5644IO. BAPT. BENED.
THEOREMA LXVIII.
CVR numero per numerum diuiſo, productoque; duorum numerorum per pro-
ueniens multiplicato, quod vltimò productum eſt, diuiſi numeri ſemper qua
dratum exiſtat.
ueniens multiplicato, quod vltimò productum eſt, diuiſi numeri ſemper qua
dratum exiſtat.
Exempli gratia, ſi diuidamus .10. per .2. proueniens erit .5. quo producto ex duo
bus numeris multiplicato, nempe .20. habe
bimus .100. quadratum numeri diuiſi.
bus numeris multiplicato, nempe .20. habe
bimus .100. quadratum numeri diuiſi.
Cuius gratia duo numeri ſint .a. et .e. por
rò .a. per .e. diuiſo detur .u. tum .o. produ-
ctum .a. in .e. eſſe conſtituatur, quo per .u.
multiplicato dabitur .x. quadratum .a. pro-
ptereà quòd .a. medium eſt proportionale
inter .o. et .u. ex .35. theoremate. itaque
ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi, propoſiti veri-
tas eluceſcet.
rò .a. per .e. diuiſo detur .u. tum .o. produ-
ctum .a. in .e. eſſe conſtituatur, quo per .u.
multiplicato dabitur .x. quadratum .a. pro-
ptereà quòd .a. medium eſt proportionale
inter .o. et .u. ex .35. theoremate. itaque
ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi, propoſiti veri-
tas eluceſcet.
THEOREMA LXIX.
CVR numero aliquo per duos alios multiplicato & diuiſo, ſi per horum duo-
rum productum, ſumma duorum primorum productorum diuiſa fuerit, vl-
timum proueniens, ſummæ duorum primorum prouenientium æquale ſit.
rum productum, ſumma duorum primorum productorum diuiſa fuerit, vl-
timum proueniens, ſummæ duorum primorum prouenientium æquale ſit.
Exempli gratia, proponitur numerus .24. per .8. et .6. multiplicandus & diuiden
dus ſumma productorum crit .336. prouenientium autem .7. ſi igitur ſummam .336.
productorum per productum duorum ſecundorum numerorum nempe .48. diuiſe-
rimus, proueniens pariter erit .7.
dus ſumma productorum crit .336. prouenientium autem .7. ſi igitur ſummam .336.
productorum per productum duorum ſecundorum numerorum nempe .48. diuiſe-
rimus, proueniens pariter erit .7.
In cuius gratiam primus numerus ſignificetur linea .q.b. multiplicandus & diuiden-
dus numeris deſignatis per .k.m. et .y.m. productorum ſumma ſit .k.z. prouenien-
tium autem .a.e: et .a.o. ex .k.m. et .o.e. ex .y.m: tum productum .k.m. in .m.y. ſit .f.
m. Dico quòd ſi .k.z. per .f.m. diuiſerimus proueni et .a.e. Quod cum ſic fuerit, erit
quoque verum quòd diuiſa .k.z. per .a.e. proueniet .f.m. numerus ſcilicet æqualis
numero .f.m. ex .13. theoremate huius. Itaque quotieſcunque probauero quòd di-
uiſa .k.z. per .a.e. proueniat numerus æqualis ipſi .f.m. propoſitum verum eſſe con
ſequetur. ex .13. theoremate. Quòd ſi proueniens ex diuiſione .k.z. per .a.e. æqua
le fuerit .f.m. patet ex .7. quinti quòd eadem erit proportio numeri .k.m.y. ad ipſum
proueniens, quæ ad numerum .f.m. Cogitemus itaque; .k.u. æqualem .a.e. ſuper quam
mente concipiamus rectangulum .u.p. æqualem .k.z. ex quo eadem erit proportio .
k.p. ad .k.y. quæ .g.k. ad .k.u. ex .15. ſexti, aut, 20. ſeptimi, numerus autem .k.p. erit
proueniens, quod probandum eſt æquale eſſe .f.m.
dus numeris deſignatis per .k.m. et .y.m. productorum ſumma ſit .k.z. prouenien-
tium autem .a.e: et .a.o. ex .k.m. et .o.e. ex .y.m: tum productum .k.m. in .m.y. ſit .f.
m. Dico quòd ſi .k.z. per .f.m. diuiſerimus proueni et .a.e. Quod cum ſic fuerit, erit
quoque verum quòd diuiſa .k.z. per .a.e. proueniet .f.m. numerus ſcilicet æqualis
numero .f.m. ex .13. theoremate huius. Itaque quotieſcunque probauero quòd di-
uiſa .k.z. per .a.e. proueniat numerus æqualis ipſi .f.m. propoſitum verum eſſe con
ſequetur. ex .13. theoremate. Quòd ſi proueniens ex diuiſione .k.z. per .a.e. æqua
le fuerit .f.m. patet ex .7. quinti quòd eadem erit proportio numeri .k.m.y. ad ipſum
proueniens, quæ ad numerum .f.m. Cogitemus itaque; .k.u. æqualem .a.e. ſuper quam
mente concipiamus rectangulum .u.p. æqualem .k.z. ex quo eadem erit proportio .
k.p. ad .k.y. quæ .g.k. ad .k.u. ex .15. ſexti, aut, 20. ſeptimi, numerus autem .k.p. erit
proueniens, quod probandum eſt æquale eſſe .f.m.
Probabitur autem ſic, ex .9. quinti, nempe demonſtrato quòd numerus .k.p. ean
dem proportionem habeat ad numerum .k.y. quam habet numerus .f.m. ad eundem
k.y. Sed probatum eſt ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .k.p. ad .k.y. ſufficiet igitur pro-
bare ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .f.m. ad .k.y. Sed .k.g. dicitur æqualis eſſe .q.b: et .k.
u; a.e. ſatis erit igitur probare ita ſe habere .q.b. ad .a.e. ſicut .f.m. ad .k.y. Scimus au-
tem quòd eadem eſt proportio .q.b. ad .a.o. quæ .m.k. ad vnitatem, quæ ſit .x. & quod
proportio .o.e. ad .q.b. eadem eſt, quæ .x. ad .m.y. ex definitione diuiſionis. Quare
ex æqualitate proportionum eadem erit proportio .k.m. ad .m.y. quæ .e.o. ad .o.a. &
dem proportionem habeat ad numerum .k.y. quam habet numerus .f.m. ad eundem
k.y. Sed probatum eſt ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .k.p. ad .k.y. ſufficiet igitur pro-
bare ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .f.m. ad .k.y. Sed .k.g. dicitur æqualis eſſe .q.b: et .k.
u; a.e. ſatis erit igitur probare ita ſe habere .q.b. ad .a.e. ſicut .f.m. ad .k.y. Scimus au-
tem quòd eadem eſt proportio .q.b. ad .a.o. quæ .m.k. ad vnitatem, quæ ſit .x. & quod
proportio .o.e. ad .q.b. eadem eſt, quæ .x. ad .m.y. ex definitione diuiſionis. Quare
ex æqualitate proportionum eadem erit proportio .k.m. ad .m.y. quæ .e.o. ad .o.a. &