22 tertio adiecimus merito perfectiſſimam vocitari
Cuiꝰ probatio eſt / qm̄ in dicta medietate tres fa-
mate ꝓportionalitates reperiuntur arithmetica
geometrica, et harmonica. In iſta etiã medietate
oēs ſimplices harmonice cõſonantie reperiuntur
11tertium.
correlari
um. ¶ Ex his omnibus demū infero oēm ſcientiã aliã
oēm artem: philoſophie inſeruire. ei ancillari
at famulari. vt facile ex his que dicta ſunt ꝑſpi
ci poteſt: et ſignanter inſeruirent iſta philoſophie.
22 pythago
ras.
phūs
plinius. Pythagore qui aſtruxit celos corpora illa ſempi
terna perpetuo harmonicis cõſonantiis circūuo-
lui teſte philoſopho ſecūdo celi et mundi: et plinio
ſecundo naturalis hiſtorie.
Cuiꝰ probatio eſt / qm̄ in dicta medietate tres fa-
mate ꝓportionalitates reperiuntur arithmetica
geometrica, et harmonica. In iſta etiã medietate
oēs ſimplices harmonice cõſonantie reperiuntur
11tertium.
correlari
um. ¶ Ex his omnibus demū infero oēm ſcientiã aliã
oēm artem: philoſophie inſeruire. ei ancillari
at famulari. vt facile ex his que dicta ſunt ꝑſpi
ci poteſt: et ſignanter inſeruirent iſta philoſophie.
22 pythago
ras.
phūs
plinius. Pythagore qui aſtruxit celos corpora illa ſempi
terna perpetuo harmonicis cõſonantiis circūuo-
lui teſte philoſopho ſecūdo celi et mundi: et plinio
ſecundo naturalis hiſtorie.
Capitulum ſecundum / in quo ꝓbantur
alique proprietates predictarum ꝓpor-
tionalitatem ſiue medietatum.
alique proprietates predictarum ꝓpor-
tionalitatem ſiue medietatum.
AD inducendas mathemathi
co ordine aliquas ꝓprietates predicta
rum medietatum: ponende ſunt alique
ſuppoſitiones: quarū alique erunt diffinitiones:
et alique petentur ꝓpter earuꝫ euidentē noticiam:
alique vero probabuntur ſit igitur.
co ordine aliquas ꝓprietates predicta
rum medietatum: ponende ſunt alique
ſuppoſitiones: quarū alique erunt diffinitiones:
et alique petentur ꝓpter earuꝫ euidentē noticiam:
alique vero probabuntur ſit igitur.
Prima ſuppoſitio / que et difinitio.
Medium eſt quod equali inter capidine diſtat ab
vtro extemorum. vt numerus ternarius eſt medi
um inter quaternarium et binarium. quia equali
exceſſu ſiue equali differentia ab vtro illoruꝫ di
ſtat: puta vnitate.
Medium eſt quod equali inter capidine diſtat ab
vtro extemorum. vt numerus ternarius eſt medi
um inter quaternarium et binarium. quia equali
exceſſu ſiue equali differentia ab vtro illoruꝫ di
ſtat: puta vnitate.
Secunda ſuppoſitio / que et difinitio
Partes aliquote eiuſdem denominationis ſunt
ille q̄ ab eodē numero denominãtur vt medietates
a binario: tertie. a ternario. q̈rte a q̈ternario .etc̈.
Partes aliquote eiuſdem denominationis ſunt
ille q̄ ab eodē numero denominãtur vt medietates
a binario: tertie. a ternario. q̈rte a q̈ternario .etc̈.
Tertia ſuppoſitio / que etiam difini-
tio eſt Aliquã quãtitatē continere aliquod equa-
le in aliqua ꝓportione pluries adequate quã alia
quantitas idem equale contineat: eſt illam quãti
tatem in eadem ꝓportione ſe habere ad alteram
vt ſi aliqua quantitas contineat in ꝓportione ſex
quialtera adequate plura pedalia quã vna altera
minor talis quantitas ſe habet ad minorem in ꝓ-
portione ſexquialtera.
tio eſt Aliquã quãtitatē continere aliquod equa-
le in aliqua ꝓportione pluries adequate quã alia
quantitas idem equale contineat: eſt illam quãti
tatem in eadem ꝓportione ſe habere ad alteram
vt ſi aliqua quantitas contineat in ꝓportione ſex
quialtera adequate plura pedalia quã vna altera
minor talis quantitas ſe habet ad minorem in ꝓ-
portione ſexquialtera.
