400388IO. BABPT. BENED.
conuerſa proportionalitate in .19. quinti, cum .a.d. ad .d.o. iam probatum fuit (vbi
B.) ita eſſe ut .A. ad .B.
B.) ita eſſe ut .A. ad .B.
Sed in principio huius ſpeculationis probatum iam fuit ita eſſe ipſius .d.a. ad .d.e.
vt ipſius .D. ad .B. vbi notatum eſt .M. quare ex .23. quinti, Archimedes verum dicit,
qu od .d.o. ad .d.e. erit vt .D. ad .A.
vt ipſius .D. ad .B. vbi notatum eſt .M. quare ex .23. quinti, Archimedes verum dicit,
qu od .d.o. ad .d.e. erit vt .D. ad .A.
Sed cum .d.o. ad .d.e. ſe habeat ut .D. ad .A. erit ex conuerſa proportionalitate iam
dicta .d.e. ad .d.o. vt .A. ad .D. per euerſam vero erit .d.e. ad .a.o. vt .A. ad ſuum reſi-
11λ duum. quod reſiduum componitur ex ſimplo .b.c. cum triplo .b. cum duplo .b.o. quod
à te ipſo videre poteris detrahendo numeros ipſarum quantitatum quæ in .D.
reperiuntur, ex numeris earundem, quæ in .A. quod quidem reſiduum ſigniſicetur
à charactere .E. Vnde ex conuerſa proportionalitate verum dicit Archime. hoc eſt
quod ita ſe hab ebit .o.e. ad .d.e. vt .E. ad .A.
dicta .d.e. ad .d.o. vt .A. ad .D. per euerſam vero erit .d.e. ad .a.o. vt .A. ad ſuum reſi-
11λ duum. quod reſiduum componitur ex ſimplo .b.c. cum triplo .b. cum duplo .b.o. quod
à te ipſo videre poteris detrahendo numeros ipſarum quantitatum quæ in .D.
reperiuntur, ex numeris earundem, quæ in .A. quod quidem reſiduum ſigniſicetur
à charactere .E. Vnde ex conuerſa proportionalitate verum dicit Archime. hoc eſt
quod ita ſe hab ebit .o.e. ad .d.e. vt .E. ad .A.
Cum autem ſit .a.b. ad .c.b. vt .c.b. ad .d.b. & ita .d.b. ad .e.b. ex ſuppoſito, ideo ex
17. quinti verum dicit Archim. hoc eſt quod ita erit ipſius .d.e. ad .e.b. vt .a.c. ad .c.b.
& vt .c.d. ad .d.b. & ex .13. eiuſdem eadem proportio erit tripli ipſius .c.d. ad triplum
ipſius .d.b. quæ dupli ipſius .d.e. ad. duplum ipſius .e.b. vt inquit Archi.
17. quinti verum dicit Archim. hoc eſt quod ita erit ipſius .d.e. ad .e.b. vt .a.c. ad .c.b.
& vt .c.d. ad .d.b. & ex .13. eiuſdem eadem proportio erit tripli ipſius .c.d. ad triplum
ipſius .d.b. quæ dupli ipſius .d.e. ad. duplum ipſius .e.b. vt inquit Archi.
Ex qua .13. compoſitum ex .a.c. cum triplo ipſius .c.d. cum duplo ipſius .d.e. ean-
dem proportionem habebit ad compoſitum ipſius .c.b. cum triplo ipſius .d.b. cum duplo
ipſius .e.b. quam ipſius .d.e. ad .e.b. Sed horum compoſitorum primum ſignificetur
per .H. ſecundum verò ſignificatum fuit per .E. vnde .H. ad .E. ſe habebit vt .d.e. ad
e.b. ſed .E. ad .A. iam dictum eſt eſſe vt .o.e. ad .d.e. vbi ſignatum eſt .λ. quare ex .23.
quinti eadem proportio erit ipſius .o.e. ad .e.b. quæ .H. ad .A. vt ipſe inquit.
22X
dem proportionem habebit ad compoſitum ipſius .c.b. cum triplo ipſius .d.b. cum duplo
ipſius .e.b. quam ipſius .d.e. ad .e.b. Sed horum compoſitorum primum ſignificetur
per .H. ſecundum verò ſignificatum fuit per .E. vnde .H. ad .E. ſe habebit vt .d.e. ad
e.b. ſed .E. ad .A. iam dictum eſt eſſe vt .o.e. ad .d.e. vbi ſignatum eſt .λ. quare ex .23.
quinti eadem proportio erit ipſius .o.e. ad .e.b. quæ .H. ad .A. vt ipſe inquit.
