353341EPISTOL AE.
æquales.
Nunc protrahantur duæ .r.o. et .b.o. ab iiſdem punctis .b.r. ad aliud punctum,
quod volueris ipſius lineæ .p.h. quas probabo longiores' (ſimul ſumptas) eſſe priori-
bus. Imaginemur igitur duas perpendiculares, ſeu cathetos .b.i. et .q.r.a. punctis .b.
r. ad .p.h. abſciſſaque ſit linea .o.b. in puncto .x. ita quod .b.x. æqualis ſit ipſi .b.a. quod
nulli dubium erit poſſe effici, cum .o.b. longiot ſit .b.a. co quod opponatur angulo ob-
tuſo ipſius trianguli .b.a.o. quę .o.b. ſimiliter protrahatur vſque ad .d. ita quod .b.d.
æqualis ſit .x.b. deinde protrahatur .o.i. quouſque .i.h. æqualis ſit .a.i. In alia parte po-
ſtea idem faciendum eſt ſecando .a.r. in puncto .u. ita quod .u.r. æqualis ſit .r.o. efficien
do .r.s. æqualem .r.u. et .q.p. æquale .q.o. vnde habebimus productum .o.d. in .o.x. æqua
le producto .o.h. in .o.a. & productum .a.s. in .a.u. æquale producto .a.p. in .a.o. exiſtis
rationibus. Nam cum quadratum ipſius .o.b. æquale ſit duobus quadratis .o.i. et .i.
b. ex penultima primi Eucli. ipſa quadrata .o.i. et .i.b. æqualia erunt producto .o.d. in
o.x. ſimul ſumpto cum quadrato .b.x. ex .6. ſecundi, hoc eſt ipſi producto ſimul ſum-
pto cum quadrato .b.a. hoc eſt ipſi producto ſimul ſumpto cum duobus quadratis .a.
i. et .i.b. ſed quia productum .o.h. in .o.a. ſimul ſumpto cum quadrato .a.i. ęquatur qua
drato .o.i. ideo productum .o.h. in .o.a. ſimul ſumptum cum quadrato .a.i. & cum qua-
drato .i.b. æquale erit producto .o.d. in .o.x. ſimul ſumpto cum duobus quadratis dictis
hoc eſt ipſius .a.i. et .i.b. quę quadrata dempta cum fuerint ab vtraque parte, tunc cer
ti erimus producta eſſe inuicem æqualia. Idem dico de alijs ex altera parte. Nunc
imaginemur protractam eſſc .a.e. parallelam ipſi .o.b. & habebimus proportionem
ipſius .a.b. ad .a.i. maiorem eſſe ea quæ eſt ipſius .a.e. ad eandem .a.i. cum .a.b. maior
ſit ipſa .a.e. vt oppoſita angulo obtuſo, quapropter proportio .x.b. ad .a.i. maior erit
ea quæ eſt .o.b. ad .o.i. Iam enim ſcis proportionem .o.b. ad .o.i. eſſe, vt .a.e. ad .a.i. ex
ſimilitudine triangulorum. quare proportio .b.d. ad .i.h. maior erit proportione .o.b.
ad .o.i. tunc ex .27. quinti permutando proportio .b.d. ad .b.o. maior erit proportione .i.h.
ad .i.o. & ex .26. eiuſdem componendo maior proportio erit .o.d. ad .o.b. ea quę eſt .o.h. ad. o
i. & permutando maior ipſius .o.d. ad .o.h. ea quæ .o.b. ad .o.i. & ex .33. maior ipſius .b.
d. ad .i.h. ea quæ .o.d. ad .o.h. Sed vt .b.a. ad .a.i. ita eſt .a.r. ad .a.q. ex ſimilitudine triam
gulorum. Erit igitur .a.r. ad .a.q. maior proportio, ea quæ eſt .o.b. ad .o.i. & exijſdem
ſupradictis rationibus maior erit proportio ipſius .s.a. ad .p.a. ea quæ eſt .a.r. ad .a.q.
ſed cum iam probatum fuit proportio
384[Figure 384]
nem .b.d. ad .i.h. hoc eſt .a.b. ad .a.i. ma
iorem eſſe .o.d. ad .o.h. ergo eo ma-
gis maior erit proportio ipſius .a.s. ad
a.p. ca quæ .o.d. ad .o.h. ſed cum ex .15
ſexti, eadem ſit proportio .o.d. ad .o.a.
quæ .o.h. ad .o.x. et .s.a. ad .o.a. quę a.p.
ad .a.u. tunc erit permutando eadem
proportio ipſius .o.d. ad .o.h. quæ .o.a.
ad .o.x. & ipſius .a.o. ad .a.u. quemad-
modum ipſius .a.s. ad .a.p. Quare maior proportio erit ipſius .a.o. ad .a.u. quam .a. o.