Quarta ſuppoſitio
Si aliqua quan
titas vel numerus contineat tota vice ſecūdum nu
merum: quota vice tertius numerus cõtinet quar
tum vel tota vice et aliquã vel aliquot partes ali-
quotas eiuſdem denominationis quota tertiꝰ cõ
tinet quartum et aliquam partem vel aliquot par
tes aliquotas eius adequate: qualis ē proportio
inter primū et ſecundum talis eſt inter tertiū et q̈r
tum. Patet hec ſuppoſitio ex diffinitione nume-
rorum habentium ad reliquos eandeꝫ proportio-
nem. Sic eī tales numeri debent definiri vt cõſtat.
titas vel numerus contineat tota vice ſecūdum nu
merum: quota vice tertius numerus cõtinet quar
tum vel tota vice et aliquã vel aliquot partes ali-
quotas eiuſdem denominationis quota tertiꝰ cõ
tinet quartum et aliquam partem vel aliquot par
tes aliquotas eius adequate: qualis ē proportio
inter primū et ſecundum talis eſt inter tertiū et q̈r
tum. Patet hec ſuppoſitio ex diffinitione nume-
rorum habentium ad reliquos eandeꝫ proportio-
nem. Sic eī tales numeri debent definiri vt cõſtat.
Quinta ſuppoſitio
Si duo numeri
vel quantitates diuidantur in partes aliquotas
eiuſdem denominationis: quot partes illiꝰ deno
minationis ſunt in vno tot ſunt in altero. Patet /
quia ſi ſunt eiuſdem denominationis: ab eodē nu-
mero denominantur: vt patet ex ſecunda ſuppoſi
tione / et per conſequēs ſunt equales numero. Tūc
enim alique partes aliquote alicuius quantitatis
denominantur ab aliquo numero: quando talis
quãtitas diuiditur in tot partes equales quot ſūt
vnitates in tali numero:
vel quantitates diuidantur in partes aliquotas
eiuſdem denominationis: quot partes illiꝰ deno
minationis ſunt in vno tot ſunt in altero. Patet /
quia ſi ſunt eiuſdem denominationis: ab eodē nu-
mero denominantur: vt patet ex ſecunda ſuppoſi
tione / et per conſequēs ſunt equales numero. Tūc
enim alique partes aliquote alicuius quantitatis
denominantur ab aliquo numero: quando talis
quãtitas diuiditur in tot partes equales quot ſūt
vnitates in tali numero:
Sexta ſuppoſitio
Si duo numeri
vel quantitates diuidantur in partes aliquotas
eiuſdem denominationis: et perdit aliquam vel
aliquod partes aliquotas ex illa vter illorū re-
manentibus aliquibus: reſidue erunt eiuſdē deno
minationis. vt ſi bipedale diuidatur in .5. quin-
tas et pedale ſimiliter: et perdit bipedale duas q̇n
tas ex eis: et pedale ſimiliter: reſidue partes erunt
eiuſdē denominatiõis: puta tertie: vt patet Pro
batur / quia in principio decremēti ille partes ali-
quote illarum quantitatum ſunt equales numero
et equales numero deperdentur ab vtra illaruꝫ
quantitatum / vt ponitur remanentibus aliquibus
ex illis: ergo remantes manebunt equales nu-
mero. Patet conſequentia / q2 ſi ab equalibus nu-
meris equales demas .etc̈. / et ꝑ conſequens ſemper
denominabuntur ab equali numero: quare ſemꝑ
erunt eiuſdem denominationis / vt patet ex diffini
tione.
vel quantitates diuidantur in partes aliquotas
eiuſdem denominationis: et perdit aliquam vel
aliquod partes aliquotas ex illa vter illorū re-
manentibus aliquibus: reſidue erunt eiuſdē deno
minationis. vt ſi bipedale diuidatur in .5. quin-
tas et pedale ſimiliter: et perdit bipedale duas q̇n
tas ex eis: et pedale ſimiliter: reſidue partes erunt
eiuſdē denominatiõis: puta tertie: vt patet Pro
batur / quia in principio decremēti ille partes ali-
quote illarum quantitatum ſunt equales numero
et equales numero deperdentur ab vtra illaruꝫ
quantitatum / vt ponitur remanentibus aliquibus
ex illis: ergo remantes manebunt equales nu-
mero. Patet conſequentia / q2 ſi ab equalibus nu-
meris equales demas .etc̈. / et ꝑ conſequens ſemper
denominabuntur ab equali numero: quare ſemꝑ
erunt eiuſdem denominationis / vt patet ex diffini
tione.
