5636GNOMONICES
lineæ curuæ per puncta A, C, D, B, deſcriptæ æquales ſunt maiori axi AB, vt vult illa ꝓpoſitio Apollonij.
INVENIEMVS quoque puncta F, G, pro clauiculorum locis hac ratione, &
fortaſſe certius,
11Loca claniculo-
rũ ad Ellipſim
deſcribendam
alia ratione in-
ueniuntur. propterea quod, cum minor axis fermè æqualis eſt maiori, arcus cir culorum ex C, vel D, deſcripti ualdè
40[Figure 40]
obliquè ſecant rectam A B.
Diuiſa recta B E, quæ dimi-
dium eſt axis maioris, bifa-
riã in H, deſcribatur ex H,
ad interuallũ H B, vel H E,
ſemicir culus B I E, & in eo
accõmodetur recta B I, dimi-
221. quarti.3310 dio minoris axis D E, æqua-
lis, ducatur{q́ue} recta E I. Dico
rectã E I, æqualem eſſe tam
rectæ E F, quàm rectæ E G,
atque adeò, ſi abſcindantur
rectæ E F, E G, ipſi E I,
æquales, inuenta eſſe eadem
puncta F, G, pro locis claui-
culorum. Quoniã enim qua-
4447. primi. dratum ex B E, æquale eſt
5520 quadratis ex E I, I B; Et tã
quadratum ex D G, quadra-
tis ex D E, E G, quàm qua-
dratum ex D F, quadratis ex
D E, E F, æquale: Eſt aũt qua-
dratũ ex BE, tã quadrato ex
D G, quàm quadrato ex D F,
æquale, quod hæ lineæ æqua-
les ſint ex conſtructione; &
quadratũ ex B I, æquale qua-
6630 drato ex D E, quòd per con-
ſtructionẽ æquales quoque ſint poſitæ rectæ B I, D E; crit reliquũ quadratũ ex E I, reliquo quadrato tam ex
E G, quàm ex E F, deſcripto æquale, ac proinde recta E I, rectis E G, E F, æqualis erit, quod eſt propoſitũ.
11Loca claniculo-
rũ ad Ellipſim
deſcribendam
alia ratione in-
ueniuntur. propterea quod, cum minor axis fermè æqualis eſt maiori, arcus cir culorum ex C, vel D, deſcripti ualdè
Diuiſa recta B E, quæ dimi-
dium eſt axis maioris, bifa-
riã in H, deſcribatur ex H,
ad interuallũ H B, vel H E,
ſemicir culus B I E, & in eo
accõmodetur recta B I, dimi-
221. quarti.3310 dio minoris axis D E, æqua-
lis, ducatur{q́ue} recta E I. Dico
rectã E I, æqualem eſſe tam
rectæ E F, quàm rectæ E G,
atque adeò, ſi abſcindantur
rectæ E F, E G, ipſi E I,
æquales, inuenta eſſe eadem
puncta F, G, pro locis claui-
culorum. Quoniã enim qua-
4447. primi. dratum ex B E, æquale eſt
5520 quadratis ex E I, I B; Et tã
quadratum ex D G, quadra-
tis ex D E, E G, quàm qua-
dratum ex D F, quadratis ex
D E, E F, æquale: Eſt aũt qua-
dratũ ex BE, tã quadrato ex
D G, quàm quadrato ex D F,
æquale, quod hæ lineæ æqua-
les ſint ex conſtructione; &
quadratũ ex B I, æquale qua-
6630 drato ex D E, quòd per con-
ſtructionẽ æquales quoque ſint poſitæ rectæ B I, D E; crit reliquũ quadratũ ex E I, reliquo quadrato tam ex
E G, quàm ex E F, deſcripto æquale, ac proinde recta E I, rectis E G, E F, æqualis erit, quod eſt propoſitũ.
DEINDE ſi datus ſit maior duntaxat axis Ellipſis A B, &
aliquod punctum K, per quod tranſi-
77Quomodo El-
lipſis circa datũ
axem maiorem,
& per datũ pun
ctum deſcriba-
tur. re debeat Ellipſis circa axem A B, deſcripta, reperiemus minorem axem, hoc eſt, latitudinem Ellipſis,
& puncta F, G, in quibus affigendi ſunt clauiculi, hac ratione. Diuiſa A B, bifariam in E, ducatur per
E, ad A B, perpendicularis C D, & ex dato puncto K, ad eandem A B, alia perpendicularis K L, vel ip-
ſi C D, parallela. Deinde per ea, quæ in problemate tertio ſcholij propoſ. vltimæ lib. 6. Euclidis demon-
ſtr ata ſunt à nobis, fiat, vt rectangulum ſub A L, L B, contentum ad rectangulum contentum ſub A E,
E B, hoc eſt, ad quadratum ex A E, vel E B, (Hoc enim rectangulum quadratum eſt, ob æqualitatem re-
8840 ctarum A E, E B) ita quadratum ex K L, ad aliud quadratũ, cuius latus ſit E D, vel E C. Erit{q́ue} ex de-
monſtratis ab Apollonio propoſ. 21. lib. 1. E D, vel E C, dimidium axis minoris; per quam, vt paulo an-
te docuimus, inueniemus puncta F, & G, quorum beneficio Ellipſim deſcribemus.
