6747LIBER PRIMVS.
rectæ L I, S T, parallelæ.
Eademq́;
ratione H k, P Q, parallelæ erunt, cum ſint communes ſectio-
1116. vndec. nes planorum parallelorum F G, M N, factæ à parallelo B C. Tangat quoque circulus aliquis
horarius ab ortu, vel occaſu parallelos B C, D E, in H, I, punctis, atque adeo & conicas ſuperficies
49[Figure 49]221033204430
in recta H I, per propoſ.
13.
huius lib, faciens in plano horologii lineam horariam V X.
Dico re-
ctam V X, eſſe ἀσύμπτοτον, id eſt, non conuenire vnquam cum hyperbolis O P Q, R S T, fieri ta-
men ipſis ſemper propinquiorem, ſi tam recta, quàm hyperbolæ producantur. Cum enim cir-
culus H I V X, conicas ſuperficies tangat in recta H I, tantum, ita vt omnia alia puncta circuli
5540 H I V X, exiſtentia extra rectam H I, ſint extra conicas ſuperficies, erit horaria linea V X, tota ex-
tra conicas ſuperficies, propterea quod non coire poteſt cum recta H I, quandoquidem plana F G,
M N, parallela ponuntur, ac propterea rectæ H I, V X, ipſorum communes ſectiones factæ à pla-
no H I V X, parallelæ ſunt. Non igitur conueniet recta V X, cum hyperbolis O P Q, R S T, etiã
6616. vndec. ſi recta V X, & hyperbolæ in eodem ſint plano horologii. Eodem modo erit V X, extra conicas
ſuperficies, etiamſi producantur in infinitum. Idemq́ dices de linea horaria, cuius circulus tan-
git ſuperficies conicas in recta K L.
1116. vndec. nes planorum parallelorum F G, M N, factæ à parallelo B C. Tangat quoque circulus aliquis
horarius ab ortu, vel occaſu parallelos B C, D E, in H, I, punctis, atque adeo & conicas ſuperficies
ctam V X, eſſe ἀσύμπτοτον, id eſt, non conuenire vnquam cum hyperbolis O P Q, R S T, fieri ta-
men ipſis ſemper propinquiorem, ſi tam recta, quàm hyperbolæ producantur. Cum enim cir-
culus H I V X, conicas ſuperficies tangat in recta H I, tantum, ita vt omnia alia puncta circuli
5540 H I V X, exiſtentia extra rectam H I, ſint extra conicas ſuperficies, erit horaria linea V X, tota ex-
tra conicas ſuperficies, propterea quod non coire poteſt cum recta H I, quandoquidem plana F G,
M N, parallela ponuntur, ac propterea rectæ H I, V X, ipſorum communes ſectiones factæ à pla-
no H I V X, parallelæ ſunt. Non igitur conueniet recta V X, cum hyperbolis O P Q, R S T, etiã
6616. vndec. ſi recta V X, & hyperbolæ in eodem ſint plano horologii. Eodem modo erit V X, extra conicas
ſuperficies, etiamſi producantur in infinitum. Idemq́ dices de linea horaria, cuius circulus tan-
git ſuperficies conicas in recta K L.
DICO iam rectam V X, productam in vtramque partem fieri ſemper hyperbolis pro pinquio
rem. Augeatur enim conica ſuperficies A B C, & auctæ baſis ſit Y Z; & protrahantur rectæ I H,
F G, M N, V X, ad puncta α, β, γ, δ, vnà cum planis F G, M N, H I V X; augeaturq́ue hyper-
7750 bole O P Q, vt fiat O ε θ. Secentur quoque conicæ ſuperficies plano, in quo circulus maximus
D B C E, per diametros D E, B C, quæ ad diametros L I, H K, atque ob id & ad rectas S T, P Q,
illis æquidiſtantes, perpendiculares ſint. Poſtremo ſint H λ, α δ, communes ſectiones planorum
B C, Y Z, & plani, in quo circulus H I V X, quæ tangent circulos B C, Y Z, in punctis H, α, per
definitionem lib. 2. Theod. ſecabuntq́ue ſe mutuo tres rectæ V X, Q P, H λ, extra ſuperficies co-
nicas in puncto λ. Quælibet enim duæ ſe mutuo ſecant. Nam cum H I, V X, parallelæ ſint oſten
ſæ, ſitq́ue H λ, in eodem cum ipſis plano, nempe in plano circuli H I V X; ſecet autem H λ, ip-
ſam H I, in H, ſecabit quoque eadem H λ, rectam V X, vt ad 28, propoſ. lib. 1. Euclidis demon-
ſtrauimus. Secant ergo ſe mutuo rectæ H λ, V X. Rurſus eadem H λ, ipſam P Q, ſecabit. Nam
cum H K, P Q, parallelæ ſint, vt ſupra oſtenſum eſt, ſecet autem H λ, ipſam H K, ſecabit quo-
que ipſam P Q, ex iis, quæ ad propoſ. 28. lib. 1. Eucl. oſtendimus. Quòd autem & P Q, V X,
rem. Augeatur enim conica ſuperficies A B C, & auctæ baſis ſit Y Z; & protrahantur rectæ I H,
F G, M N, V X, ad puncta α, β, γ, δ, vnà cum planis F G, M N, H I V X; augeaturq́ue hyper-
7750 bole O P Q, vt fiat O ε θ. Secentur quoque conicæ ſuperficies plano, in quo circulus maximus
D B C E, per diametros D E, B C, quæ ad diametros L I, H K, atque ob id & ad rectas S T, P Q,
illis æquidiſtantes, perpendiculares ſint. Poſtremo ſint H λ, α δ, communes ſectiones planorum
B C, Y Z, & plani, in quo circulus H I V X, quæ tangent circulos B C, Y Z, in punctis H, α, per
definitionem lib. 2. Theod. ſecabuntq́ue ſe mutuo tres rectæ V X, Q P, H λ, extra ſuperficies co-
nicas in puncto λ. Quælibet enim duæ ſe mutuo ſecant. Nam cum H I, V X, parallelæ ſint oſten
ſæ, ſitq́ue H λ, in eodem cum ipſis plano, nempe in plano circuli H I V X; ſecet autem H λ, ip-
ſam H I, in H, ſecabit quoque eadem H λ, rectam V X, vt ad 28, propoſ. lib. 1. Euclidis demon-
ſtrauimus. Secant ergo ſe mutuo rectæ H λ, V X. Rurſus eadem H λ, ipſam P Q, ſecabit. Nam
cum H K, P Q, parallelæ ſint, vt ſupra oſtenſum eſt, ſecet autem H λ, ipſam H K, ſecabit quo-
que ipſam P Q, ex iis, quæ ad propoſ. 28. lib. 1. Eucl. oſtendimus. Quòd autem & P Q, V X,