7151LIBER PRIMVS.
culorum A C, B D, G H.
Deſcribatur enim maximus parallelorum L M, qui per puncta E, F, tran
ſibit, cum per præcedentem propoſ. E F, ſit communis ſectio trium circulorum A C, B D, L M,
propterea quòd A C, BD, tangunt parallelum B C,
53[Figure 53]
in punctis oppoſitis, &
L M, eſt parallelorum ma-
ximus. Deſcripto autem per polos parallelorum,
& per contactum B, circulo maximo G L H M,
tranſibit hic idem per polos quoque circuli B D,
per propoſ. 5. lib. 2. Theodoſii. Quare ſecabit
ſegmenta B E F, L E F, per propoſ. 9. eiuſdem,
bifariam. Cum ergo L E F, ſemicirculus ſit, quòd
1110 maximi circuli ſe bifariam ſecent, per propoſ. 11.
lib. 1. Theodoſii, erunt arcus L E, L F, quadran-
res. Quoniam verò circuli maximi G L H M,
G E H F, per G, H, polos parallelorum B C,
L M, deſcripti ſunt, erunt per propoſ. 10. lib. 2.
Theodoſii, arcus inter ipſos intercepti ſimiles: ſunt
autem arcus B I, B k, paralleli B C, inter ipſos inter-
cepti, ex hypotheſi, quadrantes. Igitur & arcus pa-
ralleli L M, intercepti inter eoſdem, quadrantes e-
runt: ac proinde, cum L E, L F, oſtenſi ſint quadrantes, tranſibit circulus G H, per puncta E, F,
2220 atque adeo vtrunque circulum A C, B D, per rectam E F, ſecabit. Quare recta E F, communis
eſt ſectio trium circulorum A C, B D, G H. Quod oſtendendum erat.
ſibit, cum per præcedentem propoſ. E F, ſit communis ſectio trium circulorum A C, B D, L M,
propterea quòd A C, BD, tangunt parallelum B C,
ximus. Deſcripto autem per polos parallelorum,
& per contactum B, circulo maximo G L H M,
tranſibit hic idem per polos quoque circuli B D,
per propoſ. 5. lib. 2. Theodoſii. Quare ſecabit
ſegmenta B E F, L E F, per propoſ. 9. eiuſdem,
bifariam. Cum ergo L E F, ſemicirculus ſit, quòd
1110 maximi circuli ſe bifariam ſecent, per propoſ. 11.
lib. 1. Theodoſii, erunt arcus L E, L F, quadran-
res. Quoniam verò circuli maximi G L H M,
G E H F, per G, H, polos parallelorum B C,
L M, deſcripti ſunt, erunt per propoſ. 10. lib. 2.
Theodoſii, arcus inter ipſos intercepti ſimiles: ſunt
autem arcus B I, B k, paralleli B C, inter ipſos inter-
cepti, ex hypotheſi, quadrantes. Igitur & arcus pa-
ralleli L M, intercepti inter eoſdem, quadrantes e-
runt: ac proinde, cum L E, L F, oſtenſi ſint quadrantes, tranſibit circulus G H, per puncta E, F,
2220 atque adeo vtrunque circulum A C, B D, per rectam E F, ſecabit. Quare recta E F, communis
eſt ſectio trium circulorum A C, B D, G H. Quod oſtendendum erat.
TANGANT deinde in eadem Sphæra A B C D, eundem parallelum B C, in punctis non
oppoſitis E, F, duo circuli maximi E G, F H, quorum communis ſectio ſit recta I K, quæ diameter
erit ipſorum, cum per propoſ. 11. lib. 1. Theod, ſe
54[Figure 54]
mutuo bifariam ſecent:
Secet autem eundem pa-
rallelum B C, alius circulus maximus L M, per pa-
ralleli polos L, M, & per axem L M, incedens, in
punctis O, P, æqualiter diſtantibus à punctis E, F,
ita vt arcus O E, O F, & P B E, P C F, æquales ſint.
3330 Dico circulum L M, ſecare vtrumque maximum
E G, F H, per rectam I k, hoc eſt, tranſire per
puncta I, K, ita vt recta I K, ſit communis ſectio
trium circulorum maximorum E G, F H, L M.
Cum enim circulus L M, ſecet parallelum B C,
per polos, ſecabit ipſum, per propoſ. 15. lib. 1.
Theodoſii, bifariam. Sectio igitur communis O P,
diameter erit paralleli B C, tranſiens per centrum
Q, in quod axis L M, cadit, per propoſ. 10. lib. 1.
Theodoſii. Sit quoque R, centrum ſphęrę, per quod
4440& axis L M, & I K, diameter circulorum maximorũ
tranſit. Et quia circuli in Sphęra ſe mutuo tangere dicuntur, cum communis ſectio planorum, in
quibus circuli exiſtunt, vtrum que circulum tangit, ex defin. lib. 2. Theodofii: Sint communes ſe-
ctiones circulorum E G, B C, & F H, B C, rectę E S, F S, tangentes ipſos circulos. Ductis ergo è
centro Q, ſemidiametris Q E, Q F, erunt anguli S E Q, S F Q, recti, & idcirco, ducta recta E F,
5518. tertij. anguli S E F, S F E, rectis minores. Quare rectæ E S, F S, in eodem plano paralleli B C, quem tan
gunt, exiſtentes conuenient in aliquo puncto, vtpote in S, per 11. pronunciatum lib. 1. Euclidis.