ad .o.x. Vnde ſequitur .o.x. maiorem eſſe .a.u. ex .8. quinti, ergo .b.x.o.r. longior erit
ipſa .b.a.u.r. Quod eſt propoſitum.
quod volueris ipſius lineæ .p.h. quas probabo longiores' (ſimul ſumptas) eſſe priori-
bus. Imaginemur igitur duas perpendiculares, ſeu cathetos .b.i. et .q.r.a. punctis .b.
r. ad .p.h. abſciſſaque ſit linea .o.b. in puncto .x. ita quod .b.x. æqualis ſit ipſi .b.a. quod
nulli dubium erit poſſe effici, cum .o.b. longiot ſit .b.a. co quod opponatur angulo ob-
tuſo ipſius trianguli .b.a.o. quę .o.b. ſimiliter protrahatur vſque ad .d. ita quod .b.d.
æqualis ſit .x.b. deinde protrahatur .o.i. quouſque .i.h. æqualis ſit .a.i. In alia parte po-
ſtea idem faciendum eſt ſecando .a.r. in puncto .u. ita quod .u.r. æqualis ſit .r.o. efficien
do .r.s. æqualem .r.u. et .q.p. æquale .q.o. vnde habebimus productum .o.d. in .o.x. æqua
le producto .o.h. in .o.a. & productum .a.s. in .a.u. æquale producto .a.p. in .a.o. exiſtis
rationibus. Nam cum quadratum ipſius .o.b. æquale ſit duobus quadratis .o.i. et .i.
b. ex penultima primi Eucli. ipſa quadrata .o.i. et .i.b. æqualia erunt producto .o.d. in
o.x. ſimul ſumpto cum quadrato .b.x. ex .6. ſecundi, hoc eſt ipſi producto ſimul ſum-
pto cum quadrato .b.a. hoc eſt ipſi producto ſimul ſumpto cum duobus quadratis .a.
i. et .i.b. ſed quia productum .o.h. in .o.a. ſimul ſumpto cum quadrato .a.i. ęquatur qua
drato .o.i. ideo productum .o.h. in .o.a. ſimul ſumptum cum quadrato .a.i. & cum qua-
drato .i.b. æquale erit producto .o.d. in .o.x. ſimul ſumpto cum duobus quadratis dictis
hoc eſt ipſius .a.i. et .i.b. quę quadrata dempta cum fuerint ab vtraque parte, tunc cer
ti erimus producta eſſe inuicem æqualia. Idem dico de alijs ex altera parte. Nunc
imaginemur protractam eſſc .a.e. parallelam ipſi .o.b. & habebimus proportionem
ipſius .a.b. ad .a.i. maiorem eſſe ea quæ eſt ipſius .a.e. ad eandem .a.i. cum .a.b. maior
ſit ipſa .a.e. vt oppoſita angulo obtuſo, quapropter proportio .x.b. ad .a.i. maior erit
ea quæ eſt .o.b. ad .o.i. Iam enim ſcis proportionem .o.b. ad .o.i. eſſe, vt .a.e. ad .a.i. ex
ſimilitudine triangulorum. quare proportio .b.d. ad .i.h. maior erit proportione .o.b.
ad .o.i. tunc ex .27. quinti permutando proportio .b.d. ad .b.o. maior erit proportione .i.h.
ad .i.o. & ex .26. eiuſdem componendo maior proportio erit .o.d. ad .o.b. ea quę eſt .o.h. ad. o
i. & permutando maior ipſius .o.d. ad .o.h. ea quæ .o.b. ad .o.i. & ex .33. maior ipſius .b.
d. ad .i.h. ea quæ .o.d. ad .o.h. Sed vt .b.a. ad .a.i. ita eſt .a.r. ad .a.q. ex ſimilitudine triam
gulorum. Erit igitur .a.r. ad .a.q. maior proportio, ea quæ eſt .o.b. ad .o.i. & exijſdem
ſupradictis rationibus maior erit proportio ipſius .s.a. ad .p.a. ea quæ eſt .a.r. ad .a.q.
ſed cum iam probatum fuit proportio
iorem eſſe .o.d. ad .o.h. ergo eo ma-
gis maior erit proportio ipſius .a.s. ad
a.p. ca quæ .o.d. ad .o.h. ſed cum ex .15
ſexti, eadem ſit proportio .o.d. ad .o.a.
quæ .o.h. ad .o.x. et .s.a. ad .o.a. quę a.p.
ad .a.u. tunc erit permutando eadem
proportio ipſius .o.d. ad .o.h. quæ .o.a.
ad .o.x. & ipſius .a.o. ad .a.u. quemad-
modum ipſius .a.s. ad .a.p. Quare maior proportio erit ipſius .a.o. ad .a.u. quam .a. o.
ad .o.x. Vnde ſequitur .o.x. maiorem eſſe .a.u. ex .8. quinti, ergo .b.x.o.r. longior erit
ipſa .b.a.u.r. Quod eſt propoſitum.