278266IO. BABPT. BENED.
ſis verò eadem quæ eſt portionis, cuius diameter eſt .n.u. ex .9. 12. Eucli. & ex .42. id-
eſt vltima primi Archimedis de ſphæra, & cyllindro.
eſt vltima primi Archimedis de ſphæra, & cyllindro.
Nunc autem ex hoc aggregato iam vltimo dicto detrahatur conus, cuius .o.a. eſt
axis et .n.u. diameter baſis, qui quidem conus nobis cognitus eſt, cum .a.n. ſemidia-
meter eius baſis, nobis cognita ſit ex .34. 3. Eucli. & ſic quantitas eius baſis, & ita ter-
tia pars .a.o. eius axis, quę multiplicata cum dicta baſi, cuius .n.u. eſt diameter, produ
cit dictum conum, qui quidem conus, vt diximus, demptus cum fuerit ex dicto ag-
gre gato, relinquet nobis ſoliditatem portionis .n.e.u. vnde cognoſcemus proportio
nem iſtius portionis ad totam ſphæram propoſitam.
axis et .n.u. diameter baſis, qui quidem conus nobis cognitus eſt, cum .a.n. ſemidia-
meter eius baſis, nobis cognita ſit ex .34. 3. Eucli. & ſic quantitas eius baſis, & ita ter-
tia pars .a.o. eius axis, quę multiplicata cum dicta baſi, cuius .n.u. eſt diameter, produ
cit dictum conum, qui quidem conus, vt diximus, demptus cum fuerit ex dicto ag-
gre gato, relinquet nobis ſoliditatem portionis .n.e.u. vnde cognoſcemus proportio
nem iſtius portionis ad totam ſphæram propoſitam.
Sed cum nobis propoſita ſit proportio portionis .n.e.u. ad portionem .i.e.t. cogno
ſcemus etiam ſoliditatem huius ſecundę portionis .i.e.t. & ſimiliter proportionem hu-
ius ad totam ſphęram, & ad reſiduum etiam ipſius ſphęrę hoc eſt portioni .i.c.t.
ſcemus etiam ſoliditatem huius ſecundę portionis .i.e.t. & ſimiliter proportionem hu-
ius ad totam ſphęram, & ad reſiduum etiam ipſius ſphęrę hoc eſt portioni .i.c.t.
Protrahatur nunc diameter .c.e. à parte .e. vſque; quo .e.f. æqualis ſit .e.o. ſemidiame
tro ſphęrę, quæ quidem .f.e. diuidatur in puncto .h. ita vt proportio .f.h. ad .h.e. æqua-
lis ſit proportioni portionis .i.c.t. ad portionem .i.e.t. quod quidem hoc modo efficie
tur. applicabimus lineam .f.q. (indeterminatam) cum .f.e. ad quemuis angulum in pun-
cto .f. in qua accipiemus duas lineas .f.p. et p.q. inuicem ita relatas, vt ſe habent in pro
portione duæ iam dictæ portiones, hoc eſt, vt .i.c.t. portio ad portionem .i.e.t. ducen
do poſtea .q.e. et .p.h. parallelam ad ipſam .q.e. diuiſam habebimus .f.e. in eadem pro
portione vt dictum eſt ex .2. ſexti, & .11 quinti Euclidis, vnde .c.e: e.f. et .f.h. nobis co
gnitę erunt.
tro ſphęrę, quæ quidem .f.e. diuidatur in puncto .h. ita vt proportio .f.h. ad .h.e. æqua-
lis ſit proportioni portionis .i.c.t. ad portionem .i.e.t. quod quidem hoc modo efficie
tur. applicabimus lineam .f.q. (indeterminatam) cum .f.e. ad quemuis angulum in pun-
cto .f. in qua accipiemus duas lineas .f.p. et p.q. inuicem ita relatas, vt ſe habent in pro
portione duæ iam dictæ portiones, hoc eſt, vt .i.c.t. portio ad portionem .i.e.t. ducen
do poſtea .q.e. et .p.h. parallelam ad ipſam .q.e. diuiſam habebimus .f.e. in eadem pro
portione vt dictum eſt ex .2. ſexti, & .11 quinti Euclidis, vnde .c.e: e.f. et .f.h. nobis co
gnitę erunt.
Oportebit nos nunc cognoſcere quantitatem .c.x. hoc modo, videlicet, quęramus
quadratum, cuius .c.x. eius ſit radix, cui quadratum lineę .c.e. cognitum, ita ſit propor-
tionatum, vt eſt linea .x.f. ad lineam .f.h. quę nobis cognita eſt, quod rectè factum erit
ex eo, quod ſcripſit Archimedes in .4. ſecundi de ſphęra, & cyllindro.
quadratum, cuius .c.x. eius ſit radix, cui quadratum lineę .c.e. cognitum, ita ſit propor-
tionatum, vt eſt linea .x.f. ad lineam .f.h. quę nobis cognita eſt, quod rectè factum erit
ex eo, quod ſcripſit Archimedes in .4. ſecundi de ſphęra, & cyllindro.
