2715THEOREM. ARIT.
eſſe producto .q.p. in .g.k. quod autem ſit .o.
Patet enim proportionem .o. ad .q.p. eandem eſſe
cum proportione .g.k. ad ſuam vnitatem linearem, ex decimaoctaua, aut decima-
nona ſeptimi, hæc vero vnitas linearis ſit .t. cuius ſuperficialis ſit .u. vnitas ſcilicet to-
ties in ſeipſam multiplicata quoties propoſita dignitas patitur, tametſi in præſen
ti exemplo quadrata dignitas ſumatur. Itaque; ex eiſdem propoſitionibus decimaocta
ua aut decimanona, ſic ſe habet .m. ad .n. ſicut .i. ad .u. Scimus pręterea proportionem .
m. ad .n. (eo quod in propoſito exemplo ſint quadrata) duplam eſſe proportioni .b.
d. ad .q.p. et ipſius .i. ad .u. pariter duplam proportioni .g.k. ad .t. iam autem dictum
fuit ſic ſe habere .m. ad .n. ſicut .i. ad .u. Itaque; .
b.d. ſic ſe habebit ad .q.p. ſicut .g.k. ad .t.
31[Figure 31]
quandoquidem ſic ſe habeattotum ad to-
tum, ſicut pars ad partem, dum ſimiles ſint, proba
tum autem eſt ſuperius ita ſe habere .o. ad .q.p.
ſicut .g.k. ad .t. itaque; .o. ſic ſe habebit ad .q.p.
ſicut .b.d. ad .q.p. vnde .o. æqualis erit .b.d.
Hocipſum cęteris dignitatibus conueniet,
mutatis tantummodo proportionibus .m.
n. ad proportionem .b.d: q.p. ſic propor-
tionibus duarum dignitatum .i.u. ad pro-
portionem ſuarum radicum .g.k.t.
cum proportione .g.k. ad ſuam vnitatem linearem, ex decimaoctaua, aut decima-
nona ſeptimi, hæc vero vnitas linearis ſit .t. cuius ſuperficialis ſit .u. vnitas ſcilicet to-
ties in ſeipſam multiplicata quoties propoſita dignitas patitur, tametſi in præſen
ti exemplo quadrata dignitas ſumatur. Itaque; ex eiſdem propoſitionibus decimaocta
ua aut decimanona, ſic ſe habet .m. ad .n. ſicut .i. ad .u. Scimus pręterea proportionem .
m. ad .n. (eo quod in propoſito exemplo ſint quadrata) duplam eſſe proportioni .b.
d. ad .q.p. et ipſius .i. ad .u. pariter duplam proportioni .g.k. ad .t. iam autem dictum
fuit ſic ſe habere .m. ad .n. ſicut .i. ad .u. Itaque; .
b.d. ſic ſe habebit ad .q.p. ſicut .g.k. ad .t.
tum, ſicut pars ad partem, dum ſimiles ſint, proba
tum autem eſt ſuperius ita ſe habere .o. ad .q.p.
ſicut .g.k. ad .t. itaque; .o. ſic ſe habebit ad .q.p.
ſicut .b.d. ad .q.p. vnde .o. æqualis erit .b.d.
Hocipſum cęteris dignitatibus conueniet,
mutatis tantummodo proportionibus .m.
n. ad proportionem .b.d: q.p. ſic propor-
tionibus duarum dignitatum .i.u. ad pro-
portionem ſuarum radicum .g.k.t.
THEOREMA XXII.
DOcent veteres, quòd ſi quilibet numerus in duas partes inæquales diuiſus
fuerit, totumque diuiſum per vnam partium, & per eandem pars altera diuiſa fue-
rit: differentia prouenientium ſemper vnitas erit. quodquidem veriſſimum eſt.
fuerit, totumque diuiſum per vnam partium, & per eandem pars altera diuiſa fue-
rit: differentia prouenientium ſemper vnitas erit. quodquidem veriſſimum eſt.
Detur enim .b.d. propoſitus numerus in duas partes inæquales diuiſus .b.c. et .c.d.
& in primis totum .b.d. per .c.d. diuidatur, ex quo oriatur e.o. vnitas autem .per .i.o. ſigni-
ficetur, tum pars ipſa .b.c. per. eandem .c.d. diuidatur, ſitque; proueniens .a. Sanè ex defini-
tione diuiſionis, eadem erit proportio .b.d. ad .e.o. quæ eſt .c.d. ad .i.o. et ita .b.c. ad .a.
ſicut .c.d. ad .i.o. Ex .19. autem quinti, ita ſe habet .b.c. ad .e.i. ſicut .b.d. ad .e.o. at .b.d.
ad .e.o. ſic ſe habet ſicut .c.d. ad .i.o. hoc eſt ſicut .b.c. ad .a. Quare ex .11. quinti ſic ſe
habebit .b.c. ad .e.i. ſicut .ad .a. ex quo ex .9. praedi
cti .a. æqualis erit .e.i. ſed .e.i. minor eſt .e.o.
32[Figure 32]
per .i.o.
Quare ſequitur propoſitum verum eſ
ſe. Quod ipſum pauciſſimis verbis ſic definiri
poteſt, ſi dixerimus, eiuſmodi diuidens .in par-
te diuiſibili, quam in toto, ſemel minus ingredi,
quandoquidem altera pars eſt, ex qua totum integrum perficitur.
& in primis totum .b.d. per .c.d. diuidatur, ex quo oriatur e.o. vnitas autem .per .i.o. ſigni-
ficetur, tum pars ipſa .b.c. per. eandem .c.d. diuidatur, ſitque; proueniens .a. Sanè ex defini-
tione diuiſionis, eadem erit proportio .b.d. ad .e.o. quæ eſt .c.d. ad .i.o. et ita .b.c. ad .a.
ſicut .c.d. ad .i.o. Ex .19. autem quinti, ita ſe habet .b.c. ad .e.i. ſicut .b.d. ad .e.o. at .b.d.
ad .e.o. ſic ſe habet ſicut .c.d. ad .i.o. hoc eſt ſicut .b.c. ad .a. Quare ex .11. quinti ſic ſe
habebit .b.c. ad .e.i. ſicut .ad .a. ex quo ex .9. praedi
cti .a. æqualis erit .e.i. ſed .e.i. minor eſt .e.o.
ſe. Quod ipſum pauciſſimis verbis ſic definiri
poteſt, ſi dixerimus, eiuſmodi diuidens .in par-
te diuiſibili, quam in toto, ſemel minus ingredi,
quandoquidem altera pars eſt, ex qua totum integrum perficitur.
THEOREMA XXIII.
HOcipſum alia ratione contemplari po
33[Figure 33]
terimus.
Significetur enim totalis numerus per .a.e.
in duas partes diuiſus .a.u. et .u.e. totius autem diuidens ſit .u.e. & partis alterius .a.u.
totius verò proueniens ſit .a.c. partis autem, ſit proueniens .a.n. tum differentia ſit .n.c. vni
in duas partes diuiſus .a.u. et .u.e. totius autem diuidens ſit .u.e. & partis alterius .a.u.
totius verò proueniens ſit .a.c. partis autem, ſit proueniens .a.n. tum differentia ſit .n.c. vni