39 duobꝰ numeris ſe habētibus in proportione ſex-
quialtera ſubduplum maioris eſt ſubſexquiterti-
um minoris. Probatur prima pars / quia in caſu
illius idē numerus habet duas proportiones ma
ioris inequalitatis ad duos numeros minores
īequales puta triplam ad ſuū ſubtriplum et qua-
druplam ad ſuum ſubquadruplum / vt conſtat: igi
tur proportio per quaꝫ quadrupla excedit triplã
eſt proportio inter illos numeros minores puta
ſubtriplum et ſubquadruplum / vt patet ex prece-
denti: et proportio per quã quadrupla excedit tri-
plam eſt ſexquitertia que eſt inter numerus deno
minantes illas / vt patet ex concluſione: igitur in-
ter illos duos numeros minores puta ſubtriplū
et ſubquadrupluꝫ eſt proportio ſexquitertia / quod
fuit probandum. Et eodem modo probabis reli-
quas partes et infinita talia correlaria. 11Tertium
correlar̄. ¶ Sequi-
tur tertio / vniuerſaliter talis eſt proportio inter
duas partes aliquotas inequales alicuius quan
titatis: qualis eſt inter numeros a quibus deno-
minantur tales partes aliquote: vt capta quarta
alicuius et etiam tertia eiuſdem: dico / inter ter-
tiam et quartam talis eſt proportio qualis eſt in-
ter .4. et .3. puta ſexquitertia. Ad quod probanduꝫ
peto primo / quelibet pars aliquota alicuius de
nominatur a certo numero vt medietas a binario
tertia a ternario: quarta a quaternario: quīta a
quinario .etc̈. Peto ſecundo / cuiuſlibet quanti-
tatis ad quamlibet ſui partem aliquotam eſt pro
portio mĺtiplex denominata a numero a quo de-
nominatur talis pars aliquota: vt cuiuſlibet quã
titatis ad ſuam quartam eſt proportio quadru-
pla denominata a numero quaternario a quo
denominatur quarta, et ad ſuam tertiã eſt tripla
denominata a numero ternario a quo denomina
tur tertia: et ſic cõſequenter. Quibus baſibus ſup
poſitis oſtenditur correlarium: et ſit a. vna quan-
titas: et ſit h. vna pars eius aliquota: et c. alia mi-
nor pars aliquota eiuſdem a. et ſit a. ad .c.f. ꝓpor-
tio: et a. ad b.g. proportio minor / vt oportet / et ſit d.
numerus a quo denominatur b. pars aliquota: et
e. a quo denominatur c. pars aliquota: et tūc dico /
tales eſt proportio inter b. et c. qualis inter d.
et e. Quod ſic oſtenditur / quia proportio f. que eſt
a. ad c. excedit proportionem g. que eſt a. ad b. per
proportioneꝫ b. ad c. / vt patet ex primo correlario /
et proportio per quã proportio f. excedit propor-
tionem g. eſt illa que eſt inter denominatiões ſiue
inter termininos a. quibus denominãtur f. et g. pro-
portiones / vt patet ex concluſione: igitur propor-
tio b. ad c. eſt proportio que eſt inter terminos a
quibus denominatur f. et g. proportiões: et f. et g.
