12 nitū magnꝰ erit exceſſus quo quantitas maior ex
cedet minorē. igitur in infinitū magna erit ꝓpor-
tio quãtitatis maior ad minorē: et per cõſequens
illarū infinitarū proportionū in infinitū magna
erit aliqua: quod fuit probandū. Et ſic patet con-
cluſio. ¶ Simile correlariū: correlario ṗme cõclu-
ſiõis: hic poteris inferre de gñatione huiuſmodi
proportionū irrationaliū. ¶ Plures adieciſſem
cõcluſiones et correlaria: niſi obſtaret hanc mate
riã ex ſecunda parte in vniuerſum dependere. Nec
mirari oportet: ſi plurimū in his duobus capitibꝰ
cõtra morē et ordinē mathematicū: ſequētibꝰ vſus
fuerim. Non em̄ potuit hec materia alio mõ īduci
cedet minorē. igitur in infinitū magna erit ꝓpor-
tio quãtitatis maior ad minorē: et per cõſequens
illarū infinitarū proportionū in infinitū magna
erit aliqua: quod fuit probandū. Et ſic patet con-
cluſio. ¶ Simile correlariū: correlario ṗme cõclu-
ſiõis: hic poteris inferre de gñatione huiuſmodi
proportionū irrationaliū. ¶ Plures adieciſſem
cõcluſiones et correlaria: niſi obſtaret hanc mate
riã ex ſecunda parte in vniuerſum dependere. Nec
mirari oportet: ſi plurimū in his duobus capitibꝰ
cõtra morē et ordinē mathematicū: ſequētibꝰ vſus
fuerim. Non em̄ potuit hec materia alio mõ īduci
Capitulū quintū / in quo agit̄̄ de diuiſione
corporis in partes proportionales qua pro
portione rationali quis voluerit.
corporis in partes proportionales qua pro
portione rationali quis voluerit.
QUoniam plerū in materia
triplicis motus occurūt pleri caſus:
in quibus oportet vti multiplici ſpecie
diuiſionis corporis in partes ſuas proportiona
les variis et diuerſis ꝓportionibus rationalibus
ideo ad vniuerſalē methodū inueniendam ſit.
triplicis motus occurūt pleri caſus:
in quibus oportet vti multiplici ſpecie
diuiſionis corporis in partes ſuas proportiona
les variis et diuerſis ꝓportionibus rationalibus
ideo ad vniuerſalē methodū inueniendam ſit.
Prīa ſuppõ.
Nõ oēs ꝑtes alicuiꝰ cor
poris ī q̈s idē corpꝰ diuidit̄̄ ↄ̨tinuo ſe hñtes ī eadē
ꝓportiõe: gr̄a exēpli a. ſūt oēs ꝑtes ꝓportionales
eiuſdē corꝑis eadē ꝓportiõe a. Probat̄̄ / q2 poſſibi
le eſt / vna medietas alicuiꝰ corꝑis diuidat̄̄ in oēs
partes ſuas ꝓportione tripla: et omēs ille partes
ſunt partes illiꝰ corporis totalis. in q̈s idē corpꝰ
diuidit̄̄ hñtes ſe cõtinuo in ꝓportiõe tripla: 2. et tñ
nõ ſunt oēs partes ꝓportionales illius corporis
proportione tripla. Et capio in ſuppoſitiõe ly oēs
collectiue in primo loco et in ſecundo.
poris ī q̈s idē corpꝰ diuidit̄̄ ↄ̨tinuo ſe hñtes ī eadē
ꝓportiõe: gr̄a exēpli a. ſūt oēs ꝑtes ꝓportionales
eiuſdē corꝑis eadē ꝓportiõe a. Probat̄̄ / q2 poſſibi
le eſt / vna medietas alicuiꝰ corꝑis diuidat̄̄ in oēs
partes ſuas ꝓportione tripla: et omēs ille partes
ſunt partes illiꝰ corporis totalis. in q̈s idē corpꝰ
diuidit̄̄ hñtes ſe cõtinuo in ꝓportiõe tripla: 2. et tñ
nõ ſunt oēs partes ꝓportionales illius corporis
proportione tripla. Et capio in ſuppoſitiõe ly oēs
collectiue in primo loco et in ſecundo.
Secūda ſuppoſitio.
