6654IO. BAPT. BENED.
THEOREMA LXXXII.
CVR quantitate aliqua in quatuor partes continuas proportionales ſecta per-
q́ue ſingulas diuiſa, ſumma quatuor prouenientium æqualis ſit producto ſe-
cundi in tertium.
q́ue ſingulas diuiſa, ſumma quatuor prouenientium æqualis ſit producto ſe-
cundi in tertium.
Exempli gratia, ſi triginta in quatuor partes proportionales ſecetur, hoc eſt.
16. 8. 4. 2. perque; harum ſingulas idem numerus .30. diuidatur, primum proueniens
erit .1. cum ſeptem octauis partibus. Secundum .3. cum tribus quartis, tertium .7.
cum dimidio, quartum .15. integri, quorum ſumma erit .28. cum octaua parte, tan
tumque; erit productum ſecundi prouenientis in tertium.
16. 8. 4. 2. perque; harum ſingulas idem numerus .30. diuidatur, primum proueniens
erit .1. cum ſeptem octauis partibus. Secundum .3. cum tribus quartis, tertium .7.
cum dimidio, quartum .15. integri, quorum ſumma erit .28. cum octaua parte, tan
tumque; erit productum ſecundi prouenientis in tertium.
Quod vt ſciamus, quantitas .n.c. in partes continuas proportionales quatuor ſe-
cetur .n.a: a.t: t.e. et .e.c. rurſusque; per ſingulas partes illa ipſa diuiſa, prouenientia
ſint .i.d: d.x: x.u: u.o. quorum ſumma ſit .i.o. hanc ſummam dicimus æqualem eſſe nume-
ro producti .d.x. in .x.u.
cetur .n.a: a.t: t.e. et .e.c. rurſusque; per ſingulas partes illa ipſa diuiſa, prouenientia
ſint .i.d: d.x: x.u: u.o. quorum ſumma ſit .i.o. hanc ſummam dicimus æqualem eſſe nume-
ro producti .d.x. in .x.u.
Quod hac ratione probo, cogito productam eſſe lineam .i.o. quousque; .o.p. æqua
lis ſit .o.u. erectamque; .m.o. æqualem .i.d. perpendiculariter .o.p. & productam donec .
o.q. vnitati ſit æqualis. Iam terminatis rectangulis .m.p. et .i.q. patebit ex .15. ſexti
aut .20. ſeptimi, productum .m.p. producto .d.x. in .x.u. æquale eſſe. Ita quòd ſi pro-
bauero productum .i.q. producto .m.p. æquale eſſe, facile patebit propoſitum. Cuius
gratia, ſequuti præcedentis theorematis ordinem, primum ex definitionem diuiſionis,
eadem proportio erit .n.c. ad .i.d. quæ .n.a. ad .o.q. ex quo permutando .n.c. ad .n.a. ſic
ſe habebit vt .i.d. hoc eſt .m.o. ad .o.q. & ſi progrediamur eodem ordine, quo præ-
cedenti theoremate, ſumpto principio ab .i.d. et .e.c. verſus .d.x. et .e.t. gradatimq́ue
permutando ac coniungendo, inue-
91[Figure 91]
niemus eandem proportionem eſſe
c.n. ad .n.a. quæ .i.o. ad .o.u. nempe .
o.p. ex quo ex .11 quinti, ita ſe habe
bit .i.o. ad .o.p. vt .m.o. ad .o.q. quare
ex .15. ſextiaut .20. ſeptimi produ-
ctum .i.q. erit producto .m.p. æquale,
ex quo etiam æquale erit producto .
d.x. in .x.u. Idem ordo in qualibet
quantitate in quantaſuis partes diuiſa ſeruari poterit, cum huiuſmodi ſcientia in vni
uerſum pateat.
lis ſit .o.u. erectamque; .m.o. æqualem .i.d. perpendiculariter .o.p. & productam donec .
o.q. vnitati ſit æqualis. Iam terminatis rectangulis .m.p. et .i.q. patebit ex .15. ſexti
aut .20. ſeptimi, productum .m.p. producto .d.x. in .x.u. æquale eſſe. Ita quòd ſi pro-
bauero productum .i.q. producto .m.p. æquale eſſe, facile patebit propoſitum. Cuius
gratia, ſequuti præcedentis theorematis ordinem, primum ex definitionem diuiſionis,
eadem proportio erit .n.c. ad .i.d. quæ .n.a. ad .o.q. ex quo permutando .n.c. ad .n.a. ſic
ſe habebit vt .i.d. hoc eſt .m.o. ad .o.q. & ſi progrediamur eodem ordine, quo præ-
cedenti theoremate, ſumpto principio ab .i.d. et .e.c. verſus .d.x. et .e.t. gradatimq́ue
permutando ac coniungendo, inue-
c.n. ad .n.a. quæ .i.o. ad .o.u. nempe .
o.p. ex quo ex .11 quinti, ita ſe habe
bit .i.o. ad .o.p. vt .m.o. ad .o.q. quare
ex .15. ſextiaut .20. ſeptimi produ-
ctum .i.q. erit producto .m.p. æquale,
ex quo etiam æquale erit producto .
d.x. in .x.u. Idem ordo in qualibet
quantitate in quantaſuis partes diuiſa ſeruari poterit, cum huiuſmodi ſcientia in vni
uerſum pateat.
THEOREMA LXXXIII.
CVR termini medij cubus, trium continuè proportionalium, ſemper producto
rectanguli compræhenſi à maximo & medio in minimo termino æqualis ſit.
rectanguli compræhenſi à maximo & medio in minimo termino æqualis ſit.
Exempli gratia, datis his tribus terminis continuis proportionalibus .9. 6. 4. ſi
ſumpſerimus productum maximi in medium nempe .54. quod per minimum .4. multi-
plicemus, dabitur numerus .216. cubo medij .6. æqualis.
ſumpſerimus productum maximi in medium nempe .54. quod per minimum .4. multi-
plicemus, dabitur numerus .216. cubo medij .6. æqualis.
In cuius gratiam tres numeri continui proportionales tribus lineis .a.e.i. ſignifi-
centur, cubus autem .e. ſignificetur figura .d.n. productumque .a. in .e. ſit .b.n. ipſius au-
temmet in .i. ſit .p.o. ita quod .q.p. aut .b.o. cum ſint eiuſdem ſpeciei, æqualis erit .a: et .o.n.
centur, cubus autem .e. ſignificetur figura .d.n. productumque .a. in .e. ſit .b.n. ipſius au-
temmet in .i. ſit .p.o. ita quod .q.p. aut .b.o. cum ſint eiuſdem ſpeciei, æqualis erit .a: et .o.n.