366354IO. BABPT. BENED.
COROLLARIVM.
Proportio maioris portionis ad minorem ſemper erit ſeſquialtera proportioni
ipſius .b.g. ad .a.b. eo quod cum ſit proportio totalis portionis ad partialem vt trian-
guli .b.g.e. ad .b.a.d. & hæc ſeſquialtera proportioni ipſius .g.e. ad .a.o. hoc eſt vt ip-
ſius .b.g. ad .b.a. ideo proportio ipſarum portionum erit ſimiliter ſeſquialtera pro-
portioni diametrorum.
ipſius .b.g. ad .a.b. eo quod cum ſit proportio totalis portionis ad partialem vt trian-
guli .b.g.e. ad .b.a.d. & hæc ſeſquialtera proportioni ipſius .g.e. ad .a.o. hoc eſt vt ip-
ſius .b.g. ad .b.a. ideo proportio ipſarum portionum erit ſimiliter ſeſquialtera pro-
portioni diametrorum.
Deinde ſi protractæ fuerint .b.d. et .g.e. quouſque conueniant in puncto .z. habe
bis inter .g.z. et .a.o. duas .g.e. et .a.d. medias proportionales in proportionalitate con
tinua, eo quod cum (ex ijs quæ ſupra diximus.). a.d. media proportionalis ſit inter .
g.e. et .a.o. & proportio .g.z. ad .g.e. vt ipſius .a.d. ad .a.o. eo quodipſius .g.z. ad .a.d.
& ipſius .g.e. ad .a.o. eſt vt ipſius .b.g. ad .b.a. ex ſimilitudine triangulorum, ideo di-
ctæ proportiones erunt inuicem æquales. Vnde permutatim ita erit ipſius .g.z. ad .g.e.
vt ipſius .a.d. ad .a.o. & ut ipſius .g.e. ad .a.d.
bis inter .g.z. et .a.o. duas .g.e. et .a.d. medias proportionales in proportionalitate con
tinua, eo quod cum (ex ijs quæ ſupra diximus.). a.d. media proportionalis ſit inter .
g.e. et .a.o. & proportio .g.z. ad .g.e. vt ipſius .a.d. ad .a.o. eo quodipſius .g.z. ad .a.d.
& ipſius .g.e. ad .a.o. eſt vt ipſius .b.g. ad .b.a. ex ſimilitudine triangulorum, ideo di-
ctæ proportiones erunt inuicem æquales. Vnde permutatim ita erit ipſius .g.z. ad .g.e.
vt ipſius .a.d. ad .a.o. & ut ipſius .g.e. ad .a.d.
Amplius etiam dico, quod proportio pa
403[Figure 403]
rabolæ totalis ad partialem, eadem eſt, quę
cubi ipſius .g.e. ad cubum ipſius .a.d. & ex con
ſequenti, vt cuborum earundem baſium, eo
quod cum ſit, ex .36. vndecimi Euclid. pro-
portio cubi ipſius .g.e. ad cubum ipſius .a.d.
tripla ei quæ ipſius .g.e. ad .a.d. ideo æqualis
erit ei quę trianguli .b.g.e. ad triangulum .b.
a.d. cum proportio horum duorum triangu
lorum compoſita ſit (vt ſupra vidimus) ex
ea quæ .g.e. ad .a.o. & ex ea quæ .g.e. ad .a.d.
& hæc medietas illius, ſed trianguli ita ſe in
uicem habenr, vt parabolę, quare ipſæ para-
bolæ ſeinuicem habebunt, vt cubi ipſarum
baſium.
cubi ipſius .g.e. ad cubum ipſius .a.d. & ex con
ſequenti, vt cuborum earundem baſium, eo
quod cum ſit, ex .36. vndecimi Euclid. pro-
portio cubi ipſius .g.e. ad cubum ipſius .a.d.
tripla ei quæ ipſius .g.e. ad .a.d. ideo æqualis
erit ei quę trianguli .b.g.e. ad triangulum .b.
a.d. cum proportio horum duorum triangu
lorum compoſita ſit (vt ſupra vidimus) ex
ea quæ .g.e. ad .a.o. & ex ea quæ .g.e. ad .a.d.
& hæc medietas illius, ſed trianguli ita ſe in
uicem habenr, vt parabolę, quare ipſæ para-
bolæ ſeinuicem habebunt, vt cubi ipſarum
baſium.
Cubum fabricare æqualem pyramidi propoſitæ.
AD EVNDEM.
CVbum fabricare æqualem propoſitæ pyramidi quadrilateræ, nullius erit diffi-
cultatis, ſuppoſita tamen pro reperta diuiſione cuiuſuis datæ proportionis in
tres partes æquales. Nam ex .6. duodecimi Eucli. patet omne corpus ſerratile d-ui
ſibile eſſe in tres pyramides quadrilateras æquales, ſcimus etiam quod cuilibet py-
ramidi quadrilateræ poteſt reperiri ſuum ſerratile. Sit igitur propoſita pyramis qua
drilatera .m.g.f.h. cuius ſerratile ita inueniemus, ducendo primum .h.i. parallelam
ipſi .g.f. et .f.i. ipſi .g.h. in ſuperficie trianguli .f.g.h. et .m.K. ipſi .g.h. in ſuperficie
trianguli .m.g.h. & æqualem dictæ .g.h. ducetur poſtea .K.h. et .K.i. & habebimus cor
pus .f.K.g. ſerratile, & triplum pyramidi propoſitæ. Nunc duplicemus ipſum, du-
cendo .K.x. in ſuperficie trianguli .i.k.h. parallelam, æqualemque; ipſi .i.h. et .m.y.
in ſuperficie trianguli .f.m.g. parallelam, ęqualemque; ipſi .f.g. ducatur poſtea .g.y. et .h.
x. quarum vnaquæque; æqualis erit ipſi .f.m. vnde habebimus corpus .f.x. parallelepe-
pidum, & ſexcuplum ipſi pyramidi propoſitæ.
cultatis, ſuppoſita tamen pro reperta diuiſione cuiuſuis datæ proportionis in
tres partes æquales. Nam ex .6. duodecimi Eucli. patet omne corpus ſerratile d-ui
ſibile eſſe in tres pyramides quadrilateras æquales, ſcimus etiam quod cuilibet py-
ramidi quadrilateræ poteſt reperiri ſuum ſerratile. Sit igitur propoſita pyramis qua
drilatera .m.g.f.h. cuius ſerratile ita inueniemus, ducendo primum .h.i. parallelam
ipſi .g.f. et .f.i. ipſi .g.h. in ſuperficie trianguli .f.g.h. et .m.K. ipſi .g.h. in ſuperficie
trianguli .m.g.h. & æqualem dictæ .g.h. ducetur poſtea .K.h. et .K.i. & habebimus cor
pus .f.K.g. ſerratile, & triplum pyramidi propoſitæ. Nunc duplicemus ipſum, du-
cendo .K.x. in ſuperficie trianguli .i.k.h. parallelam, æqualemque; ipſi .i.h. et .m.y.
in ſuperficie trianguli .f.m.g. parallelam, ęqualemque; ipſi .f.g. ducatur poſtea .g.y. et .h.
x. quarum vnaquæque; æqualis erit ipſi .f.m. vnde habebimus corpus .f.x. parallelepe-
pidum, & ſexcuplum ipſi pyramidi propoſitæ.