Sed quia Archimedes eo in loco ſupponit id, quod necipſe, nec alius adhuc inue
nit, niſi via naturali, hoc eſt tres partes ęquales ex proportione data effici, non erit in
conueniens etiam nobis hac via, circa hoc aliquid dicere.
nit, niſi via naturali, hoc eſt tres partes ęquales ex proportione data effici, non erit in
conueniens etiam nobis hac via, circa hoc aliquid dicere.
Accipiemus igitur diametrum .c.e. cum addita .e.f. eius ſemidiametro, diuidemus
q́ue .f.e. in puncto .h. vt ſupra factum fuit, applicabimus poſtea .c.m. indeterminatam
angulariter ad .c.e. à qua .c.m. accipiemus .c.g. æqualem .f.h. quęremus deinde natu-
rali via punctum .b. ita ut protrahendo à puncto .e. (altero extremo diametri) e.m. pa
rallelam ad .b.g. ductam, erigendo .b.d. perpendicularem ad .c.e. in puncto .b. protra
ctaque; .d.c. quæ à diametro .e.c. deducta ab .c. incohando vſque ad .x. relinquat nobis .
x.f. ęqualem .c.m.
q́ue .f.e. in puncto .h. vt ſupra factum fuit, applicabimus poſtea .c.m. indeterminatam
angulariter ad .c.e. à qua .c.m. accipiemus .c.g. æqualem .f.h. quęremus deinde natu-
rali via punctum .b. ita ut protrahendo à puncto .e. (altero extremo diametri) e.m. pa
rallelam ad .b.g. ductam, erigendo .b.d. perpendicularem ad .c.e. in puncto .b. protra
ctaque; .d.c. quæ à diametro .e.c. deducta ab .c. incohando vſque ad .x. relinquat nobis .
x.f. ęqualem .c.m.
Cuius rei ratio eſt, quia quadratum .c.e. ſe habet ad quadratum .c.d. vt .c.e. ad .c.
b. ex .4. et .18. ſexti Eucl. ſed ex .4. ita ſe habet .m.c. ad .c.g. vt .e.c. ad .b.c. & cum ſit .c.
g. ęq alis .f.h. ſi .c.m. ęqualis fuerit .f.x. habebimus propoſitum. Quod ſi quis per di-
ſcretum vel et hoc facere, ita ei agendum erit.
b. ex .4. et .18. ſexti Eucl. ſed ex .4. ita ſe habet .m.c. ad .c.g. vt .e.c. ad .b.c. & cum ſit .c.
g. ęq alis .f.h. ſi .c.m. ęqualis fuerit .f.x. habebimus propoſitum. Quod ſi quis per di-
ſcretum vel et hoc facere, ita ei agendum erit.
Ponamus exempli gratia totum diametrum .c.e. propoſitæ ſphæræ eſſe ut decem,
proportionemque; reſiduę portionis .i.c.t. ad ſecundam .i.e.t. hoc eſt .f.h. ad .h.e. ſeſqui-
alteram eſſe, vnde .e.h. bis tertia erit ìpſius .f.h. totaque; linea .c.f. erit .15. et .f.h. erit .3.
& quadratum lineæ .c.e. erit .100.
proportionemque; reſiduę portionis .i.c.t. ad ſecundam .i.e.t. hoc eſt .f.h. ad .h.e. ſeſqui-
alteram eſſe, vnde .e.h. bis tertia erit ìpſius .f.h. totaque; linea .c.f. erit .15. et .f.h. erit .3.
& quadratum lineæ .c.e. erit .100.
Quærendo poſtea quadratum lineæ .c.x. cui quadratum .c.e. hoc eſt .100. ita pro-
portionatum ſit vt .f.x. ad .f.h. hoc eſt ad .3. ſi autem cogitauerimus .c.x. eſſe nouem
partium talium qualium .c.e. eſt decem, eius quadratum erit .81. et .x.f. erit .6. par-
tium talium qualium .c.f. eſt .15. dicendo poſtea ſi .100. dat .81. (ex regula de tribus)
portionatum ſit vt .f.x. ad .f.h. hoc eſt ad .3. ſi autem cogitauerimus .c.x. eſſe nouem
partium talium qualium .c.e. eſt decem, eius quadratum erit .81. et .x.f. erit .6. par-
tium talium qualium .c.f. eſt .15. dicendo poſtea ſi .100. dat .81. (ex regula de tribus)