31 dratus: inter tales numeros reperitur medium ꝓ
portionabile ꝓportione rationali ita primi ad
ipſum ſit ea proportio rationalis que eſt ipſiꝰ ad
tertium. et illius numeri quadrati tale medium eſt
vnum latus. Probatur prima pars huius corre-
larii / quia illa pars eſt vna cõditionalis ex cuiꝰ op
poſito conſequentis / ſequitur oppoſitum antece-
dentis: vt patet ex ſecundo correlario: igitur illa
pars vera. Secunda probatur ex correlario īme-
diate precendenti. ¶ Sequitur quīto / inter ṗmos
numeros ꝓportionis duple: triple: octuple: ſexq̇-
altere etc̈. non inuenitur medium ꝓportionabile ꝓ
portione rationali Probatur primo de dupla / q̄
eſt inter iſtos terminos .4.2. quoniam numerus q̇
fit ex ductu vnius extremi in alterum puta .4. in .2.
non eſt quadratus / igitur inter illa extrema non ī
uenitur medium ꝓportionabile proportione ra-
tionali Añs patet intelligenti diffinitionem nu-
meri quadrati. et conſequentia patet ex ſecundo
correlario. Et eodē modo ꝓbabis reliquas ꝑtes.
¶ Et ex hoc habes pulchrū documentuꝫ ab cogno
ſcendū quãdo aliqua ꝓportio īeq̈litatꝪ habet ſub
duplam proportionem ad eam rationalem. Quã
do enim numerus reſultans ex ductu vnius extre-
mi in alterum non eſt quadratus / tunc talis ꝓpor
tio non habet ꝓportionem rationalem ſubduplã
ad illam cum non habeat medium ꝓportionabile
ꝓportione rationali. et ſic tale medium inter ter-
minos illius ꝓportionis non ſe habet vt numerꝰ
reſpectu alicuius extremi illius ꝓportionis. Si eī
ſe haberet vt numerus: maioris extremi ad ipſum
eſſet aliqua ꝓportio rationalis: et ipſius ad mini
mum extremum eſſet eadem ꝓportio rationalis: et
ſic iam ibi eſſent tres numeri continuo ꝓportiona
biles in hac medietate geometrica: et ſic numerus
qui fit ex ductu extremi in extremū eſſet quadratꝰ /
vt patet ex primo correlario / quod eſt oppoſitū da
ti. 11irrõnaliſ
ꝓportio
alio mõ
ponenda
oñditur. Et ex hoc facile elicitur ꝓportionem irrationa-
lem neceſſario ponendã eſſe: quod nota.
portionabile ꝓportione rationali ita primi ad
ipſum ſit ea proportio rationalis que eſt ipſiꝰ ad
tertium. et illius numeri quadrati tale medium eſt
vnum latus. Probatur prima pars huius corre-
larii / quia illa pars eſt vna cõditionalis ex cuiꝰ op
poſito conſequentis / ſequitur oppoſitum antece-
dentis: vt patet ex ſecundo correlario: igitur illa
pars vera. Secunda probatur ex correlario īme-
diate precendenti. ¶ Sequitur quīto / inter ṗmos
numeros ꝓportionis duple: triple: octuple: ſexq̇-
altere etc̈. non inuenitur medium ꝓportionabile ꝓ
portione rationali Probatur primo de dupla / q̄
eſt inter iſtos terminos .4.2. quoniam numerus q̇
fit ex ductu vnius extremi in alterum puta .4. in .2.
non eſt quadratus / igitur inter illa extrema non ī
uenitur medium ꝓportionabile proportione ra-
tionali Añs patet intelligenti diffinitionem nu-
meri quadrati. et conſequentia patet ex ſecundo
correlario. Et eodē modo ꝓbabis reliquas ꝑtes.
¶ Et ex hoc habes pulchrū documentuꝫ ab cogno
ſcendū quãdo aliqua ꝓportio īeq̈litatꝪ habet ſub
duplam proportionem ad eam rationalem. Quã
do enim numerus reſultans ex ductu vnius extre-
mi in alterum non eſt quadratus / tunc talis ꝓpor
tio non habet ꝓportionem rationalem ſubduplã
ad illam cum non habeat medium ꝓportionabile
ꝓportione rationali. et ſic tale medium inter ter-
minos illius ꝓportionis non ſe habet vt numerꝰ
reſpectu alicuius extremi illius ꝓportionis. Si eī
ſe haberet vt numerus: maioris extremi ad ipſum
eſſet aliqua ꝓportio rationalis: et ipſius ad mini
mum extremum eſſet eadem ꝓportio rationalis: et
ſic iam ibi eſſent tres numeri continuo ꝓportiona
biles in hac medietate geometrica: et ſic numerus
qui fit ex ductu extremi in extremū eſſet quadratꝰ /
vt patet ex primo correlario / quod eſt oppoſitū da
ti. 11irrõnaliſ
ꝓportio
alio mõ
ponenda
oñditur. Et ex hoc facile elicitur ꝓportionem irrationa-
lem neceſſario ponendã eſſe: quod nota.
