372360IO. BAPT. BENED.
NOTABILES ERRORES ORONTII
& Tartaleæ.
& Tartaleæ.
Cornelio Bitonto.
PArvvs error non fuit, vt putabat Orontius, quodanguli triangulorum
æquicrurium inuicem æqualium, baſibus oppoſiti, ijſdem baſibus propor
tionales eſſent, cuius opinionis cauſa fuit quod nunquam viderit vel me
minerit eius quod Ptolomeus ſcripſit lib. primo Almageſti, vbi de diſpro
portionalitate chordarum arcuumque; tractat, vel quod ſcribit Vitellio lib. primo pro
poſitione .35. ſeu lib. quarto, propoſitione .21. quod idem eſt. Sed nec ego tibi pro
ponam id quod ſcribit Nicolaus Tartalea diuiſioni .28. quinti capitis quartæ partis
ſuorum tractatuum, eo quod non exactè ſcientificè ſcripſerit, nec vniuerſaliter, quan-
uis talis propoſitio poſſit ſcientificè ſcribi, accipiendo .b.c. in eius figura, pro latere
octagoni, vnde angulus .a.e.b. duplum foret angulo .b.e.c. collocato poſtea .b.c. in
arcu .a.b. punctum .c. medium fuiſſet dicti arcus, et .e.c. diuideret .a.b. per æqualia,
ex quinta primi, nec non ad rectos ex .3. tertij, vnde ex .18. primi, clare vidiſſemus
non eſſe proportionem .a.b. ad .b.c. vt anguli ad angulum. Sed vniuerſaliori modo
poſſumus hoc ſpeculari. Nam manifeſtè ſcimus, eandem eſſe proportionem circun
ferentiæ ad diametrum in omnibus circulis tam maioribus, quam minoribus.
Sint igitur duo anguli .a.e.b. et .c.e.b. cuiuſuis amplitudinis, quorum latera .e.a: e.b:
et .e.c. ſint inuicem æqualia, protrahatur .b.a. et .b.c. Tunc dico maiorem proportio
nem eſſe anguli .a.e.b. ad angulum .b.e.c. quam .a.b. ad .c.b. ducatur enim .b.g. ita quod
faciat angulum .g.b.c. æqualem angulo .e.b.a. protracta poſtea .c.g. quæ idem faciat
in puncto .c. vnde .g.b. et .g.c. æquales inuicem erunt ex .6. primi, & quia angulus .a.
æqualis eſt angulo e.b.a. ex quinta eiuſdem, ideo ex .32. dicti, et .4. ſexti, horum
duorum triangulorum latera, erunt inuicem proportionalia. Conſtituto deinde .g.
centro, & ſecundum ſemidiametrum .g.b. vel .g.c. quod idem eſt, deſcripto circu-
lo .b.i.c. necnon circulo .b.c.a. circa centrum .e. ope ſemidiametri .e.b. et .e.a. vn
de iſte circulus eritillo maior, cum .e.b. maior ſit .g.b. ex .14. quinti. cum ex .14. tertij
a.b. longior ſit .c.b. ſed ex vltima definitione tertij, arcus .b.i.c. et .b.c.a. erunt in-
uicem ſimiles, hoc eſt proportio totius cir-
cunferentiæ circuli .b.i.c. ad arcus .b.i.c. ea-
412[Figure 412]
dem erit, quæ totius circunferentiæ circuli
b.c.a. ad arcus .b.c.a. ſed proportio diame-
tri ad circunferentiam eſt vt diametri ad cir
cunferentiam, vt ſupra diximus; Quare ex
proportionum æqualitate, vt ſemidiametri
ad circunferentiam erit, vt ſemidiametri
ad circunferentiam, & per eandem propor
tionum ęqualitatem, proportio .e.b. ad arcum
b.c.a. erit, vt .g.b. ad arcum .b.i.c. & per ean
dem æqualitatem, ita erit .a.b. chordæ ad ar
cum .b.c.a. vt .c.b. chordæ ad arcum .b.i.c.
