5434GNOMONICES
nor quàm E F.
Quare &
A C, dimidia ipſius A B, minor erit quàm D F, dimidia ipſius
E F. Deſcripto igitur circa D F, ſemicirculo, accommodetur in eorecta F I, æqualis re-
111. quarti. ctæ A C, quæ minor eſt ostenſa, quàm D F, ſubtendatur{q́ue} recta D I, quæ minor quoque
2215. tertij. erit, quàm D F. Abſcindantur vtrinque ex D, rectæ D N, D O, ipſi D I, æquales. Dico
tam rectangulum ſub E N, N F, ad rectam E F, applicatum, deficiens{q́ue} quadrato ex N F,
quàm rectangulum ſub F O, O E, ad eandem rectam E F, applicatum, deficiens{q́ue} qua-
drato ex O E, æquale eße quadrato ex A C, hoc eſt, quartæ parti rectanguli ſub E F, E I.
Deſcripto enim ex D F, quadrato D H, perficia-
3310
38[Figure 38]
tur figura, vt vides.
Quoniam igitur parallelo-
4434. ſexti. gramma D H, G L, L F, circa eandem diame-
trum exiſtentia, ſimilia ſunt, eſt{q́ue} D H, quadra-
tum, erunt quoque G L, L F, quadrata. Et quia
quadratum D H, æquale est quadratis ex F I,
5547. primi. D I, hoc eſt, quadrato ex A C, vna cum quadra-
to G L; (Eſt enim angul{us} D I F, rect{us}, & rectæ
6631. tertij. F I, D I, æquales fuerunt rectis A C, D N, vel
K L.) erit gnomon K N H, quadrato ex A C, æqualis. Cum ergo gnomon K N H, æqua-
7720 lis quoque ſit rectangulo E L, (Nam cum E K, ipſi K F, hoc eſt, ipſi N H, æquale ſit; addi-
8836. primi. to communi D L, fit totum E L, toti gnomoni K N H, æquale) erit quoque rectangulum
E L, contentum ſub E N, N F; (quòd recta N F, rectæ N L, æqualis ſit, ob quadratum
L F.) æquale quadrato ex A C. Applicatum eſt ergo ad E F, diametrum tranſuerſam
rectangulum ſub E N, N F, æquale quartæ parti rectanguli ſub E F, E I, deficiens{q́ue} qua-
drato rectæ N F. Eodem modo demonſtrabitur rectangulum ſub F O, O E, applicatum ad
E F, deficiens{q́ue} quadrato ex E O, æquale eße quartæ parti rectanguli ſub E F, E I. Quod
eſt propoſitum.
99Alia deſcriptio E F. Deſcripto igitur circa D F, ſemicirculo, accommodetur in eorecta F I, æqualis re-
111. quarti. ctæ A C, quæ minor eſt ostenſa, quàm D F, ſubtendatur{q́ue} recta D I, quæ minor quoque
2215. tertij. erit, quàm D F. Abſcindantur vtrinque ex D, rectæ D N, D O, ipſi D I, æquales. Dico
tam rectangulum ſub E N, N F, ad rectam E F, applicatum, deficiens{q́ue} quadrato ex N F,
quàm rectangulum ſub F O, O E, ad eandem rectam E F, applicatum, deficiens{q́ue} qua-
drato ex O E, æquale eße quadrato ex A C, hoc eſt, quartæ parti rectanguli ſub E F, E I.
Deſcripto enim ex D F, quadrato D H, perficia-
3310
4434. ſexti. gramma D H, G L, L F, circa eandem diame-
trum exiſtentia, ſimilia ſunt, eſt{q́ue} D H, quadra-
tum, erunt quoque G L, L F, quadrata. Et quia
quadratum D H, æquale est quadratis ex F I,
5547. primi. D I, hoc eſt, quadrato ex A C, vna cum quadra-
to G L; (Eſt enim angul{us} D I F, rect{us}, & rectæ
6631. tertij. F I, D I, æquales fuerunt rectis A C, D N, vel
K L.) erit gnomon K N H, quadrato ex A C, æqualis. Cum ergo gnomon K N H, æqua-
7720 lis quoque ſit rectangulo E L, (Nam cum E K, ipſi K F, hoc eſt, ipſi N H, æquale ſit; addi-
8836. primi. to communi D L, fit totum E L, toti gnomoni K N H, æquale) erit quoque rectangulum
E L, contentum ſub E N, N F; (quòd recta N F, rectæ N L, æqualis ſit, ob quadratum
L F.) æquale quadrato ex A C. Applicatum eſt ergo ad E F, diametrum tranſuerſam
rectangulum ſub E N, N F, æquale quartæ parti rectanguli ſub E F, E I, deficiens{q́ue} qua-
drato rectæ N F. Eodem modo demonſtrabitur rectangulum ſub F O, O E, applicatum ad
E F, deficiens{q́ue} quadrato ex E O, æquale eße quartæ parti rectanguli ſub E F, E I. Quod
eſt propoſitum.