proportiones denominantur a d. et e. numeris a
quibus denominantur b.c. partes aliquote ipſiꝰ
a. / vt patet ex ſecunda petitione igitur: talis eſt ꝓ-
portio inter b. et c. qualis eſt inter d. et e. / quod fuit
probandum. Et ſic patet correlariuꝫ. 224. correĺ. ¶ Sequitur
quarto / conſtituta naturali ſerie proportionuꝫ
multipliciū: et conſtituta etiam naturali ſerie pro
portionum ſuperparticularium: ſecunda ſpecies
proportionis multiplicis excedit primam ſpecieꝫ
per primam ſpeciem proportionis ſuperparticu-
laris puta per ſexquialterã: et tertia ſpecies mul-
tiplicis excedit ſecundã: per ſecundam ſpeciem ꝓ-
portionis ſuperparticularis: et quarta multipli-
cis excedit tertiam: per tertiaꝫ ſuperparticularis /
et ſic in infinitum. Probatur / quia captis primis
duabus ſpeciebus ꝓportionis multiplicis puta
dupla et tripla ille denominantur a. numero bina
rio et ternario / vt conſtat: et tripla excedit duplam
per proportioneꝫ que eſt inter illos numeros ter-
narium videlicet et binarium / vt patet in concluſi-
one: et inter illos eſt prima ſpecies proportionis
ſuperparticularis / vt patet ex ſecundo capite pri-
me partis vbi generantur infinite ſpecies propor
tionis ſuperparticularis ſereatim in naturali ſe
rie numerorum igitur. Item captis tripla et qua-
drupla multiplicibus ille excedunt ſe: per propor
tionem que eſt .4. ad .3. / vt patet ex concluſiõe: et in-
ter illos numeros eſt ſecunda ſpecies proportio-
nis ſuperparticularis / puta ſexquitertia / vt patet
ex loco preallegato: igit̄̄ correlariū verum quoniã
eodem modo probabis de aliis. 335. correĺ. ¶ Sequitur quin
to / per tot proportiones ſuperparticulares cõ-
ſequenter / et ſereatim aſſumptas excedit quelibet
ſpecies multiplicis proportiõis diſtans a. prima
primã ſpeciem multiplicis: per quot vnitates nu-
merus a quo denominatur illa ſpecies diſtat a
numero a quo denomīatur prima ſpecies propor
tionis multiplicis puta dupla. Et ſic etiam dicen-
dum eſt de qualibet alia ſpecie mĺtiplici a qua di-
ſtat per aliquot ſpecies vt proportio quintupla
excedit proportionē duplam per tres ſpecies pro
portionis ſuperparticulares ſereatim ſumptas
videlicet per proportionem ſexquialteram que eſt
3. ad .2. et ſexquitertiam que eſt .4. ad .3. et ſexqui-
quartam que eſt .5. ad .4. Patet hoc correlarium
facile ex anteriori. 446. correĺ. ¶ Sequitur ſexto / vniuerſa-
lis ſeries proportionum ſuperparticularium in-
finitam latitudinē proportionis conſtituit. Pro-
batur / quia conſtituit infinite magnam proporti-
onem multiplicem cum proportione dupla: igitur
talis ſeries in infinitum magna latitudo eſt pro-
portionis. Item talis ſeries proportionum ſuper
particularium eſt naturalis ſeries numerorum in
cipiendo a binario: ſed in infinitum magna pro-
portio eſt alicuius numeri a binarium: igitur infi-
nitum magna latitudo proportionis eſt natura-
lis ſeries proportionum ſuperparticularium. Et
hoc nota ad capitulum de augmentatione.