77Quomodo El-
lipſis circa datũ
axem maiorem,
& per datũ pun
ctum deſcriba-
tur. re debeat Ellipſis circa axem A B, deſcripta, reperiemus minorem axem, hoc eſt, latitudinem Ellipſis,
& puncta F, G, in quibus affigendi ſunt clauiculi, hac ratione. Diuiſa A B, bifariam in E, ducatur per
E, ad A B, perpendicularis C D, & ex dato puncto K, ad eandem A B, alia perpendicularis K L, vel ip-
ſi C D, parallela. Deinde per ea, quæ in problemate tertio ſcholij propoſ. vltimæ lib. 6. Euclidis demon-
ſtr ata ſunt à nobis, fiat, vt rectangulum ſub A L, L B, contentum ad rectangulum contentum ſub A E,
E B, hoc eſt, ad quadratum ex A E, vel E B, (Hoc enim rectangulum quadratum eſt, ob æqualitatem re-
8840 ctarum A E, E B) ita quadratum ex K L, ad aliud quadratũ, cuius latus ſit E D, vel E C. Erit{q́ue} ex de-
monſtratis ab Apollonio propoſ. 21. lib. 1. E D, vel E C, dimidium axis minoris; per quam, vt paulo an-
te docuimus, inueniemus puncta F, & G, quorum beneficio Ellipſim deſcribemus.
ITA autem expedite quadratum lateris E D, vel E C, quæſiti comperiemus.
Ex E, ad interuallum
E A, vel E B, ſemicir culus deſcribatur A M B, quem recta L K, producta ſecet in M; Eritq́, ex ſcholio
propoſ. 13. lib. 6. Euclidis, recta L M, media proportionalis inter A L, L B, atq; adeo eius quadratũ re-
9917. ſexti. ctangulo ſub A L, L B, cõtento æquale. Vnde facili negotio reperiemus quadratũ, ad quod eandẽ propor-
tionẽ habeat quadratũ ex L K, quã habet quadratũ ex L M, hoc eſt, rectangulũ ſub A L, L B, comprehen-
ſum, ad quadratum ex E A, vel E B, hoc eſt, ad rectangulum ſub A E, E B, contentum, ſi tribus rectis
101012. ſexti. L M, E A, L K, quartam proportionalem inueniamus E D; propterea quod eandem proportionẽ habent
111150 quadrata ſupra rectas L M, E A, L K, E D, deſcripta, quam ipſęmet rectæ. Hoc autem artificio dictam
121222. ſexti. quartam proportionalem E D, reperiemus. Ductis rectis duabus N O, N P, facientibus angulum in N,
quemcunque, ſumatur N Q, ipſi L M, & Q O, ipſi E A, & N R, ipſi L K, æqualis. Deinde ducta Q R,
agatur per O, ipſi Q R, parallela O P. Erit R P, dicta quarta proportionalis; cum ſit, vt N Q, hoc eſt,
13132. ſexti. L M, ad Q O, hoc eſt, ad E A, ita N R, hoc eſt, L K, ad R P. Quare ſi ſumamus E D, ipſi R P, æqualem,
habebimus minoris axis dimidium E D, & c.
E A, vel E B, ſemicir culus deſcribatur A M B, quem recta L K, producta ſecet in M; Eritq́, ex ſcholio
propoſ. 13. lib. 6. Euclidis, recta L M, media proportionalis inter A L, L B, atq; adeo eius quadratũ re-
9917. ſexti. ctangulo ſub A L, L B, cõtento æquale. Vnde facili negotio reperiemus quadratũ, ad quod eandẽ propor-
tionẽ habeat quadratũ ex L K, quã habet quadratũ ex L M, hoc eſt, rectangulũ ſub A L, L B, comprehen-
ſum, ad quadratum ex E A, vel E B, hoc eſt, ad rectangulum ſub A E, E B, contentum, ſi tribus rectis
101012. ſexti. L M, E A, L K, quartam proportionalem inueniamus E D; propterea quod eandem proportionẽ habent
111150 quadrata ſupra rectas L M, E A, L K, E D, deſcripta, quam ipſęmet rectæ. Hoc autem artificio dictam
121222. ſexti. quartam proportionalem E D, reperiemus. Ductis rectis duabus N O, N P, facientibus angulum in N,
quemcunque, ſumatur N Q, ipſi L M, & Q O, ipſi E A, & N R, ipſi L K, æqualis. Deinde ducta Q R,
agatur per O, ipſi Q R, parallela O P. Erit R P, dicta quarta proportionalis; cum ſit, vt N Q, hoc eſt,
13132. ſexti. L M, ad Q O, hoc eſt, ad E A, ita N R, hoc eſt, L K, ad R P. Quare ſi ſumamus E D, ipſi R P, æqualem,
habebimus minoris axis dimidium E D, & c.
CAETERVM loco clauiculorum vti poterimus inſtrumento quodam ad ſimilitudinẽ circini fabri-
1414Inſtrumentum
pro Ellipſi per
filum deſcriben
da. cato, cuius crura in extremitatibus ſint reſecta, & frusta abſciſſa ita adaptata, vt hinc inde poſſint di-
moueri, & cochleolis aſtringi, vt quãtumuis dilatentur circini crura, ſemper fruſta illa cochleolis aſtricta
recta ſint ad planũ, in quo Ellipſis deſcribenda eſt. Hæc autẽ fruſta habeant etiã in extremis partibus ca-
naliculos quoſdam per circuitum inciſos, ita vt filum in ijs circumuolutum neque ſurſum aſcendat,
1414Inſtrumentum
pro Ellipſi per
filum deſcriben
da. cato, cuius crura in extremitatibus ſint reſecta, & frusta abſciſſa ita adaptata, vt hinc inde poſſint di-
moueri, & cochleolis aſtringi, vt quãtumuis dilatentur circini crura, ſemper fruſta illa cochleolis aſtricta
recta ſint ad planũ, in quo Ellipſis deſcribenda eſt. Hæc autẽ fruſta habeant etiã in extremis partibus ca-
naliculos quoſdam per circuitum inciſos, ita vt filum in ijs circumuolutum neque ſurſum aſcendat,