1triangolo formano un angolo maggiore; di
modo che, quante più linee si faranno dentro al triangolo proposto, gli
angoli da esse contenuti tanto più maggiori diverranno; onde saranno ogni
volta più ottusi; di maniera che se dentro al detto triangolo continuamente
si produrranno angoli più ottusi, bisognarà alfine condursi allo svanimento
dell’angolo e nel riducimento alla linea.
Perciochè ‘l triangolo è a figura e però è grandezza determinata; onde non si
può infinitamente scemare: e così gli angoli dentro a essa non possono esser
infiniti, né infinitamente allargati e fatti ottusi; ma tanto si scema
l’angolo proposto e tanti angoli si formano dentro ‘l dato triangolo e tanto
si allargano e si ottusano; che finalmente si perviene al riducimento di
tutto l’angolo alla linea.
Ciò non si dimostra essendo provato in gran parte da Euclide nella detta
prop.
Solamente per facilitar la intelligenza formaremo qui appresso la figura.
Ma l’angolo si riduce alla linea retta aggiognendosi in questa maniera, cioè
costituite due linee che formino l’angolo retto ABC. si tirano di fuore due
linee rette DE. che terminino nel segno B. e così le IG. HI. e le KL. tanto
che si pervenga a due linee che sieno per diritto l’una all’altra, ciò sono
la MB. BN. Sia l’angolo MBA. uguale al NBC. perché dalle cose uguali
levandosi cose uguali, le rimanenti sono uguali pel 3° Assioma del primo
d’Euclide.
Traggasi dall’angolo MBA l’angolo IBC. e dall’NBC. l’angolo GBA. Adunque ‘l
rimanente HBK è uguale al rimanente IBL. Dividasi l’angolo GBA. e l’HBK.
dalla linea OP. adunque OBK è uguale all’angolo LBP. Ma l’angolo OBK è
minore di tutti gli angoli costituiti per le gionte, adunque ancho l’angolo
LBP. sarà minore altresì di tutti gli altri; ma quello è minore che più si
ristregne e si accosta alla linea per la ragion precedente; adunque i detti
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angoli son minori e ristregnendosi continuamente si convertano in una linea. Adunque l’angolo OBK. od altro minore, che per la division si succeda sarà fatto la linea MB. e l’angolo LBP. od altro minore, che li succeda col mezzo della divisione si sarà convertito nella linea BN. la quale essendo per diritto della MB. non conterrà più angolo; adunque l’angolo ABC allargato continuamente, overo aggionto con le linee DE. FG. HI. KL. e così seguendo finchè la larghezza dell’angolo proposto si accosti alla linea MN. ed aggiognendo sempre all’angolo precedente si converte finalmente nella intera linea MN. Overo si dimostri così. Aggiontato l’angolo ABC. dalle dette linee e diviso l’angolo KBN. dalla linea OB. e l’angolo IBL. della linea BP. segue che l’angolo MBK. (essendo già tirata la linea MBN. sia uguale all’angolo NBO. Ma l’angolo NBO. è ‘l più piccolo, e ‘l più vicino d’ong’altro a convertirsi nella linea, adunque l’angolo MBK. vi sarà ancho vicino essendo amendue parti dell’angolo MBH. Così anchora l’angolo NBL. è uguale all’angolo LBP. ma l’angolo LBP. è ‘l più stretto e ‘l più vicino d’ogn’altro a farsi linea, adunque, adunque l’angolo NBL. vi sarà ancho vicino, esendo amendue parti dell’angolo NBI. Ma i detti angoli son parti dell’angolo intero KBL. che è la gionta dell’angolo ABC. adunque tutto l’angolo intero si è già avvicinato a ridursi alla linea retta MN. alla quale all’hora giognerà quando si farà nuova gionta, tanto che si facciano due linee che sieno per diritto in fra loro come la MB alla BN. e questo è quel che si cercava di mostrare. Oltre acciò nella figura che si fa appo Euclide per dimostrar la trentacinquesima del primo, la quale è così formata, ponendo due parallelogrammi sopra la medesima base, e fra le medesime parallele; apparisce un corpo solido con sei angoli e cinque superficie, cioè tre parallelogra
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angoli son minori e ristregnendosi continuamente si convertano in una linea. Adunque l’angolo OBK. od altro minore, che per la division si succeda sarà fatto la linea MB. e l’angolo LBP. od altro minore, che li succeda col mezzo della divisione si sarà convertito nella linea BN. la quale essendo per diritto della MB. non conterrà più angolo; adunque l’angolo ABC allargato continuamente, overo aggionto con le linee DE. FG. HI. KL. e così seguendo finchè la larghezza dell’angolo proposto si accosti alla linea MN. ed aggiognendo sempre all’angolo precedente si converte finalmente nella intera linea MN. Overo si dimostri così. Aggiontato l’angolo ABC. dalle dette linee e diviso l’angolo KBN. dalla linea OB. e l’angolo IBL. della linea BP. segue che l’angolo MBK. (essendo già tirata la linea MBN. sia uguale all’angolo NBO. Ma l’angolo NBO. è ‘l più piccolo, e ‘l più vicino d’ong’altro a convertirsi nella linea, adunque l’angolo MBK. vi sarà ancho vicino essendo amendue parti dell’angolo MBH. Così anchora l’angolo NBL. è uguale all’angolo LBP. ma l’angolo LBP. è ‘l più stretto e ‘l più vicino d’ogn’altro a farsi linea, adunque, adunque l’angolo NBL. vi sarà ancho vicino, esendo amendue parti dell’angolo NBI. Ma i detti angoli son parti dell’angolo intero KBL. che è la gionta dell’angolo ABC. adunque tutto l’angolo intero si è già avvicinato a ridursi alla linea retta MN. alla quale all’hora giognerà quando si farà nuova gionta, tanto che si facciano due linee che sieno per diritto in fra loro come la MB alla BN. e questo è quel che si cercava di mostrare. Oltre acciò nella figura che si fa appo Euclide per dimostrar la trentacinquesima del primo, la quale è così formata, ponendo due parallelogrammi sopra la medesima base, e fra le medesime parallele; apparisce un corpo solido con sei angoli e cinque superficie, cioè tre parallelogra