quialtera ſubduplum maioris eſt ſubſexquiterti-
um minoris. Probatur prima pars / quia in caſu
illius idē numerus habet duas proportiones ma
ioris inequalitatis ad duos numeros minores
īequales puta triplam ad ſuū ſubtriplum et qua-
druplam ad ſuum ſubquadruplum / vt conſtat: igi
tur proportio per quaꝫ quadrupla excedit triplã
eſt proportio inter illos numeros minores puta
ſubtriplum et ſubquadruplum / vt patet ex prece-
denti: et proportio per quã quadrupla excedit tri-
plam eſt ſexquitertia que eſt inter numerus deno
minantes illas / vt patet ex concluſione: igitur in-
ter illos duos numeros minores puta ſubtriplū
et ſubquadrupluꝫ eſt proportio ſexquitertia / quod
fuit probandum. Et eodem modo probabis reli-
quas partes et infinita talia correlaria. 11Tertium
correlar̄. ¶ Sequi-
tur tertio / vniuerſaliter talis eſt proportio inter
duas partes aliquotas inequales alicuius quan
titatis: qualis eſt inter numeros a quibus deno-
minantur tales partes aliquote: vt capta quarta
alicuius et etiam tertia eiuſdem: dico / inter ter-
tiam et quartam talis eſt proportio qualis eſt in-
ter .4. et .3. puta ſexquitertia. Ad quod probanduꝫ
peto primo / quelibet pars aliquota alicuius de
nominatur a certo numero vt medietas a binario
tertia a ternario: quarta a quaternario: quīta a
quinario .etc̈. Peto ſecundo / cuiuſlibet quanti-
tatis ad quamlibet ſui partem aliquotam eſt pro
portio mĺtiplex denominata a numero a quo de-
nominatur talis pars aliquota: vt cuiuſlibet quã
titatis ad ſuam quartam eſt proportio quadru-
pla denominata a numero quaternario a quo
denominatur quarta, et ad ſuam tertiã eſt tripla
denominata a numero ternario a quo denomina
tur tertia: et ſic cõſequenter. Quibus baſibus ſup
poſitis oſtenditur correlarium: et ſit a. vna quan-
titas: et ſit h. vna pars eius aliquota: et c. alia mi-
nor pars aliquota eiuſdem a. et ſit a. ad .c.f. ꝓpor-
tio: et a. ad b.g. proportio minor / vt oportet / et ſit d.
numerus a quo denominatur b. pars aliquota: et
e. a quo denominatur c. pars aliquota: et tūc dico /
tales eſt proportio inter b. et c. qualis inter d.
et e. Quod ſic oſtenditur / quia proportio f. que eſt
a. ad c. excedit proportionem g. que eſt a. ad b. per
proportioneꝫ b. ad c. / vt patet ex primo correlario /
et proportio per quã proportio f. excedit propor-
tionem g. eſt illa que eſt inter denominatiões ſiue
inter termininos a. quibus denominãtur f. et g. pro-
portiones / vt patet ex concluſione: igitur propor-
tio b. ad c. eſt proportio que eſt inter terminos a
quibus denominatur f. et g. proportiões: et f. et g.
proportiones denominantur a d. et e. numeris a
quibus denominantur b.c. partes aliquote ipſiꝰ
a. / vt patet ex ſecunda petitione igitur: talis eſt ꝓ-
portio inter b. et c. qualis eſt inter d. et e. / quod fuit
probandum. Et ſic patet correlariuꝫ. 224. correĺ. ¶ Sequitur
quarto / conſtituta naturali ſerie proportionuꝫ
multipliciū: et conſtituta etiam naturali ſerie pro
portionum ſuperparticularium: ſecunda ſpecies
proportionis multiplicis excedit primam ſpecieꝫ
per primam ſpeciem proportionis ſuperparticu-
laris puta per ſexquialterã: et tertia ſpecies mul-
tiplicis excedit ſecundã: per ſecundam ſpeciem ꝓ-
portionis ſuperparticularis: et quarta multipli-
cis excedit tertiam: per tertiaꝫ ſuperparticularis /
et ſic in infinitum. Probatur / quia captis primis
duabus ſpeciebus ꝓportionis multiplicis puta
dupla et tripla ille denominantur a. numero bina
rio et ternario / vt conſtat: et tripla excedit duplam
per proportioneꝫ que eſt inter illos numeros ter-