Ellipſis in pla-
no.
HIS præmiſſis ſit E F, axis tranſuerſus Ellipſis E F, &
lat{us} rectum E I, datum ex lemmate 1.
101030 Applicetur per 2. lemma, ad E F, ex vtraque parte rectangulum tam ſub F O, O E, quàm ſub E N,
N F, quartæ parti rectanguli ſub E F, E I, æquale, quorum illud quidem deficiat quadrato ex E O, hoc
vero, quadrato ex F N. Et diuiſa N O, bifariam in A, ſumantur inter A, & N, quotlibet puncta vt-
cunque B, C, D. Deinde ad interuallum E A, vel F A, ex punctis O, & N, deſcribantur quatuor ar-
cus ſemutuo ſecantes hinc inde in G. Item ex eiſdem punctis O, & N, ad interuallum E B, quatuor ar-
cus deſcribantur, quos in puncto H, ſecent alij quatuor arcus ex eiſdem punctis ad interuallum F B, de-
ſcripti. Eodem modo ad interualla E C, F C, ex eiſdem punctis O, & N, arcus deſcripti ſemutuo ſecent
in I; & ſic de cæteris punctis, ſi qua ſint; obſeruando ſemper, vt bini maiorcs arcus ex ſingulis quatuor,
qui ex O, & N, deſcribendi ſunt, deſcribantur ex O, vltra punctum A, & bini ex N, vltra idem pun-
ctum A; bini autem minores ex O, citra punctum A, & bini ex N, citra idem punctum A. Nam per
111140 puncta E, G, H, I, F, Ellipſis erit deſcribenda. Quoniam enimtam rectæ N G, O G, hoc eſt, E A, F A,
quàm rectæ N H, O H, id est, E B, F B, & c. axi E F, æquales ſunt, tranſibit Ellipſis, cuius axis E F,
per puncta E, G, H, I, F; quandoquidem, vt vult propoſitio 52. lib. 3. Apollonij, lineæ rectæ ex punctis
N, O, ad vnum idem{q́ue} Ellipſis punctum inclinatæ æquales ſunt axi E F. Sinamque dicta Ellipſis non
tranſit per punctum I, tranſeat, ſifieri poteſt, per K, ſecans rectam N I, in K, vel vltra, vel citra I,
iungatur{q́ue}, recta O K. Quoniam igitur Ellipſis prædicta tranſit per K, erunt rectæ N K, O K, ſimul æqua-
les axi E F, ex propoſ. 52. lib. 1. Apollonij: Sed per conſtructionem & rectæ N I, O I, eidem axi E F,
æquales ſunt. Igitur N K, O K, rectis N I, O I, æquales erunt: Sed & inæquales ſunt; (Nam cadente pun-
cto K, vltra I, erunt rectæ I K, K O, maiores recta I O; addita ergo communi I N, erunt N K, O K,
121220. primi. maiores, quàm N I, O I: Cadente verò puncto K, citra I, erunt I K, I O, maiores, quàm K O. addi-
131320. primi.141450 ta ergo communi K N, erunt N I, O I, maiores, quàm N k, O K) Quod est abſurdum. Non ergo dicta
Ellipſis per aliud punctum, quàm per I, tranſibit. Eodcm{q́ue} modo demonſtrabimus eandem per reliqua
puncta H, G, & c. tranſire, quod eſt propoſitum.