Gratia ordinis obſeruandi medieta
tis harmonice aliquas proprietates ponã quas
non intendo demonſtrare: quia huic operi paruꝫ
conducunt. 22ṗma ꝓṗe
tas medi
etatꝪ har
monice. ¶ Prima proprietas Medietas har-
monica in maioribus terminis maiorem ſeruat ꝓ
portionē quam in minoribus. Hoc eſt dicere / ca
ptis tribus terminis hac medietate ꝓportionabi
libus: maior eſt proportio maximi ad mediū: quã
medii ad minimū. vt conſtitutis his terminis .12.8
6. maior eſt proportio .12. ad .8. que eſt ſexquialte
ra quã .8. ad .6. que eſt ſexquitertia. 33ſcḋa ꝓṗe
tas medi
etatꝪ har
monice. ¶ Secunda ꝓ-
prietas. tribus terminis in hac medietate conſtitu
tis medius terminus in collectas extremitates du
ctus dupluꝫ numero qui fit ex extremo in extremū
ꝓducit. vt conſtitutis predictis terminis .12.8.6. et
collectis extremis puta .6. et .12. que .18. conſtituūt
numerus qui fit ex ductu medii puta octonarii in
collectas extremitates puta ī .18. eſt duplus ad nu
merum qui fit ex ductu extremorum .12. ſcilicet ī .6
Quod patet / quia ille eſt .144. hic vero .72. mõ con
ſtat illū eſſe dupluꝫ ad hunc. 443. ꝓṗetas
medieta
tis har-
monice. ¶ Tertia proprietas
in hac medietate determinatis extremis medius
terminus reperitur ſi per extremorum coniuncto-
rum numerum: numerus qui ex differentia extre-
morum in minimū conſurgit diuiditur. iſ qui
ex diuiſiõe relinquit̄̄ accipiat̄̄: at minimo extre-
mo aggregatur. vt determinatis his terminis .6.
et .3. / ſi vis inuenire medium harmonicum inter il-
los addas extremū extrēo puta .3. ip̄is .6 et erūt 9. /
deiñ ducas dnr̄aꝫ inter .6. et .3. in .3. mīmū extremū:
et quia illa differentia eſt .3. ex ductu eius in .3. fi-
unt .9. diuidas / igitur .9. per .9. et relictū ex diuiſio
ne erit vnitas: addas igitur vnitatem ternario: et
aggregatum ex illa vnitate et ternario eſt mediuꝫ
harmonicum inter ſex. et tria: eſt enim aggregatū
illud quaternarius numerus. Modo .6.4.3: ꝓpor
tionantur harmonice. ¶ Et hic aduerte / quibuſ-
cū duobus numeris inequalibus cõſtitutis hac
doctrina mediante reperies medium terminū in-
ter eos: et hoc cum fractione aut ſine inter .4. enim
et .3. medium harmonicū eſt .3. cuꝫ tribus ſeptimis
Quomodo autem inueniatur medium geometri-
cum partim ex his / que dicta ſunt / patet et comple
te in poſterum dicetur.
