6048IO. BAPT. BENED.
THEOREMA LXXIII.
HOC etiam problema à me inuentum eſt, nempe ſi duæ radices quadratæ in
ſummam collectæ fuerint, & ex dimidio eiuſmodi ſummæ detracta fuerit mi
nor radix, reſiduique; quadratum duplicatum eique; ſummæ coniungatur du-
plum producti ipſius reſidui in dimidium ſummæ radicum, atque huic ſummæ du-
plum producti eiuſdem reſidui in radicem minorem coniunctum fuerit; vltima hæc
ſumma differentia erit duorum quadratorum propoſitorum.
ſummam collectæ fuerint, & ex dimidio eiuſmodi ſummæ detracta fuerit mi
nor radix, reſiduique; quadratum duplicatum eique; ſummæ coniungatur du-
plum producti ipſius reſidui in dimidium ſummæ radicum, atque huic ſummæ du-
plum producti eiuſdem reſidui in radicem minorem coniunctum fuerit; vltima hæc
ſumma differentia erit duorum quadratorum propoſitorum.
Exempli gratia duæ radices quadraræ ſint .5. et .11. harum ſumma erit .16. & dimi
dium .8. differentia minoris ab ipſo dimidio erit .3: duplum quadrati huius differen
tiæ erit .18: duplum producti huius differentię in dimidium ſummę radicum erit .48.
item & huius differentiæ duplum in minorem radicem erit .30. quarum omnium
ſumma erit .96. tantaq́ue erit differentia ſuorum quadratorum, quorum vnum
erit .25. alterum verò .121.
dium .8. differentia minoris ab ipſo dimidio erit .3: duplum quadrati huius differen
tiæ erit .18: duplum producti huius differentię in dimidium ſummę radicum erit .48.
item & huius differentiæ duplum in minorem radicem erit .30. quarum omnium
ſumma erit .96. tantaq́ue erit differentia ſuorum quadratorum, quorum vnum
erit .25. alterum verò .121.
Pro cuius rei ſcientia, duæ quadratæ radices ſint .h.o. et .o.d. directæ inter ſe con-
iunctæ, quæ ſumma per medium in puncto .e. diuidatur, tum cogitetur .e.b. æqualis
o.e. perpendicularis .h.d. ducanturque; lineæ .b.h: b.o. et .b.d. Iam ex .4. primi .b.h. æqua
lis erit .b.d. & quadratum .b.h. æquale quadrato .h.o. & quadrato .o.b. ſimul cum du
plo producti .o.e. in .o.h. ex .12. ſecundi Eucli. Sed ex .13. eiuſdem quadratum .b.d.
minus eſt quadrato .o.d. cum quadrato .o.b. ex duplo producti .o.e. in .o.d. at duplum
eiuſmodi producti æquale eſt duplo qua-
drati .o.e. & duplo producti .o.e. in .e.d. ex
82[Figure 82]
tertia eiuſdem, itaque duo quadrata ſcili-
cet .o.b. et .o.d. maiora erunt duobus qua-
dratis, nempe .o.b. et .o.h. collectis cum du
plo producti .o.e. in .o.h. ex duplo quadrati
o.e. vna cum duplo producti .o.e. in .e.d. Qua
re differentia ſummæ duorum quadratorum
o.b. et .o.d. à ſumma duorum o.b. et .o.h. du
plum erit quadrati .o.e. cum duplo produ-
cti .o.e. in .e.d. & duplo producti .o.e. in .o.h.
Quòd ſi ex ſingulis duabus ſummis quadratorum demptum fuerit quadratum .o.b.
eadem producta & quadrata ipſius .o.e. remanebunt, tanquam differentia duorum
quadratorum .o.u. et .h.c.
iunctæ, quæ ſumma per medium in puncto .e. diuidatur, tum cogitetur .e.b. æqualis
o.e. perpendicularis .h.d. ducanturque; lineæ .b.h: b.o. et .b.d. Iam ex .4. primi .b.h. æqua
lis erit .b.d. & quadratum .b.h. æquale quadrato .h.o. & quadrato .o.b. ſimul cum du
plo producti .o.e. in .o.h. ex .12. ſecundi Eucli. Sed ex .13. eiuſdem quadratum .b.d.
minus eſt quadrato .o.d. cum quadrato .o.b. ex duplo producti .o.e. in .o.d. at duplum
eiuſmodi producti æquale eſt duplo qua-
drati .o.e. & duplo producti .o.e. in .e.d. ex
cet .o.b. et .o.d. maiora erunt duobus qua-
dratis, nempe .o.b. et .o.h. collectis cum du
plo producti .o.e. in .o.h. ex duplo quadrati
o.e. vna cum duplo producti .o.e. in .e.d. Qua
re differentia ſummæ duorum quadratorum
o.b. et .o.d. à ſumma duorum o.b. et .o.h. du
plum erit quadrati .o.e. cum duplo produ-
cti .o.e. in .e.d. & duplo producti .o.e. in .o.h.
Quòd ſi ex ſingulis duabus ſummis quadratorum demptum fuerit quadratum .o.b.
eadem producta & quadrata ipſius .o.e. remanebunt, tanquam differentia duorum
quadratorum .o.u. et .h.c.
THEOREMA LXXIIII.
CVR ſumma duorum extremorum quatuor terminorum proportionalium arith-
meticè, æqualis eſt ſummæ duorum mediorum, vbi nota hac in re neceſſa-
rium non eſſe proportionalitatem continuam exiſtere.
meticè, æqualis eſt ſummæ duorum mediorum, vbi nota hac in re neceſſa-
rium non eſſe proportionalitatem continuam exiſtere.
Exempli gratia, ſi darentur hi quatuor termini .20. 17. 9. 6. quorum proportio ea
dem eſſet primi ad ſecundum quæ tertij ad quartum, ſumma primi cum quarto eſſet
26. tantaque; ſecundi cum tertio.
dem eſſet primi ad ſecundum quæ tertij ad quartum, ſumma primi cum quarto eſſet
26. tantaque; ſecundi cum tertio.
Cuius ſpeculationis cauſa, primus maiorque; numerus ſignificetur linea .e.o. ſecun-
dus .s.q. tertius .u.c. quartus .g.t. differentia porrò inter .e.o. et .s.q. ſit .i.o. quæ æqualis
erit differentiæ .r.c. qua quartus à tertio ſuperatur ex hypotheſi. Itaque aſſero ſum
mam .e.o. cum .g.t. nempe .a.o. æqualem eſſe ſummę .q.s. et .u.c. ſitque; .q.p. Nam in .a.o.
dus .s.q. tertius .u.c. quartus .g.t. differentia porrò inter .e.o. et .s.q. ſit .i.o. quæ æqualis
erit differentiæ .r.c. qua quartus à tertio ſuperatur ex hypotheſi. Itaque aſſero ſum
mam .e.o. cum .g.t. nempe .a.o. æqualem eſſe ſummę .q.s. et .u.c. ſitque; .q.p. Nam in .a.o.