Oēs partes ali
cuius corporis innuite continue ſe habētes aliq̈
ꝓportione: puta a. et abſoluentes totū corpꝰ: ſunt
oēs partes ꝓportionales eiuſdē corporis propor
tione a. Et volo dicere / ſi aliquod corpꝰ diuidat̄̄
in infinitas partes continuo ſe habentes in ꝓpor
tione a. et abſoluētes totū corpus: ille ſimul ſunt
oēs partes proportionales proportione a. Patꝫ
hec ſuppoſitio: q2 ſic diuidere corpus eſt diuidere
ipſū in oēs partes ꝓportionales proportione a.
Patet hoc ex deſcriptione termini.
cuius corporis innuite continue ſe habētes aliq̈
ꝓportione: puta a. et abſoluentes totū corpꝰ: ſunt
oēs partes ꝓportionales eiuſdē corporis propor
tione a. Et volo dicere / ſi aliquod corpꝰ diuidat̄̄
in infinitas partes continuo ſe habentes in ꝓpor
tione a. et abſoluētes totū corpus: ille ſimul ſunt
oēs partes proportionales proportione a. Patꝫ
hec ſuppoſitio: q2 ſic diuidere corpus eſt diuidere
ipſū in oēs partes ꝓportionales proportione a.
Patet hoc ex deſcriptione termini.
Tertia ſuppoſitio.
Quãdocun ali
qua cõtinuo ꝓportionãtur aliqua ꝓportione geo
metrica: qualis eſt ꝓportio inter proportionata:
talis eſt inter ſuas differētias ſiue exceſſeus: quod
idem eſt: vt q2 .3. ad .4. ſe habet in ꝓportiõe dupla
et ſimiliter .4. ad 2. / et cõtinuo proportionant̄̄ eadē
proportione: ideo differentia ſiue exceſſus inter .8
et .4. ſe habet ad differãtiã ſiue exceſſum inter .4. et
2. in proportiõe dupla. Patet hec ſuppoſitio ex
quīta proprietate proportionalitatis ſiue medie
tatis geometrice ex ſecūda parte capitulo ſecūdo
qua cõtinuo ꝓportionãtur aliqua ꝓportione geo
metrica: qualis eſt ꝓportio inter proportionata:
talis eſt inter ſuas differētias ſiue exceſſeus: quod
idem eſt: vt q2 .3. ad .4. ſe habet in ꝓportiõe dupla
et ſimiliter .4. ad 2. / et cõtinuo proportionant̄̄ eadē
proportione: ideo differentia ſiue exceſſus inter .8
et .4. ſe habet ad differãtiã ſiue exceſſum inter .4. et
2. in proportiõe dupla. Patet hec ſuppoſitio ex
quīta proprietate proportionalitatis ſiue medie
tatis geometrice ex ſecūda parte capitulo ſecūdo
Quarta ſuppoſitio.
Si aliquod cor
pus diuidatur in infinitas partes: et deperdendo
primã illarū perdit aliquã ꝓportionē puta a. / hoc
eſt efficitur in a. ꝓportione minꝰ: et ꝑdendo ſcḋam
poſt primã iterum efficitur in a. minus: et ꝑdendo
tertiam poſt ſecūdã iterum efficitur in a. minus. et
ſic conſequenter ille partes ſunt oēs partes ꝓpor
tionales illius corporis ꝓportione a. / ſi vero ꝑden
do primã illarū non perdit vnam proportionē a. /
et ꝑdendo ſecundã poſt primã: vnã alteram, ꝑden-
do tertiã poſt ſecundã vnã alteram ꝓportionē a. /
et ſic cõſequenter: tales partes nõ ſunt oēs partes
ꝓportionales talis corporis ꝓportione a. Pro-
batur prima pars / q2 ſi nõ: detur oppoſitū: videli
cet / aliquod corpus diuiditur in aliquas partes
iufinitas: et ꝑdēdo primã illarum ꝑdit ꝓportionē
a. etc̈. et tamen nõ ſunt ille oēs partes ꝓportiona-
les illius corporis ꝓportiõe a. et ſic tale corpus b. /
et arguitur ſic / b. eſt diuiſum in infinitas partes: et
ꝑdendo primã illarū in prima parte ꝓportionali
hore exempli gratia: in fine illius partis eſt in a.
