4331THEOREM. ARITH.
ad vnitatem .o.i. permutandoque; .e.a. ad .a.u. ſicut .t.n. ad .n.i. & componendo .e.a.u.
ad a.u. ſicut .t.n.i. ad .n.i: & euerſim .e.a.u. ad .e.a. vt .t.n.i. ad .t.n. Quare, ex .20. ſepti
mi, recte vtimur regula de tribus. Idem & de altera parte dico, quamuis qui vnam
teneat, alteram quo que habiturus ſit. Non mirum tamen ſi huiuſmodi problema
ab antiquis definitum non fuerit, qui hanc vltimam partem non cognouerunt.
ad a.u. ſicut .t.n.i. ad .n.i: & euerſim .e.a.u. ad .e.a. vt .t.n.i. ad .t.n. Quare, ex .20. ſepti
mi, recte vtimur regula de tribus. Idem & de altera parte dico, quamuis qui vnam
teneat, alteram quo que habiturus ſit. Non mirum tamen ſi huiuſmodi problema
ab antiquis definitum non fuerit, qui hanc vltimam partem non cognouerunt.
THEOREMA XLVII.
CVR duobus numeris mutuó diuiſis, ſi per ſummam prouenientium, produ-
ctum vnius in alterum multiplicetur, vltimum productum, ſummæ quadra-
tn2m duorum numerorum æquale futurum ſit.
ctum vnius in alterum multiplicetur, vltimum productum, ſummæ quadra-
tn2m duorum numerorum æquale futurum ſit.
Exempli gratia, propoſitis .16. et .4. mutuò diuiſis, ſumma prouenientium erit .
4. integrorum cum quarta parte, qua ſumma multiplicata cum producto primorum
numerorum, nempe .64. dabuntur .272. integri ſuperficiales, qui ſummæ quadra-
torum duorum numerorum æquantur.
4. integrorum cum quarta parte, qua ſumma multiplicata cum producto primorum
numerorum, nempe .64. dabuntur .272. integri ſuperficiales, qui ſummæ quadra-
torum duorum numerorum æquantur.
Hoc vt conſideremus, duo numeri partibus .a.e. et .e.i. in linea .a.i. ſignificentur,
quorum productum ſit .e.d. & quadratum ipſius .a.e. ſit .e.p: ipſius verò .e.i. ſit .e.q. pro-
ueniens autem ex diuiſione .e.i. per .a.e. ſit .o.u. proueniens autem .a.e. per .e.i. ſit .o.t. quo-
rum ſumma ſit .o.u.t. tum productum .e.d: linea .u.n. ſignificetur ad angulum rectum
coniuncta in puncto .u. extremo ipſius .o.u.t. productum autem .u.o.t. in .u.n. ſit .n.t. Iam
probandum nobis eſt .n.t. æqualem eſſe ſummæ duorum quadratorum .q.e.p. Quod
ſingillatim probo, & aſſero productum .o.n. æquale eſſe quadrato .q.e. & productum .
s.t. quadrato .e.p. Nam ex .35. theoremate patet numerum .e.i. medium eſſe pro-
portionalem inter .e.d. et .o.u: cum numerus .e.i. ex præſuppoſito ab .e.a. multiplicetur
& diuidatur, cuius multiplicationis produ-
ctum eſt .d.e: nempe .u.n. & proueniens ex
59[Figure 59]
diuiſione eſt .o.u:
quare ex dicto theorema-
te .e.i. media proportionalis eſt inter .u.n. et .
u.o. Itaque; productum .o.n. æquale eſt qua-
drato .e.q. ex .16. ſexti vel .20. ſeptimi. Idem
dico de producto .s.t. nempe æquale eſſe qua-
drato .e.p. quandoquidem numerus .a.e. ab
e.i. multiplicatur ac diuiditur, cuius multi-
plicationis productum eſt .d.e. nempe o.s. &
proueniens ex diuiſione .o.t: inter quæ ex .
35. theoremate .a.e. media proportionalis
eſt. Quare ex allatis propoſitionibus productum .s.t. æquale eſt quadrato .e.p. ſed totum
productum .n.t. ſumma eſt duorum productorum .o.n. et .s.t. ex prima ſecundi Eucli.
Itaque verum eſſe quod dictum eſt, conſequitur.
quorum productum ſit .e.d. & quadratum ipſius .a.e. ſit .e.p: ipſius verò .e.i. ſit .e.q. pro-
ueniens autem ex diuiſione .e.i. per .a.e. ſit .o.u. proueniens autem .a.e. per .e.i. ſit .o.t. quo-
rum ſumma ſit .o.u.t. tum productum .e.d: linea .u.n. ſignificetur ad angulum rectum
coniuncta in puncto .u. extremo ipſius .o.u.t. productum autem .u.o.t. in .u.n. ſit .n.t. Iam
probandum nobis eſt .n.t. æqualem eſſe ſummæ duorum quadratorum .q.e.p. Quod
ſingillatim probo, & aſſero productum .o.n. æquale eſſe quadrato .q.e. & productum .
s.t. quadrato .e.p. Nam ex .35. theoremate patet numerum .e.i. medium eſſe pro-
portionalem inter .e.d. et .o.u: cum numerus .e.i. ex præſuppoſito ab .e.a. multiplicetur
& diuidatur, cuius multiplicationis produ-
ctum eſt .d.e: nempe .u.n. & proueniens ex
te .e.i. media proportionalis eſt inter .u.n. et .
u.o. Itaque; productum .o.n. æquale eſt qua-
drato .e.q. ex .16. ſexti vel .20. ſeptimi. Idem
dico de producto .s.t. nempe æquale eſſe qua-
drato .e.p. quandoquidem numerus .a.e. ab
e.i. multiplicatur ac diuiditur, cuius multi-
plicationis productum eſt .d.e. nempe o.s. &
proueniens ex diuiſione .o.t: inter quæ ex .
35. theoremate .a.e. media proportionalis
eſt. Quare ex allatis propoſitionibus productum .s.t. æquale eſt quadrato .e.p. ſed totum
productum .n.t. ſumma eſt duorum productorum .o.n. et .s.t. ex prima ſecundi Eucli.
Itaque verum eſſe quod dictum eſt, conſequitur.
THEOREMA XLVIII.
CVR ſi quis maiorem duorum numerorum ſola vnitate inter ſe differentium,
per minorem diuidat, maioremque; per proueniens multiplicet, productum,
summæ ipſius maioris cum eodem proueniente æquale erit.
per minorem diuidat, maioremque; per proueniens multiplicet, productum,
summæ ipſius maioris cum eodem proueniente æquale erit.
Exempli gratia .10 per .9. diuiſo, datur vnum cum nona parte, quo multiplica-
to per proueniens, ipſo nempe .10: datur productum .11. cum nona parte, tantum ſci
to per proueniens, ipſo nempe .10: datur productum .11. cum nona parte, tantum ſci