& permutando, ita erit chordæ .a.b. ad chor
dam .c.b. vt arcus .b.c.a. ad arcum .b.i.c. ſed
arcus .b.i.c. maior eſt arcu .b.d.c. ex commu
æquicrurium inuicem æqualium, baſibus oppoſiti, ijſdem baſibus propor
tionales eſſent, cuius opinionis cauſa fuit quod nunquam viderit vel me
minerit eius quod Ptolomeus ſcripſit lib. primo Almageſti, vbi de diſpro
portionalitate chordarum arcuumque; tractat, vel quod ſcribit Vitellio lib. primo pro
poſitione .35. ſeu lib. quarto, propoſitione .21. quod idem eſt. Sed nec ego tibi pro
ponam id quod ſcribit Nicolaus Tartalea diuiſioni .28. quinti capitis quartæ partis
ſuorum tractatuum, eo quod non exactè ſcientificè ſcripſerit, nec vniuerſaliter, quan-
uis talis propoſitio poſſit ſcientificè ſcribi, accipiendo .b.c. in eius figura, pro latere
octagoni, vnde angulus .a.e.b. duplum foret angulo .b.e.c. collocato poſtea .b.c. in
arcu .a.b. punctum .c. medium fuiſſet dicti arcus, et .e.c. diuideret .a.b. per æqualia,
ex quinta primi, nec non ad rectos ex .3. tertij, vnde ex .18. primi, clare vidiſſemus
non eſſe proportionem .a.b. ad .b.c. vt anguli ad angulum. Sed vniuerſaliori modo
poſſumus hoc ſpeculari. Nam manifeſtè ſcimus, eandem eſſe proportionem circun
ferentiæ ad diametrum in omnibus circulis tam maioribus, quam minoribus.
Sint igitur duo anguli .a.e.b. et .c.e.b. cuiuſuis amplitudinis, quorum latera .e.a: e.b:
et .e.c. ſint inuicem æqualia, protrahatur .b.a. et .b.c. Tunc dico maiorem proportio
nem eſſe anguli .a.e.b. ad angulum .b.e.c. quam .a.b. ad .c.b. ducatur enim .b.g. ita quod
faciat angulum .g.b.c. æqualem angulo .e.b.a. protracta poſtea .c.g. quæ idem faciat
in puncto .c. vnde .g.b. et .g.c. æquales inuicem erunt ex .6. primi, & quia angulus .a.
æqualis eſt angulo e.b.a. ex quinta eiuſdem, ideo ex .32. dicti, et .4. ſexti, horum
duorum triangulorum latera, erunt inuicem proportionalia. Conſtituto deinde .g.
centro, & ſecundum ſemidiametrum .g.b. vel .g.c. quod idem eſt, deſcripto circu-
lo .b.i.c. necnon circulo .b.c.a. circa centrum .e. ope ſemidiametri .e.b. et .e.a. vn
de iſte circulus eritillo maior, cum .e.b. maior ſit .g.b. ex .14. quinti. cum ex .14. tertij
a.b. longior ſit .c.b. ſed ex vltima definitione tertij, arcus .b.i.c. et .b.c.a. erunt in-
uicem ſimiles, hoc eſt proportio totius cir-
cunferentiæ circuli .b.i.c. ad arcus .b.i.c. ea-
b.c.a. ad arcus .b.c.a. ſed proportio diame-
tri ad circunferentiam eſt vt diametri ad cir
cunferentiam, vt ſupra diximus; Quare ex
proportionum æqualitate, vt ſemidiametri
ad circunferentiam erit, vt ſemidiametri
ad circunferentiam, & per eandem propor
tionum ęqualitatem, proportio .e.b. ad arcum
b.c.a. erit, vt .g.b. ad arcum .b.i.c. & per ean
dem æqualitatem, ita erit .a.b. chordæ ad ar
cum .b.c.a. vt .c.b. chordæ ad arcum .b.i.c.
& permutando, ita erit chordæ .a.b. ad chor
dam .c.b. vt arcus .b.c.a. ad arcum .b.i.c. ſed
arcus .b.i.c. maior eſt arcu .b.d.c. ex commu