1l’ugualità degli angoli conseguenti, tosto veniamo a conoscere la
perpendicolare, la quale dagli antichi fu detta Gnomone; perciochè lo
gnomone è una linea retta, che cade ad angoli retti sopra l’orizzonte; onde
vediamo che dal cader ad angoli retti si forma questa linea così detta; che
se non cadesse ad angoli retti; cioè se cadendo non formasse angoli retti,
non si potrebbe appellar Gnomone, né perpendicolare.
Dagli architetti si chiama Catetto, overo Piombo o linea a piombo, la quale
sopra ‘l piano forma gli angoli a squadra, che geometricamente si chiamano
retti; che se detti angoli non fossero a squadra la linea non sarebbe a
piombo.
Di maniera che l’esser a squadra sia cagion, che ella sia a piombo e
perpendicolare.
Ma passiamo più avanti.
Dalla cognition degli angoli si cagiona la cognition delle parallele sì come
chiaramente vedrà chiunque osserva Euclide nel 5° postulato e dalla prop.
ventisettesima, infine alle trentaduesima.
In tutte queste propositioni e nelle dimostrationi loro, dalla ugualità degli
angoli alterni, degli esterni, e degli interni e opposti e dall’esser uguali
a due retti si ritrahe la cognition delle parallele.
Il che si vede osservando gli angoli che si costituiscano da una linea, che
sia tirata sopra le parallele in tal guisa, che le taglino ad angoli retti.
La qual cosa potrà da ciascuno esser intesa in Euclide nelle dimostrationi
delle accennate prop.
Ma nel postulato 5° dagli angoli fatti per la linea cadente sopra due rette
linee, i quali son minori di due retti, s’impara a conoscer qua’ linee non
sieno
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parallele, di maniera che, per opposito, se la linea cadente sopra esse formasse gli angoli uguali a due retti, noi dalla notitia di quest’angoli potremo cavar la cognitione delle parallele. Gli angoli oltre acciò son cagione dello scemamento, e dell’accrescimento de’ lati e delle basi delle figure triangolari e parallelogramme così ancho della ugualità e della disugualità, come si può vedere appo Euclide nelle prop. .6., .19., .21. e .24. e .25. del primo. Perciochè nella .6. da due angoli d’un triangolo si traggano i lati sottoposti a essi esser uguali, il che è certissimo per la dimostratione; sì come pel contrario posti due angoli disuguali d’un medesimo triangolo, anchora i lati diverranno disuguali. Nella .19. si mostra, che sotto maggior angolo di ciascun triangolo è collocato maggior lato. E ciò non avvien per altro se non perché mentre cresce l’angolo cresce ‘l lato e però nella .18. prop. disse, il maggior lato di ciascun triangolo esser sotto a maggior angolo. Però possiamo dire che gli angoli col mezzo della grandezza loro son cagione della grandezza de’ lati. Si potrebbe ancho ciò ritrarre dalla prop. ventesima. Ma questo si dee intendere del lato che è opposto all’angolo nelle figure di tre lati. Vediamo hora se si può ritrarre ‘l medesimo effetto degli angoli ne’ parallelogrammi. Dice Euclide nella prop. trentacinquesima. I parallelogrammi posti nella medesima base e nelle medesime parallele esser fra loro uguali: là dove per dimostrarla si forma questa descrittione ABCDEF e sopra essa si dimostrano i due parallelogrammi ABCD e BEFC. esser uguali essendo nella medesima
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parallele, di maniera che, per opposito, se la linea cadente sopra esse formasse gli angoli uguali a due retti, noi dalla notitia di quest’angoli potremo cavar la cognitione delle parallele. Gli angoli oltre acciò son cagione dello scemamento, e dell’accrescimento de’ lati e delle basi delle figure triangolari e parallelogramme così ancho della ugualità e della disugualità, come si può vedere appo Euclide nelle prop. .6., .19., .21. e .24. e .25. del primo. Perciochè nella .6. da due angoli d’un triangolo si traggano i lati sottoposti a essi esser uguali, il che è certissimo per la dimostratione; sì come pel contrario posti due angoli disuguali d’un medesimo triangolo, anchora i lati diverranno disuguali. Nella .19. si mostra, che sotto maggior angolo di ciascun triangolo è collocato maggior lato. E ciò non avvien per altro se non perché mentre cresce l’angolo cresce ‘l lato e però nella .18. prop. disse, il maggior lato di ciascun triangolo esser sotto a maggior angolo. Però possiamo dire che gli angoli col mezzo della grandezza loro son cagione della grandezza de’ lati. Si potrebbe ancho ciò ritrarre dalla prop. ventesima. Ma questo si dee intendere del lato che è opposto all’angolo nelle figure di tre lati. Vediamo hora se si può ritrarre ‘l medesimo effetto degli angoli ne’ parallelogrammi. Dice Euclide nella prop. trentacinquesima. I parallelogrammi posti nella medesima base e nelle medesime parallele esser fra loro uguali: là dove per dimostrarla si forma questa descrittione ABCDEF e sopra essa si dimostrano i due parallelogrammi ABCD e BEFC. esser uguali essendo nella medesima