tis harmonice aliquas proprietates ponã quas
non intendo demonſtrare: quia huic operi paruꝫ
conducunt. 22ṗma ꝓṗe
tas medi
etatꝪ har
monice. ¶ Prima proprietas Medietas har-
monica in maioribus terminis maiorem ſeruat ꝓ
portionē quam in minoribus. Hoc eſt dicere / ca
ptis tribus terminis hac medietate ꝓportionabi
libus: maior eſt proportio maximi ad mediū: quã
medii ad minimū. vt conſtitutis his terminis .12.8
6. maior eſt proportio .12. ad .8. que eſt ſexquialte
ra quã .8. ad .6. que eſt ſexquitertia. 33ſcḋa ꝓṗe
tas medi
etatꝪ har
monice. ¶ Secunda ꝓ-
prietas. tribus terminis in hac medietate conſtitu
tis medius terminus in collectas extremitates du
ctus dupluꝫ numero qui fit ex extremo in extremū
ꝓducit. vt conſtitutis predictis terminis .12.8.6. et
collectis extremis puta .6. et .12. que .18. conſtituūt
numerus qui fit ex ductu medii puta octonarii in
collectas extremitates puta ī .18. eſt duplus ad nu
merum qui fit ex ductu extremorum .12. ſcilicet ī .6
Quod patet / quia ille eſt .144. hic vero .72. mõ con
ſtat illū eſſe dupluꝫ ad hunc. 443. ꝓṗetas
medieta
tis har-
monice. ¶ Tertia proprietas
in hac medietate determinatis extremis medius
terminus reperitur ſi per extremorum coniuncto-
rum numerum: numerus qui ex differentia extre-
morum in minimū conſurgit diuiditur. iſ qui
ex diuiſiõe relinquit̄̄ accipiat̄̄: at minimo extre-
mo aggregatur. vt determinatis his terminis .6.
et .3. / ſi vis inuenire medium harmonicum inter il-
los addas extremū extrēo puta .3. ip̄is .6 et erūt 9. /
deiñ ducas dnr̄aꝫ inter .6. et .3. in .3. mīmū extremū:
et quia illa differentia eſt .3. ex ductu eius in .3. fi-
unt .9. diuidas / igitur .9. per .9. et relictū ex diuiſio
ne erit vnitas: addas igitur vnitatem ternario: et
aggregatum ex illa vnitate et ternario eſt mediuꝫ
harmonicum inter ſex. et tria: eſt enim aggregatū
illud quaternarius numerus. Modo .6.4.3: ꝓpor
tionantur harmonice. ¶ Et hic aduerte / quibuſ-
cū duobus numeris inequalibus cõſtitutis hac
doctrina mediante reperies medium terminū in-
ter eos: et hoc cum fractione aut ſine inter .4. enim
et .3. medium harmonicū eſt .3. cuꝫ tribus ſeptimis
Quomodo autem inueniatur medium geometri-
cum partim ex his / que dicta ſunt / patet et comple
te in poſterum dicetur.
SEx modos argumentandi pro
portionabiliter ſiue in ꝓportionalitati-
bus quibus nonun̄. et philoſophi et cal
culatores phiſici vtūtur ponit Euclides ſexto ele-
mentorum et recentiores mathematici poſt eum.
¶ Iſtarum autem argumentationum prima dici-
tur conuerſa: ſecunda permutata: tertia coniun-
cta. quarta diſiuncta. quinta euerſa: et ſexta equa.
¶ Pro intelligentia primi modi arguendi aduer
tendum eſt / in propoſito antecedens alicuius ꝓ
portionis dicitur terminus / qui ad alterum com-
paratur et conſequens terminus cui aliquis com
paratur / vt cum dicitur quatuor ad duo ille termi
nus quatuor eſt antecedens et duo conſequens / et
ſi dicamus duo ad quatuor duo dicuntur antece-
dens et quatuor conſequens 55ꝓportõa
litas con
uerſa ¶ Iſto ſuppoſito pro
portionalitas conuerſa eſt quando ex anteceden-
tibus fiunt conſequētia: et eocontra. Uel aliter eſt
proportionalis illatio in qua ex proportionibus
maioris inequalitatis concluduntur proportio-
nes minoris ineq̈litatis eis correſpondentes. ſic
arguendo ſicut ſe habet octo ad quatuor ita duo a
d vnum / igitur ſicut ſe habet vnum ad duo ita qua
tuor ad octo. Et etiã econuerſo cõcludēdo ex pro
portionibus minoris inequalitatis ꝓportiones
maioris īeq̈litatꝪ eis correſpõdētes. 66ꝑmutata ¶ Permuta-
ta ꝓportiõalitas dicit̄̄ / cū ex ãtecedēte ſcḋe ꝓporti-
onis ſit ↄ̨ñs prime et ex ↄ̨ñti prime ſit añs ſcḋe. Uel
aliter eſt diſpoſitis quatuor terminis geometri-
ce proportionalibus primi ad tertium. et ſecundi
ad quartum proportionalis illatio ſic arguendo
ſicut ſe habet .8. ad .4. ita .2. ad .1. / igitur ſicut ſe ha
bent .8. ad .2. ita .4. ad vnū. Et iſto modo arguen-
endi vtitur philoſophus in pleriſ locis vt in fi-
ne ſecundi perihermenias: in tertio topi. et in pri
mo celi et mundi in tractatu de infinito. 77Cõiūcta. ¶ Coniun
cta proportionalitas eſt a diſiunctis terminis geo
meteice proportionabilibus ad coniunctos pro-
portionalis illatio. tali modo arguendo: ſicut ſe
habent .8. ad .4. ita .2. ad .1. / igitur ſicut ſe habent.
