264252IO. BAPT. BENED.
Demonstrationes quarundam propoſitionum de quibus agit
Cardanus capite primo libro .16. de
ſubtilitate.
Cardanus capite primo libro .16. de
ſubtilitate.
AD EVNDEM.
EA quæ Cardanus in primo cap. lib. 16. de ſubtilitate ita ſcribit, quod ſi diame-
tros producatur extra quantumlibet, alia verò diametro in centro ſecetur ad
rectos, ex huius fine &&c.. quæ quidem ſecundum illum eſt vndecima proprietas cir
culi, quoniam te id non intelligere ſcribis, idemque; dicis etiam de duodecima, & ſi-
militer de tribus illis paſſionibus, quas ipſæ communes facit circulo, defectioni, ſeu
ellipſi, & hyperboli, tibi breuiter reſpondebo.
tros producatur extra quantumlibet, alia verò diametro in centro ſecetur ad
rectos, ex huius fine &&c.. quæ quidem ſecundum illum eſt vndecima proprietas cir
culi, quoniam te id non intelligere ſcribis, idemque; dicis etiam de duodecima, & ſi-
militer de tribus illis paſſionibus, quas ipſæ communes facit circulo, defectioni, ſeu
ellipſi, & hyperboli, tibi breuiter reſpondebo.
Circa vndecimam proprietatem circuli verum dicit.
Imaginemur circulum .p.
d.q. à duabus diametris, inuicem ad angulos rectos coniunctis, diuiſum .p.d. et .d.g. di
uidatur enim quarta .q.d. per quot partes æquales volueris, mediantibus punctis .b.a.
o. ducanturque; ab ijſdem punctis tot perpendiculares diametro .d.g. quæ ſint .b.m.a.n.
et .o.s. quæ quidem erunt parallelæ diametro .q.p. coniungatur deinde extremitas .d.
diametri .d.g. cum primo puncto .b. & protrahatur .d.b. vſque ad concurſum cum diz
metro .p.q. protracto in puncto, h. Nunc dico .q.h. quæ adiacet diametro .q.p. æqua-
lem eſſe omnibus dictis perpendicularibus, quapropter coniungantur puncta .m.a:
n.o. et .s.q. & producantur vſque ad adiacentem diametro .q.p. in punctis .c. et .e. vn
de habebimus angulos .b.a.o.q. inuicem æquales ex .26. tertij, cum verò .o.s.a.n. et
b.m. parallelæ ſint ipſi .p.h. tunc anguli .b.h.c: a.c.e: et .o.e.q. æquales erunt angulis .d.
b.m: m.a.n. et .n.o.s. ex .29. primi: quare anguli .h.c.e.q. erunt inuicem æquales, vnde
ex .28. eiuſdem .b.h: m.c: n.e. et .s.q. erunt inuicem parallelę, & ex .34. e.q. æqualis erit .
o.s. et .e.c. æqualis .n.a. et .m.b. æqualis .c.h. verum eſt igitur propoſitum.
d.q. à duabus diametris, inuicem ad angulos rectos coniunctis, diuiſum .p.d. et .d.g. di
uidatur enim quarta .q.d. per quot partes æquales volueris, mediantibus punctis .b.a.
o. ducanturque; ab ijſdem punctis tot perpendiculares diametro .d.g. quæ ſint .b.m.a.n.
et .o.s. quæ quidem erunt parallelæ diametro .q.p. coniungatur deinde extremitas .d.
diametri .d.g. cum primo puncto .b. & protrahatur .d.b. vſque ad concurſum cum diz
metro .p.q. protracto in puncto, h. Nunc dico .q.h. quæ adiacet diametro .q.p. æqua-
lem eſſe omnibus dictis perpendicularibus, quapropter coniungantur puncta .m.a:
n.o. et .s.q. & producantur vſque ad adiacentem diametro .q.p. in punctis .c. et .e. vn
de habebimus angulos .b.a.o.q. inuicem æquales ex .26. tertij, cum verò .o.s.a.n. et
b.m. parallelæ ſint ipſi .p.h. tunc anguli .b.h.c: a.c.e: et .o.e.q. æquales erunt angulis .d.
b.m: m.a.n. et .n.o.s. ex .29. primi: quare anguli .h.c.e.q. erunt inuicem æquales, vnde
ex .28. eiuſdem .b.h: m.c: n.e. et .s.q. erunt inuicem parallelę, & ex .34. e.q. æqualis erit .
o.s. et .e.c. æqualis .n.a. et .m.b. æqualis .c.h. verum eſt igitur propoſitum.