narium videlicet et binarium / vt patet in concluſi-
one: et inter illos eſt prima ſpecies proportionis
ſuperparticularis / vt patet ex ſecundo capite pri-
me partis vbi generantur infinite ſpecies propor
tionis ſuperparticularis ſereatim in naturali ſe
rie numerorum igitur. Item captis tripla et qua-
drupla multiplicibus ille excedunt ſe: per propor
tionem que eſt .4. ad .3. / vt patet ex concluſiõe: et in-
ter illos numeros eſt ſecunda ſpecies proportio-
nis ſuperparticularis / puta ſexquitertia / vt patet
ex loco preallegato: igit̄̄ correlariū verum quoniã
eodem modo probabis de aliis. 335. correĺ. ¶ Sequitur quin
to / per tot proportiones ſuperparticulares cõ-
ſequenter / et ſereatim aſſumptas excedit quelibet
ſpecies multiplicis proportiõis diſtans a. prima
primã ſpeciem multiplicis: per quot vnitates nu-
merus a quo denominatur illa ſpecies diſtat a
numero a quo denomīatur prima ſpecies propor
tionis multiplicis puta dupla. Et ſic etiam dicen-
dum eſt de qualibet alia ſpecie mĺtiplici a qua di-
ſtat per aliquot ſpecies vt proportio quintupla
excedit proportionē duplam per tres ſpecies pro
portionis ſuperparticulares ſereatim ſumptas
videlicet per proportionem ſexquialteram que eſt
3. ad .2. et ſexquitertiam que eſt .4. ad .3. et ſexqui-
quartam que eſt .5. ad .4. Patet hoc correlarium
facile ex anteriori. 446. correĺ. ¶ Sequitur ſexto / vniuerſa-
lis ſeries proportionum ſuperparticularium in-
finitam latitudinē proportionis conſtituit. Pro-
batur / quia conſtituit infinite magnam proporti-
onem multiplicem cum proportione dupla: igitur
talis ſeries in infinitum magna latitudo eſt pro-
portionis. Item talis ſeries proportionum ſuper
particularium eſt naturalis ſeries numerorum in
cipiendo a binario: ſed in infinitum magna pro-
portio eſt alicuius numeri a binarium: igitur infi-
nitum magna latitudo proportionis eſt natura-
lis ſeries proportionum ſuperparticularium. Et
hoc nota ad capitulum de augmentatione.
Capitulum quintum / in quo reci-
tatur paucis et impugnatur opinio
baſani politi de proportione ſiue
cõmenſurabilitate proportionum.
tatur paucis et impugnatur opinio
baſani politi de proportione ſiue
cõmenſurabilitate proportionum.
COnſueuerunt veteres ſi-
gnanter paripathetici philoſophan-
tes amputare at reſecare contrari-
as opinationes: et deinde veras interſerere. Ideo
baſani politi opinionem in materia proportio-
nalitatum ceteris mathematicis aduerſam pre-
ſenti duximus expugnandam.
gnanter paripathetici philoſophan-
tes amputare at reſecare contrari-
as opinationes: et deinde veras interſerere. Ideo
baſani politi opinionem in materia proportio-
nalitatum ceteris mathematicis aduerſam pre-
ſenti duximus expugnandam.
Sit igit̄̄ capitalis ſuppoſitio.
Quod
libet habens ſubduplum eſt duplum ad ſuam me-
dietatem et ſi ipſum eſt duplum ipſum continet ſu
am medietatem bis adequate. Hec petitio nec
iuuat eam demonſtrare.
libet habens ſubduplum eſt duplum ad ſuam me-
dietatem et ſi ipſum eſt duplum ipſum continet ſu
am medietatem bis adequate. Hec petitio nec
iuuat eam demonſtrare.
Secunda ſuppoſitio ſiue petitio.
Omne duplum ad aliquod continet ipſum vel e-
quale ei bis tantum: et ſi contineat ipſum pluſquã
bis eſt pluſquam duplum ad illud.
Omne duplum ad aliquod continet ipſum vel e-
quale ei bis tantum: et ſi contineat ipſum pluſquã
bis eſt pluſquam duplum ad illud.
Tertia ſuppoſitio.
Si aliquid effici-
tur in duplo minus ipſum perdit adequate medi-
etatem ſui.
tur in duplo minus ipſum perdit adequate medi-
etatem ſui.