3119THEOREM. ARIT.
bit quadratum .e.d. cognitum, cuius radix æqualis erit .c.t. qua coniuncta dimi-
dio .c.a. ex quinta ſecundi Eucli. dabit quod propoſitum erat.
dio .c.a. ex quinta ſecundi Eucli. dabit quod propoſitum erat.
THEOREMA XXIX.
QVid cauſæ eſt, cur ſubtracto duplo producti duorum numerorum ad inui-
cem multiplicatorum ex ſumma ſuorum quadratorum, ſemper quod ſuper
eſt duorum numerorum quadratum differentiæ ſit?
cem multiplicatorum ex ſumma ſuorum quadratorum, ſemper quod ſuper
eſt duorum numerorum quadratum differentiæ ſit?
Exempli gratia ſi proponerentur duo numeri .16. et .4. duplum producti eorum
eſſet .128. quò detracto ex ſumma ſuorum quadratorum, nempè ex .272. rema-
neret .144. cuius quadrati radix eſſet .12. tanquam differentia inter .4. et .16.
eſſet .128. quò detracto ex ſumma ſuorum quadratorum, nempè ex .272. rema-
neret .144. cuius quadrati radix eſſet .12. tanquam differentia inter .4. et .16.
Id vtſciamus, duo numeri propoſiti, duabus lineis ſignificentur, maiore .q.g.
et minore .g.p. directè coniunctis, ſuper quas, totale quadratum extruatur .a.p.
in quo cogitetur diameter .a.p. et à puncto .g. ducatur parallela .g.n.c. et à pun-
cto .n. parallela .n.s.r. ex quo duo producta dabuntur .q.n. et .n.u. ſingula æqualia pro-
ducto .q.g. in g.p. et .a.n. et .n.p. duo quadrata dictorum numerorum propoſi-
torum, quod ſatis ſuperque , probatur quarta ſecundi Eucli. Cogitemus deinde .n.
o. æqualem .n.p. et à puncto .o. ducatur .o.m.t. parallela .r.s. et .o.e. ad .n.
c. quare ex allatis ab Eucli. octaua ſecundi, dabi-
tur quantitas .m.n. æqualis .q.n. producto .q.g. in
41[Figure 41]
g.p. et quantitas .o.c. minor ipſo producto, ex
quantitate quadrati .n.p. ex quo quantitas .m.n.e.
vna cum quadrato .n.p. æqualis erit duplo produ-
cti .q.g. in .g.p. ſed hæ duæ quantitates, ſunt par-
tes duorum quadratorum dictorum, & quæ ſuper
eſt .m.e. quadratum differentiæ vnius numeri pro-
poſiti ab altero, prout in ſubſcripta figura licebit cui
libet conſiderare. Itaque veritas hæc manifeſta
erit.
et minore .g.p. directè coniunctis, ſuper quas, totale quadratum extruatur .a.p.
in quo cogitetur diameter .a.p. et à puncto .g. ducatur parallela .g.n.c. et à pun-
cto .n. parallela .n.s.r. ex quo duo producta dabuntur .q.n. et .n.u. ſingula æqualia pro-
ducto .q.g. in g.p. et .a.n. et .n.p. duo quadrata dictorum numerorum propoſi-
torum, quod ſatis ſuperque , probatur quarta ſecundi Eucli. Cogitemus deinde .n.
o. æqualem .n.p. et à puncto .o. ducatur .o.m.t. parallela .r.s. et .o.e. ad .n.
c. quare ex allatis ab Eucli. octaua ſecundi, dabi-
tur quantitas .m.n. æqualis .q.n. producto .q.g. in
quantitate quadrati .n.p. ex quo quantitas .m.n.e.
vna cum quadrato .n.p. æqualis erit duplo produ-
cti .q.g. in .g.p. ſed hæ duæ quantitates, ſunt par-
tes duorum quadratorum dictorum, & quæ ſuper
eſt .m.e. quadratum differentiæ vnius numeri pro-
poſiti ab altero, prout in ſubſcripta figura licebit cui
libet conſiderare. Itaque veritas hæc manifeſta
erit.
THEOREMA XXX.
CVr ij qui ex duobus numeris propoſitis maiorem per minorem diuidunt, ſi
proueniens per maiorem numerum multiplicauerint, productum æquale
erit prouenienti ex diuiſione quadrati maioris numeri per minorem?
proueniens per maiorem numerum multiplicauerint, productum æquale
erit prouenienti ex diuiſione quadrati maioris numeri per minorem?
Exempli gratia ſi proponantur duo numeri .20. et .4. ipſeque .20. per .4. diui-
datur, dabit quinque, tum .400. quadrato .20. diuiſo per prioré .4. dabit .100.
quod proueniens, producto ex .20. in .5. primo prouenienti adæquatur.
datur, dabit quinque, tum .400. quadrato .20. diuiſo per prioré .4. dabit .100.
quod proueniens, producto ex .20. in .5. primo prouenienti adæquatur.
Cuius ſpeculationis cauſa, ſint duo numeri, qui lineis .x.u. et .x.s. maiore atque; mi-
nore ſignificétur, tum .u.x. numerus per .s.x. di-
uidatur, ſitq́ue proueniens .x.n. poſtmodum qua-
42[Figure 42]
dratum .u.x. ſit .x.o. et productum ex .n.x. in .u.
x. ſit .x.e. quod æquale eſſe dico prouenienti ex
diuiſione quadrati .o.x. per .s.x. quod ſit .m. Patet
enim ex definitione diuiſionis, talem futuram pro-
portionem .u.x. ad .n.x. qualis eſt .s.x. ad vnitatem,
& quadratum .o.x. ad rectangulum .e.x. ita ſe ha-
nore ſignificétur, tum .u.x. numerus per .s.x. di-
uidatur, ſitq́ue proueniens .x.n. poſtmodum qua-
x. ſit .x.e. quod æquale eſſe dico prouenienti ex
diuiſione quadrati .o.x. per .s.x. quod ſit .m. Patet
enim ex definitione diuiſionis, talem futuram pro-
portionem .u.x. ad .n.x. qualis eſt .s.x. ad vnitatem,
& quadratum .o.x. ad rectangulum .e.x. ita ſe ha-