ꝓportiõe minꝰ: et ꝑdendo ſecundã partē in ſecūda
parte ꝓportionali tēporis: iterum efficitur in fine
eiuſdem partis in a. proportione minꝰ quaꝫ erat
in principio eiuſdē partis: et in tertia parte ꝓpor
tionali ꝑdēdo terntiã ip̄m efficitur minꝰ / quã erat
in principio eiuſdē ꝑtis in a. ꝓportione: et ſic con
ſequēter. igitur in partibus ꝓportionabilibꝰ illiꝰ
hore ſunt infinita corpora cõtinuo ſe habentia in
ꝓportione a. Patet / q2 corpus qḋ eſt in principio
p̄me partis ꝓportionalis: ſe habet in ꝓportione
a. ad illud quod eſt in prīcipio ſecunde et illud qḋ
eſt in p̄ncipio ſecunde ſe habet in ꝓportione a. ad
illud quod eſt in principio tertie: et ſic cõſequēter /
igitur illa infinta corpora continuo ſe habet in
ꝓportiõe a. / et ex cõſequēti ſequit̄̄ / exceſſus inter
illa corpora cõtinuo ſe habēt in ꝓportiõe a. / puta
exceſſus quo corpus in p̄ncipio ṗme partis ꝓpor
tionalis excedit corpus in p̄ncipio ſecunde: ſe ha
bet in ꝓportione a. / ad exceſſum quo corpus in p̄n
cipio ſecūde excedit corpus in p̄ncipio tertie: et ſic
cõſequēter. Patet hec cõſequētia ex p̄cedenti ſup
poſitione: et illi exceſſus ſunt ille partes que deper
dūtur in partibus ꝓportionalibus tēporis: ergo
ille ꝑtes que deꝑduntur in illis partibus propor-
tionalibus tēporis ſe habent cõtinuo in ꝓportõe
a. Conſequētia patet: et ꝓbatur antecedens: quia
corpus in principio p̄me partis ꝓportionalis tē-
poris: exedit corpus in principio ſecunde ꝑ illud
quod deꝑdit in ip̄a p̄ma parte ꝓportionali tēpo-
ris: et illud eſt p̄ma illarum partiū in quas diuidi
tur corpus ex caſu: igitur aſſumptum verum Qm̄
ſic ꝓbabis de quocū alio exceſſu. et vltra ille par
tes in quas diuiditur illud corpus b. ſunt infinite
cõtinuo ſe habentes in ꝓportione a. / et abſoluūt to
tum corpus: igitur ille ſunt oēs partes ꝓportiona
les illius corporis ꝓportione a. / quod fuit negatū
Patet hec conſequentia ex ſecunda ſuppoſitione.
Quod vero ille partes abſoluant totum corpus
patet / quia per deperditionem illarū perditur to
tum corpus ad nõ quantum: cum deperdat infini
tam latitudinem proportionis: vt conſtat: igitur.
Secūda pars patet facile / quia bene ſequitur de-
perdendo illas partes continuo: tale corpus non
continuo efficitur minus in proportione a. / ergo
ſequitur / non ſunt ibi in tali diminutione infini
ta corpora continuo ſe habentia in proportione
a. modo ſuperius expoſito: ergo ſequitur / exceſ
ſus illorum corporum non continuo ſe habent in
proportione a. Patet conſequentia ex tertia ſup
poſitione: et illi exceſſus ſunt partes in quas diui
debatur ipſum corpus b. / igitur ipſe non ſunt par
tes proportionales corporis b. proportione a. / et
per conſequens de primo ad vltimum ſequitur il
la ſecunda pars ſuppoſitionis.
pus diuidatur in infinitas partes: et deperdendo
primã illarū perdit aliquã ꝓportionē puta a. / hoc
eſt efficitur in a. ꝓportione minꝰ: et ꝑdendo ſcḋam
poſt primã iterum efficitur in a. minus: et ꝑdendo
tertiam poſt ſecūdã iterum efficitur in a. minus. et
ſic conſequenter ille partes ſunt oēs partes ꝓpor
tionales illius corporis ꝓportione a. / ſi vero ꝑden
do primã illarū non perdit vnam proportionē a. /
et ꝑdendo ſecundã poſt primã: vnã alteram, ꝑden-
do tertiã poſt ſecundã vnã alteram ꝓportionē a. /
et ſic cõſequenter: tales partes nõ ſunt oēs partes
ꝓportionales talis corporis ꝓportione a. Pro-
batur prima pars / q2 ſi nõ: detur oppoſitū: videli
cet / aliquod corpus diuiditur in aliquas partes
iufinitas: et ꝑdēdo primã illarum ꝑdit ꝓportionē
a. etc̈. et tamen nõ ſunt ille oēs partes ꝓportiona-
les illius corporis ꝓportiõe a. et ſic tale corpus b. /
et arguitur ſic / b. eſt diuiſum in infinitas partes: et
ꝑdendo primã illarū in prima parte ꝓportionali
hore exempli gratia: in fine illius partis eſt in a.