Notandum etiam eſt quod ſi collectæ fuerint omnes partes compoſiti .H.A. hoc
eſt duplum .a.b. cum duplo .b.e. cum quadruplo .b.c. cum quadruplo .b.d. cum ſimplo
a.c. cum triplo .c.d. cum duplo .d.e. habebitur triplum .a.b. triplum .b.d. & ſexcuplum
b.c. vt ipſe dixit. Quod autem hoc verum ſit, cum diſtinctæ fuerint omnes partes,
vt in ſubſcriptis his lineis videre eſt, videbis quod ſi ex .H. detracta fuerit ſimplex .a.
c. quæ quidem poſtea iuncta vni ex partibus quadrupli .b.c. ipſius .A. reſultabit nobis
vna inte gra .a.b. Vnde habebimus triplum ipſius .a.b. & in .A. remanebit triplum ip
ſius .c.b. Deinde ſi ex .H. auferatur triplum ipſius .c.d. & ipſum addatur tribus parti-
bus quadrupli .b.d. ipſius .A. habebimus tres vices .b.c. quæ ſi iungantur tribus, quæ
remanebant in .A. vt dixi, habebimus ſexcuplum ipſius .b.c. & in .A. remanebit ſim
plum .b.d. cum duplo ipſius .b.e. Vnde ſi ex .H. demptum fuerit duplum ipſius .d.
e. quod quidem iungatur cum duplo ipſius .b.e. habebimus duplum ipſius .b.d. quod
coniunctum cum ſimplo .b.d. quod in .A. relictum fuerat, habebimus triplum ipſius
d.b. Verum igitur eſt quod inquit Archimedes, hoc eſt, quod .H.A. eſt triplum ip-
ſius .a.b. ſexcuplum ipſius .b.c. & triplum ipſius .b.d.
eſt duplum .a.b. cum duplo .b.e. cum quadruplo .b.c. cum quadruplo .b.d. cum ſimplo
a.c. cum triplo .c.d. cum duplo .d.e. habebitur triplum .a.b. triplum .b.d. & ſexcuplum
b.c. vt ipſe dixit. Quod autem hoc verum ſit, cum diſtinctæ fuerint omnes partes,
vt in ſubſcriptis his lineis videre eſt, videbis quod ſi ex .H. detracta fuerit ſimplex .a.
c. quæ quidem poſtea iuncta vni ex partibus quadrupli .b.c. ipſius .A. reſultabit nobis
vna inte gra .a.b. Vnde habebimus triplum ipſius .a.b. & in .A. remanebit triplum ip
ſius .c.b. Deinde ſi ex .H. auferatur triplum ipſius .c.d. & ipſum addatur tribus parti-
bus quadrupli .b.d. ipſius .A. habebimus tres vices .b.c. quæ ſi iungantur tribus, quæ
remanebant in .A. vt dixi, habebimus ſexcuplum ipſius .b.c. & in .A. remanebit ſim
plum .b.d. cum duplo ipſius .b.e. Vnde ſi ex .H. demptum fuerit duplum ipſius .d.
e. quod quidem iungatur cum duplo ipſius .b.e. habebimus duplum ipſius .b.d. quod
coniunctum cum ſimplo .b.d. quod in .A. relictum fuerat, habebimus triplum ipſius
d.b. Verum igitur eſt quod inquit Archimedes, hoc eſt, quod .H.A. eſt triplum ip-
ſius .a.b. ſexcuplum ipſius .b.c. & triplum ipſius .b.d.
Verum etiam dicit ex eo (vt ſupra probatum eſt) quod .a.c: c.d: et .d.e. ſe habebant
in continua proportionalitate, quare ex conuerſa proportionalitate erunt ſibi inui-
cem continuæ proportionales.
in continua proportionalitate, quare ex conuerſa proportionalitate erunt ſibi inui-
cem continuæ proportionales.
Nunc autem cum .a.c: c.d. et .d.e. ſint continuæ proportionales in ea proportione
in qua ſunt .a.b: c.b: d.b: et .e.b. vt in principio diximus, erit ex .22. quinti .a.c. ad .d.
e. vt .a.b. ad .d.b. & ſic etiam .c.b. ad .e.b. Vnde ex .24. eiuſdem .a.d. ad .d.e. erit vt .a.
b. cum .b.e. ad .d.b. & vt .c.b. cum .b.d. ad .e.b. & ex .13. dicti vt .a.b. cum .b.e. bis
ſumpto, & cum .b.d. ad .e.b. Quare ex conuerſa proportionalitate, vt ſe habet .e.d.
ad .d.a. ita ſe habebit .e.b. cum .d.b. ad d.b. cum .b.c. duplicato & cum .b.a. vt inquit Archi
medes. Nunc antecedens vocetur .M. hoc eſt .b.e. cum .d.b. conſequens verò, hoc
in qua ſunt .a.b: c.b: d.b: et .e.b. vt in principio diximus, erit ex .22. quinti .a.c. ad .d.
e. vt .a.b. ad .d.b. & ſic etiam .c.b. ad .e.b. Vnde ex .24. eiuſdem .a.d. ad .d.e. erit vt .a.
b. cum .b.e. ad .d.b. & vt .c.b. cum .b.d. ad .e.b. & ex .13. dicti vt .a.b. cum .b.e. bis
ſumpto, & cum .b.d. ad .e.b. Quare ex conuerſa proportionalitate, vt ſe habet .e.d.
ad .d.a. ita ſe habebit .e.b. cum .d.b. ad d.b. cum .b.c. duplicato & cum .b.a. vt inquit Archi
medes. Nunc antecedens vocetur .M. hoc eſt .b.e. cum .d.b. conſequens verò, hoc