Et quoniam K I, communis ſectio circulorum E G, F H, conuenit quoque cum vtraque E S, F S,
vt mox oſtendemus lemmate ſequenti; fit vt KI, producta vtrique occurrat in S. Nam ſi alteram ip
ſarũ ſecaret infra, aut ſupra S, non coiret cũ reliqua, vt patet. Si enim K I, occurrat, verbi gratia, re-
6650 ctæ E S, alibi, quàm in puncto S, ſecabit ea producta ſtatim planũ circuli B C, in eo puncto, in quo
rectam E S, ſecat, ac proinde nullo modo ſecabit rectam F S, in plano eodem circuli BC, exiſtentẽ.
Et ſi K I, occurrat rectæ F S, alibi quàm in puncto S, oſtendemus eodẽ modo, ipſam ſecare nõ poſ-
ſe rectam E S. Quamobrem recta K I, niſi per punctum S, tranſeat, non ſecabit vtramque E S, F S,
Quod eſt abſurdum. Vtramque enim ſecat, vt in lemmate ſequenti oſtendemus. Ducantur iam
rectæ E O, F O, O S, in plano circuli B C. Quia igitur arcus E O, F O, ponuntur æquales, æqua-
les erunt & rectæ E O, F O: Sunt autem & tangentes S E, S F, per 2. coroll. propoſ. 36. lib. 3. Eu-
7728. tertij. clidis, æquales. Igitur erunt duo latera E O, O S, trianguli E O S, duobus lateribus F O, O S, trian
guli F O S, æqualia, & baſis E S, baſi F S; ac proinde & anguli E O S, F O S, æquales erunt. Non
888. primi. aliter oſtendemus angulos E O Q, F O Q, æquales eſſe; propterea quòd latera E O, O Q, trian-
guli E O Q, lateribus F O, O Q, trianguli F O Q, æqualia ſunt, & baſis E Q, baſi F Q.
oppoſitis E, F, duo circuli maximi E G, F H, quorum communis ſectio ſit recta I K, quæ diameter
erit ipſorum, cum per propoſ. 11. lib. 1. Theod, ſe
rallelum B C, alius circulus maximus L M, per pa-
ralleli polos L, M, & per axem L M, incedens, in
punctis O, P, æqualiter diſtantibus à punctis E, F,
ita vt arcus O E, O F, & P B E, P C F, æquales ſint.
3330 Dico circulum L M, ſecare vtrumque maximum
E G, F H, per rectam I k, hoc eſt, tranſire per
puncta I, K, ita vt recta I K, ſit communis ſectio
trium circulorum maximorum E G, F H, L M.
Cum enim circulus L M, ſecet parallelum B C,
per polos, ſecabit ipſum, per propoſ. 15. lib. 1.
Theodoſii, bifariam. Sectio igitur communis O P,
diameter erit paralleli B C, tranſiens per centrum
Q, in quod axis L M, cadit, per propoſ. 10. lib. 1.
Theodoſii. Sit quoque R, centrum ſphęrę, per quod
4440& axis L M, & I K, diameter circulorum maximorũ
tranſit. Et quia circuli in Sphęra ſe mutuo tangere dicuntur, cum communis ſectio planorum, in
quibus circuli exiſtunt, vtrum que circulum tangit, ex defin. lib. 2. Theodofii: Sint communes ſe-
ctiones circulorum E G, B C, & F H, B C, rectę E S, F S, tangentes ipſos circulos. Ductis ergo è
centro Q, ſemidiametris Q E, Q F, erunt anguli S E Q, S F Q, recti, & idcirco, ducta recta E F,
5518. tertij. anguli S E F, S F E, rectis minores. Quare rectæ E S, F S, in eodem plano paralleli B C, quem tan
gunt, exiſtentes conuenient in aliquo puncto, vtpote in S, per 11. pronunciatum lib. 1. Euclidis.
Et quoniam K I, communis ſectio circulorum E G, F H, conuenit quoque cum vtraque E S, F S,
vt mox oſtendemus lemmate ſequenti; fit vt KI, producta vtrique occurrat in S. Nam ſi alteram ip
ſarũ ſecaret infra, aut ſupra S, non coiret cũ reliqua, vt patet. Si enim K I, occurrat, verbi gratia, re-
6650 ctæ E S, alibi, quàm in puncto S, ſecabit ea producta ſtatim planũ circuli B C, in eo puncto, in quo
rectam E S, ſecat, ac proinde nullo modo ſecabit rectam F S, in plano eodem circuli BC, exiſtentẽ.
Et ſi K I, occurrat rectæ F S, alibi quàm in puncto S, oſtendemus eodẽ modo, ipſam ſecare nõ poſ-
ſe rectam E S. Quamobrem recta K I, niſi per punctum S, tranſeat, non ſecabit vtramque E S, F S,
Quod eſt abſurdum. Vtramque enim ſecat, vt in lemmate ſequenti oſtendemus. Ducantur iam
rectæ E O, F O, O S, in plano circuli B C. Quia igitur arcus E O, F O, ponuntur æquales, æqua-
les erunt & rectæ E O, F O: Sunt autem & tangentes S E, S F, per 2. coroll. propoſ. 36. lib. 3. Eu-
7728. tertij. clidis, æquales. Igitur erunt duo latera E O, O S, trianguli E O S, duobus lateribus F O, O S, trian
guli F O S, æqualia, & baſis E S, baſi F S; ac proinde & anguli E O S, F O S, æquales erunt. Non
888. primi. aliter oſtendemus angulos E O Q, F O Q, æquales eſſe; propterea quòd latera E O, O Q, trian-
guli E O Q, lateribus F O, O Q, trianguli F O Q, æqualia ſunt, & baſis E Q, baſi F Q.