ꝓportiõe minꝰ: et ꝑdendo ſecundã partē in ſecūda
parte ꝓportionali tēporis: iterum efficitur in fine
eiuſdem partis in a. proportione minꝰ quaꝫ erat
in principio eiuſdē partis: et in tertia parte ꝓpor
tionali ꝑdēdo terntiã ip̄m efficitur minꝰ / quã erat
in principio eiuſdē ꝑtis in a. ꝓportione: et ſic con
ſequēter. igitur in partibus ꝓportionabilibꝰ illiꝰ
hore ſunt infinita corpora cõtinuo ſe habentia in
ꝓportione a. Patet / q2 corpus qḋ eſt in principio
p̄me partis ꝓportionalis: ſe habet in ꝓportione
a. ad illud quod eſt in prīcipio ſecunde et illud qḋ
eſt in p̄ncipio ſecunde ſe habet in ꝓportione a. ad
illud quod eſt in principio tertie: et ſic cõſequēter /
igitur illa infinta corpora continuo ſe habet in
ꝓportiõe a. / et ex cõſequēti ſequit̄̄ / exceſſus inter
illa corpora cõtinuo ſe habēt in ꝓportiõe a. / puta
exceſſus quo corpus in p̄ncipio ṗme partis ꝓpor
tionalis excedit corpus in p̄ncipio ſecunde: ſe ha
bet in ꝓportione a. / ad exceſſum quo corpus in p̄n
cipio ſecūde excedit corpus in p̄ncipio tertie: et ſic
cõſequēter. Patet hec cõſequētia ex p̄cedenti ſup
poſitione: et illi exceſſus ſunt ille partes que deper
dūtur in partibus ꝓportionalibus tēporis: ergo
ille ꝑtes que deꝑduntur in illis partibus propor-
tionalibus tēporis ſe habent cõtinuo in ꝓportõe
a. Conſequētia patet: et ꝓbatur antecedens: quia
corpus in principio p̄me partis ꝓportionalis tē-
poris: exedit corpus in principio ſecunde ꝑ illud
quod deꝑdit in ip̄a p̄ma parte ꝓportionali tēpo-
ris: et illud eſt p̄ma illarum partiū in quas diuidi
tur corpus ex caſu: igitur aſſumptum verum Qm̄
ſic ꝓbabis de quocū alio exceſſu. et vltra ille par
tes in quas diuiditur illud corpus b. ſunt infinite
cõtinuo ſe habentes in ꝓportione a. / et abſoluūt to
tum corpus: igitur ille ſunt oēs partes ꝓportiona
les illius corporis ꝓportione a. / quod fuit negatū
Patet hec conſequentia ex ſecunda ſuppoſitione.
Quod vero ille partes abſoluant totum corpus
patet / quia per deperditionem illarū perditur to
tum corpus ad nõ quantum: cum deperdat infini
tam latitudinem proportionis: vt conſtat: igitur.
Secūda pars patet facile / quia bene ſequitur de-
perdendo illas partes continuo: tale corpus non
continuo efficitur minus in proportione a. / ergo
ſequitur / non ſunt ibi in tali diminutione infini
ta corpora continuo ſe habentia in proportione
a. modo ſuperius expoſito: ergo ſequitur / exceſ
ſus illorum corporum non continuo ſe habent in
proportione a. Patet conſequentia ex tertia ſup
poſitione: et illi exceſſus ſunt partes in quas diui
debatur ipſum corpus b. / igitur ipſe non ſunt par
tes proportionales corporis b. proportione a. / et
per conſequens de primo ad vltimum ſequitur il
la ſecunda pars ſuppoſitionis.