101030 Applicetur per 2. lemma, ad E F, ex vtraque parte rectangulum tam ſub F O, O E, quàm ſub E N,
N F, quartæ parti rectanguli ſub E F, E I, æquale, quorum illud quidem deficiat quadrato ex E O, hoc
vero, quadrato ex F N. Et diuiſa N O, bifariam in A, ſumantur inter A, & N, quotlibet puncta vt-
cunque B, C, D. Deinde ad interuallum E A, vel F A, ex punctis O, & N, deſcribantur quatuor ar-
cus ſemutuo ſecantes hinc inde in G. Item ex eiſdem punctis O, & N, ad interuallum E B, quatuor ar-
cus deſcribantur, quos in puncto H, ſecent alij quatuor arcus ex eiſdem punctis ad interuallum F B, de-
ſcripti. Eodem modo ad interualla E C, F C, ex eiſdem punctis O, & N, arcus deſcripti ſemutuo ſecent
in I; & ſic de cæteris punctis, ſi qua ſint; obſeruando ſemper, vt bini maiorcs arcus ex ſingulis quatuor,
qui ex O, & N, deſcribendi ſunt, deſcribantur ex O, vltra punctum A, & bini ex N, vltra idem pun-
ctum A; bini autem minores ex O, citra punctum A, & bini ex N, citra idem punctum A. Nam per
111140 puncta E, G, H, I, F, Ellipſis erit deſcribenda. Quoniam enimtam rectæ N G, O G, hoc eſt, E A, F A,
quàm rectæ N H, O H, id est, E B, F B, & c. axi E F, æquales ſunt, tranſibit Ellipſis, cuius axis E F,
per puncta E, G, H, I, F; quandoquidem, vt vult propoſitio 52. lib. 3. Apollonij, lineæ rectæ ex punctis
N, O, ad vnum idem{q́ue} Ellipſis punctum inclinatæ æquales ſunt axi E F. Sinamque dicta Ellipſis non
tranſit per punctum I, tranſeat, ſifieri poteſt, per K, ſecans rectam N I, in K, vel vltra, vel citra I,
iungatur{q́ue}, recta O K. Quoniam igitur Ellipſis prædicta tranſit per K, erunt rectæ N K, O K, ſimul æqua-
les axi E F, ex propoſ. 52. lib. 1. Apollonij: Sed per conſtructionem & rectæ N I, O I, eidem axi E F,
æquales ſunt. Igitur N K, O K, rectis N I, O I, æquales erunt: Sed & inæquales ſunt; (Nam cadente pun-
cto K, vltra I, erunt rectæ I K, K O, maiores recta I O; addita ergo communi I N, erunt N K, O K,
121220. primi. maiores, quàm N I, O I: Cadente verò puncto K, citra I, erunt I K, I O, maiores, quàm K O. addi-
131320. primi.141450 ta ergo communi K N, erunt N I, O I, maiores, quàm N k, O K) Quod est abſurdum. Non ergo dicta
Ellipſis per aliud punctum, quàm per I, tranſibit. Eodcm{q́ue} modo demonſtrabimus eandem per reliqua
puncta H, G, & c. tranſire, quod eſt propoſitum.
PERSPICVVM etiam eſt, hanc deſcriptionem non conuenire conis ſcalenis, niſi cum triangula
1515Qua ratione
Parabola qua-
liſunque in
plano deſcriba-
tur. per axem ad baſes conorum recta ſunt. Tunc enim ſolum diameter ellipſis ad angulos rectos ſecat ordi-
natim applicatas, vt ex propoſ. 7. lib. 1. Apoll. conſtat, atque adeo axis eſt.
1515Qua ratione
Parabola qua-
liſunque in
plano deſcriba-
tur. per axem ad baſes conorum recta ſunt. Tunc enim ſolum diameter ellipſis ad angulos rectos ſecat ordi-
natim applicatas, vt ex propoſ. 7. lib. 1. Apoll. conſtat, atque adeo axis eſt.
QVOD ſi vt cunque Parabolã aliquam, Hyperbolã, vel etiã duas oppoſitas, aut Ellipſim deſcribere
velimus, nulla habita ratione conorũ, à quibus oriuntur, accipiemus pro parabola axem cuiuſcunque ma-
gnitudinis E H, vt in ſuperiori parabola, & in eo quotcunque partes æquales vt libet, et per puncta termi
nantia primam partem, & ſequẽtes tres, & ſequentes quinque, & ſequentes ſeptem, & c. ducemus lineas
inter ſe parallelas; ſumpta autem ex prima, quantacunque linea vtrinque A D, accipiemus eius
velimus, nulla habita ratione conorũ, à quibus oriuntur, accipiemus pro parabola axem cuiuſcunque ma-
gnitudinis E H, vt in ſuperiori parabola, & in eo quotcunque partes æquales vt libet, et per puncta termi
nantia primam partem, & ſequẽtes tres, & ſequentes quinque, & ſequentes ſeptem, & c. ducemus lineas
inter ſe parallelas; ſumpta autem ex prima, quantacunque linea vtrinque A D, accipiemus eius