Duodecima vero proprietas eſt, ut ſi fuerit circulus .a.b.e.q. cuius duo diametriad
rectos coniuncti ſint .a.e. et .q.b. & diameter .a.e. protractus indeterminatè ad partem
e. tunc ſi ab extremo .b. diametri .q.b. ducta fuerit .b.n.u. extra circulum, ſeu .b.u.n. in
tra circulum, vt in ſubiecta figura patet, ita vt ſecta ſit à circunferentia circuli in pum
cto .n. vel à diametro in puncto .u. ſemper id quod fit ex .u.b. in .b.n. æquale erit qua-
drato inſcriptibili in dicto circulo, hoc autem diuerſimodè cognoſci poteſt, tribus
enim modis ego inueni, quorum primus ita ſe habet. Nam ſi punctus .u. fuerit ex-
tra circulum, ducantur .b.e. et .e.n. & habebimus duos triangulos .b.n.e. et .b.e.u. ſimi
les inuicem, eo, quod angulus .b. communis ambobus exiſtit, & angulus .b.n.e. æqua
lis eſt angulo .b.e.u. quod ita probatur, nam angulus .b.n.e. cum angulo .b.a.e. (ducta
cum fuerit .b.a.) æquatur duobus rectis ex .21. tertij, ſed ex quinta primi angulus .b.
e.a. ęqualis eſt angulo .b.a.e: quare angulus .b.n.e. cum angulo .b.e.a. ęquatur duobus
rectis, ſed ex .13. eiuſdem angulus .b.n.e. cum angulo etiam .e.n.u. æquatur duobus re
ctis, ergo angulus .e.n.u. æquatur angulo .b.e.a. quare angulus .b.n.e. æquatur etiam an-
gulo .b.e.u. vnde ex .32. eiuſdem reliquus angulus .b.u.e. æqualis erit reliquo angulo
b.e.n. latera igitur erunt proportionalia ex .4. ſexti, vnde ita ſe habebit .u.b. ad .b.
e. vt .b.e. ad .b.n. ex .16. ſexti igitur verum erit propoſitum.
rectos coniuncti ſint .a.e. et .q.b. & diameter .a.e. protractus indeterminatè ad partem
e. tunc ſi ab extremo .b. diametri .q.b. ducta fuerit .b.n.u. extra circulum, ſeu .b.u.n. in
tra circulum, vt in ſubiecta figura patet, ita vt ſecta ſit à circunferentia circuli in pum
cto .n. vel à diametro in puncto .u. ſemper id quod fit ex .u.b. in .b.n. æquale erit qua-
drato inſcriptibili in dicto circulo, hoc autem diuerſimodè cognoſci poteſt, tribus
enim modis ego inueni, quorum primus ita ſe habet. Nam ſi punctus .u. fuerit ex-
tra circulum, ducantur .b.e. et .e.n. & habebimus duos triangulos .b.n.e. et .b.e.u. ſimi
les inuicem, eo, quod angulus .b. communis ambobus exiſtit, & angulus .b.n.e. æqua
lis eſt angulo .b.e.u. quod ita probatur, nam angulus .b.n.e. cum angulo .b.a.e. (ducta
cum fuerit .b.a.) æquatur duobus rectis ex .21. tertij, ſed ex quinta primi angulus .b.
e.a. ęqualis eſt angulo .b.a.e: quare angulus .b.n.e. cum angulo .b.e.a. ęquatur duobus
rectis, ſed ex .13. eiuſdem angulus .b.n.e. cum angulo etiam .e.n.u. æquatur duobus re
ctis, ergo angulus .e.n.u. æquatur angulo .b.e.a. quare angulus .b.n.e. æquatur etiam an-
gulo .b.e.u. vnde ex .32. eiuſdem reliquus angulus .b.u.e. æqualis erit reliquo angulo
b.e.n. latera igitur erunt proportionalia ex .4. ſexti, vnde ita ſe habebit .u.b. ad .b.
e. vt .b.e. ad .b.n. ex .16. ſexti igitur verum erit propoſitum.
Sed ſi punctus .u. intra circulum fuerit, triangulus .b.e.n. ſimilis erit triangulo .b.u.
e. nam angulus .b. ambobus communis erit. Angulus vero .b.n.e. ęqualis eſt angulo .
b.e.u. ex .26. tertij, quare ex .32. primi reliquus angulus .b.e.n. æqualis erit reliquo
e. nam angulus .b. ambobus communis erit. Angulus vero .b.n.e. ęqualis eſt angulo .
b.e.u. ex .26. tertij, quare ex .32. primi reliquus angulus .b.e.n. æqualis erit reliquo