Septima ſuppoſitio
Qualis eſt pro
portio alicuius ad aliquam eius partem aliquo-
tam: talis eſt cuiuſlibet alteriꝰ ad partē aliquotã
eius conſiĺis denominationis. vt qualis eſt ꝓpor
tio alicuius quãtitatis ad ſuã medietatē tertiam
quartam .etc̈. talis eſt cuiuſlibet alterius ad ſuã me
dietatem tertiã quartã .etc̈. Patet hec ex q̈rta ſup
poſitõe / hoc adito / q̊ties aliq̈ quãtitas ↄ̨tinet ali
quam ſui partem aliquotaꝫ: toties quelibet alia
quantitas continet partem ſui aliquotam cõſimi
lis denominationis: cum ſemper partes aliquote
eiuſdem denominationis ſint equales numero / vt
patet ex quinta ſuppoſitione:
portio alicuius ad aliquam eius partem aliquo-
tam: talis eſt cuiuſlibet alteriꝰ ad partē aliquotã
eius conſiĺis denominationis. vt qualis eſt ꝓpor
tio alicuius quãtitatis ad ſuã medietatē tertiam
quartam .etc̈. talis eſt cuiuſlibet alterius ad ſuã me
dietatem tertiã quartã .etc̈. Patet hec ex q̈rta ſup
poſitõe / hoc adito / q̊ties aliq̈ quãtitas ↄ̨tinet ali
quam ſui partem aliquotaꝫ: toties quelibet alia
quantitas continet partem ſui aliquotam cõſimi
lis denominationis: cum ſemper partes aliquote
eiuſdem denominationis ſint equales numero / vt
patet ex quinta ſuppoſitione:
Octaua ſuppoſitio
Si aliqui duo nu
meri ſiue quantitates diuidantur in duas partes
equales: cuiuſlibet illorum numerorum ad alterã
illarum ſuarum partium eſt eadem ꝓportio. Et ſi
vter duorum numerorum diuidatur in plures ꝑ
tes aliquotas eiuſdem denominationis quaꝫ ſint
due: talis eſt ꝓportio vnius illorum numerorū ad
aggregatū ex omnibus talibus partibus aliquo
tis dempta vna: qualis eſt alterius ad aggrega-
tum ex omnibus dempta ſimiliter vna. / vt diuiſo
ſenario in tres partes aliquotas: et ſimiliter ter
nario: talis eſt ꝓportio ipſius ſenarii ad aggre-
gatum ex duabus tertiis eius qualis ē ternarii ad
aggregatum ex duabus tertiis eius. vt conſtat.
meri ſiue quantitates diuidantur in duas partes
equales: cuiuſlibet illorum numerorum ad alterã
illarum ſuarum partium eſt eadem ꝓportio. Et ſi
vter duorum numerorum diuidatur in plures ꝑ
tes aliquotas eiuſdem denominationis quaꝫ ſint
due: talis eſt ꝓportio vnius illorum numerorū ad
aggregatū ex omnibus talibus partibus aliquo
tis dempta vna: qualis eſt alterius ad aggrega-
tum ex omnibus dempta ſimiliter vna. / vt diuiſo
ſenario in tres partes aliquotas: et ſimiliter ter
nario: talis eſt ꝓportio ipſius ſenarii ad aggre-
gatum ex duabus tertiis eius qualis ē ternarii ad
aggregatum ex duabus tertiis eius. vt conſtat.
Probatur ſuppoſitio.
ſint duo numeri ſiue equa
les ſiue inequales. primus .a.b. ſecundus .c.d. diui
ſi in partes aliquotas eiuſdem denominationis
et ſit primi numeri vna illarum partium .a. et reſi
due .b. ſecundi vero numeri ſit conſimilis pars ali
quota .c. et reſidue partes eiuſdem numeri .d. / et di
co / talis ē proportio a.b. ad .b. qualis eſt .c.d. ad
d. Quod probatur ſic / quia quota vice .a.b. conti-
net .b. et aliquam partem aliquotam ipſius .b. to-
ta vice .c.d. continet .d. quia ſemel / vt conſtat et vnã
partem eius aliquotam euſdem denominationis
cum parte aliquota ipſius .b. quam coutinet .a.b /
igitur qualis eſt proportio .a.b. ad b. talis eſt pro
portio .c.d. ad .d. / quod fuit probãdū Patet hec cõ
ſequentia clare ex quarta ſuppoſitione. autem .c.
ſit pars aliquota ipſius .d. eiuſdem denominatio
nis cuius .a. eſt pars aliquota ipſius .b. / probatur /
quia ſi .a.b. numerus perdat .a. et .c.d. ꝑdat .c. / tunc
reſidue partes manebunt partes eiuſdem denomi
les ſiue inequales. primus .a.b. ſecundus .c.d. diui
ſi in partes aliquotas eiuſdem denominationis
et ſit primi numeri vna illarum partium .a. et reſi
due .b. ſecundi vero numeri ſit conſimilis pars ali
quota .c. et reſidue partes eiuſdem numeri .d. / et di
co / talis ē proportio a.b. ad .b. qualis eſt .c.d. ad
d. Quod probatur ſic / quia quota vice .a.b. conti-
net .b. et aliquam partem aliquotam ipſius .b. to-
ta vice .c.d. continet .d. quia ſemel / vt conſtat et vnã
partem eius aliquotam euſdem denominationis
cum parte aliquota ipſius .b. quam coutinet .a.b /
igitur qualis eſt proportio .a.b. ad b. talis eſt pro
portio .c.d. ad .d. / quod fuit probãdū Patet hec cõ
ſequentia clare ex quarta ſuppoſitione. autem .c.
ſit pars aliquota ipſius .d. eiuſdem denominatio
nis cuius .a. eſt pars aliquota ipſius .b. / probatur /
quia ſi .a.b. numerus perdat .a. et .c.d. ꝑdat .c. / tunc
reſidue partes manebunt partes eiuſdem denomi