate dentro a quest’angolo le linee GH. venga scemato l’angolo EBF. e fattone un angolo anchora più acuto che è GBH. Tirinsi in fra esso due altre linee IK, necessariamente verrà scemato l’angolo GBH e fattone l’angolo IBK. In mezzo al quale si faccia una linea retta LB. che divida l’angolo IBK per mezzo; pel 4° problema del primo d’Euclide e per le ragioni dette nel cap. 6°. Di modo che si truovi l’angolo LBI assai minore. Sia l’angolo LBI uguale all’angolo GBC. dividasi dalla linea NB per mezzo; adunque ‘l rimanente angolo NBC sarà assai minore d’ogn’altro: taglisi per mezzo l’angolo NBC. dalla linea OB. seguirà che l’angolo OBC sia molte volte più minore degli altri angoli, essendo minore tante volte dell’angolo precedente NBC. il quale è minore d’ogni altro angolo contenuto nella division dell’angolo ABC. E se sia possibile con la pratica dividersi l’angolo OBC. da una linea retta PB. dico che l’angolo PBC sarà molte volte più minore del precedente e de’ rimanenti angoli; onde procedendo continuamente in questa guisa, se non con la pratica, almeno con la speculativa si divida tante volte l’angolo che si pervenga finalmente alla stessa linea, e così si vedrà l’angolo necessariamente in essa essersi risoluto; che per la division continua, l’angolo continuamente si ristregne. Questo medesimo possiamo dimostrare con la ventunesima del primo d’Euclide là dove si mostra che costituite due linee rette dentro un triangolo dato, le quali sieno tirate dai termini de’ lati d’esso, essendo minori de’ lati del