3321THEOREM. ARIT.
retur .20. ſcilicet et .4. certè .24. perſingulas partes diuiſo, daretur vnum proue-
niens ſex integra, & alterum vnum & quinta pars, quorum ſumma eſſet ſeptem in-
tegra cum quinta parte, tum altera parte per alteram diuiſa, daretur vnum proue-
niens quinque integrorum & alterum vnius quinti tantum, quorum ſumma eſſet
quinque integra, & vna quinta pars, minor prima reliquorum duorum prouenien-
tium per binarium.
niens ſex integra, & alterum vnum & quinta pars, quorum ſumma eſſet ſeptem in-
tegra cum quinta parte, tum altera parte per alteram diuiſa, daretur vnum proue-
niens quinque integrorum & alterum vnius quinti tantum, quorum ſumma eſſet
quinque integra, & vna quinta pars, minor prima reliquorum duorum prouenien-
tium per binarium.
Cuius conſiderationis cauſa, propoſitus numerus linea .q.p. ſignificetur, eius duę
partes lineis .q.x. et .x.p. tum .q.f. ſit proueniens ex diuiſione totius .q.p. per .x.p. et .
q.i. ſit proueniens ex diuiſione eiuſdem .q.p. per .q.x. adhæc .h.m. ſit proueniens,
ex diuiſione .q.x. per x.p. et .h.k. proue-
niensex diuiſione .p.x. per .q.x. patet igi-
44[Figure 44]
tur ex .22. theoremate huiuslibri proue-
niés.h.m. minus eſſe proueniente .q.f. per
vnitaté, & proueniens .h.k. minus proue-
niente .q.i. per alteram vnitatem. Itaque .
f.q.i. maior erit .m.h.k. per numerum binarium, quoderat propoſitum.
partes lineis .q.x. et .x.p. tum .q.f. ſit proueniens ex diuiſione totius .q.p. per .x.p. et .
q.i. ſit proueniens ex diuiſione eiuſdem .q.p. per .q.x. adhæc .h.m. ſit proueniens,
ex diuiſione .q.x. per x.p. et .h.k. proue-
niensex diuiſione .p.x. per .q.x. patet igi-
niés.h.m. minus eſſe proueniente .q.f. per
vnitaté, & proueniens .h.k. minus proue-
niente .q.i. per alteram vnitatem. Itaque .
f.q.i. maior erit .m.h.k. per numerum binarium, quoderat propoſitum.
THEOREMA. XXXIII.
QVilibet numerus, medius eſt
proportionalis inter numerum
45[Figure 45]
ſui quadrati & vnitatem.
proportionalis inter numerum
Detur enim numerus propoſitus,
qui linea .a.u. ſignificetur, cuiusqua-
dratum ſit .u.n. vnitas linearis ſit .i.a.
et ſuperficialis .o. patebit ex .18. ſexti
aut 11. octaui proportionem .u.n. ad .
o. futuram duplam proportioni .u.a.
ad .i.a. ſed .i.a. et.o. eadem (ſpecie)
res sunt, tanta ſcilicet .a.i. quanta .o. vni
46[Figure 46]
tas eſt, Itaque proportio numeri .u.n.
ad .u.a. æqualis erit proportioni .u.a.
ad .i.a. Quare numerus .u.a. inter nu-
merum .u.n. & vnitatem, medius erit
proportionalis.
qui linea .a.u. ſignificetur, cuiusqua-
dratum ſit .u.n. vnitas linearis ſit .i.a.
et ſuperficialis .o. patebit ex .18. ſexti
aut 11. octaui proportionem .u.n. ad .
o. futuram duplam proportioni .u.a.
ad .i.a. ſed .i.a. et.o. eadem (ſpecie)
res sunt, tanta ſcilicet .a.i. quanta .o. vni
ad .u.a. æqualis erit proportioni .u.a.
ad .i.a. Quare numerus .u.a. inter nu-
merum .u.n. & vnitatem, medius erit
proportionalis.
THEOREMA XXXIIII.
HOc ipſum quod diximus & alia ratione ſpeculari licebit.
Propoſitus numerus, nunc etiam per .a.u. ſignificetur, eius quadratum per .
u.n. vnitas linearis per .a.i. productumque; .a.u. in .a.i. terminetur, ſitque; .n.i. quare
n.i. conſtabit numero íuperficiali æquali numero lineari .a.u. & ex prima fexti aut .
18. vel .19. ſeptimi, eadem erit proportio .u.n. ad .i.n. quæ eſt .a.u. ad .a.i. ſed nu-
merus .a.u. cum numero .n.i. idem ſpecie eſt. Itaque medius eſt proportiona-
lis inter .u.n. & vnitatem.
u.n. vnitas linearis per .a.i. productumque; .a.u. in .a.i. terminetur, ſitque; .n.i. quare
n.i. conſtabit numero íuperficiali æquali numero lineari .a.u. & ex prima fexti aut .
18. vel .19. ſeptimi, eadem erit proportio .u.n. ad .i.n. quæ eſt .a.u. ad .a.i. ſed nu-
merus .a.u. cum numero .n.i. idem ſpecie eſt. Itaque medius eſt proportiona-
lis inter .u.n. & vnitatem.