octo et quatuor ad quatuor ita duo et vnū ad vnū
88diſiūcta. ¶ Diſiuncta proportionalitas eſt a cõiunctis ter-
minis geometrice proportionabilibus ad diſiun
ctos proportionalis illatio. tali modo arguendo /
ſicut ſe habent 8. et .4. ad .4. ita duo et vnū ad vnū /
igitur ſicut ſe habent octo ad quatuor ita duo ad
vnum. 99Euerſa. ¶ Euerſa ꝓportionalitas eſt a diuiſis ter-
minis geometrice proportionabilibus ad coniun
ctos ordine conuerſo ad coniunctam proportio-
portionabiliter ſiue in ꝓportionalitati-
bus quibus nonun̄. et philoſophi et cal
culatores phiſici vtūtur ponit Euclides ſexto ele-
mentorum et recentiores mathematici poſt eum.
¶ Iſtarum autem argumentationum prima dici-
tur conuerſa: ſecunda permutata: tertia coniun-
cta. quarta diſiuncta. quinta euerſa: et ſexta equa.
¶ Pro intelligentia primi modi arguendi aduer
tendum eſt / in propoſito antecedens alicuius ꝓ
portionis dicitur terminus / qui ad alterum com-
paratur et conſequens terminus cui aliquis com
paratur / vt cum dicitur quatuor ad duo ille termi
nus quatuor eſt antecedens et duo conſequens / et
ſi dicamus duo ad quatuor duo dicuntur antece-
dens et quatuor conſequens 55ꝓportõa
litas con
uerſa ¶ Iſto ſuppoſito pro
portionalitas conuerſa eſt quando ex anteceden-
tibus fiunt conſequētia: et eocontra. Uel aliter eſt
proportionalis illatio in qua ex proportionibus
maioris inequalitatis concluduntur proportio-
nes minoris ineq̈litatis eis correſpondentes. ſic
arguendo ſicut ſe habet octo ad quatuor ita duo a
d vnum / igitur ſicut ſe habet vnum ad duo ita qua
tuor ad octo. Et etiã econuerſo cõcludēdo ex pro
portionibus minoris inequalitatis ꝓportiones
maioris īeq̈litatꝪ eis correſpõdētes. 66ꝑmutata ¶ Permuta-
ta ꝓportiõalitas dicit̄̄ / cū ex ãtecedēte ſcḋe ꝓporti-
onis ſit ↄ̨ñs prime et ex ↄ̨ñti prime ſit añs ſcḋe. Uel
aliter eſt diſpoſitis quatuor terminis geometri-
ce proportionalibus primi ad tertium. et ſecundi
ad quartum proportionalis illatio ſic arguendo
ſicut ſe habet .8. ad .4. ita .2. ad .1. / igitur ſicut ſe ha
bent .8. ad .2. ita .4. ad vnū. Et iſto modo arguen-
endi vtitur philoſophus in pleriſ locis vt in fi-
ne ſecundi perihermenias: in tertio topi. et in pri
mo celi et mundi in tractatu de infinito. 77Cõiūcta. ¶ Coniun
cta proportionalitas eſt a diſiunctis terminis geo
meteice proportionabilibus ad coniunctos pro-
portionalis illatio. tali modo arguendo: ſicut ſe
habent .8. ad .4. ita .2. ad .1. / igitur ſicut ſe habent.
octo et quatuor ad quatuor ita duo et vnū ad vnū
88diſiūcta. ¶ Diſiuncta proportionalitas eſt a cõiunctis ter-
minis geometrice proportionabilibus ad diſiun
ctos proportionalis illatio. tali modo arguendo /
ſicut ſe habent 8. et .4. ad .4. ita duo et vnū ad vnū /
igitur ſicut ſe habent octo ad quatuor ita duo ad
vnum. 99Euerſa. ¶ Euerſa ꝓportionalitas eſt a diuiſis ter-
minis geometrice proportionabilibus ad coniun
ctos ordine conuerſo ad coniunctam proportio-