33
Tertia ſuppoſitio.
Oēs proportiões
ſūt eq̈les quarū denoīationes ſunt eq̈les et illa ma
ior cuiꝰ denoīatio ē maior: et illa mīor: cuiꝰ denoīa
tio mīor. Illa autem denoīatio dicitur maior / que
ſumitur a maiori numero cū fractione vel ſine: vel
ab vnitate cū maiori fractione. 11Ior. ſcḋo
ele. Hec nõ demõſtra-
tur / q2 diffinitio eſt / et a iordauo petitur in princi-
pio ſecūdi elemētoꝝ. Exemplū / vt ꝓportio que eſt
8. ad .4. eſt equalis ꝓportioni que eſt .2. ad .1. quia
vtra illarū denominatur dupla. Sexquialtera
autē maior eſt ſexquitertia: q2 denominatio eius
maior eſt: denominatur em̄ ab vnitate cū medieta
te: altera vero ab vnitate cum tertia. Modo plus
eſt vnitas cū medietate quã cū tertia.
ſūt eq̈les quarū denoīationes ſunt eq̈les et illa ma
ior cuiꝰ denoīatio ē maior: et illa mīor: cuiꝰ denoīa
tio mīor. Illa autem denoīatio dicitur maior / que
ſumitur a maiori numero cū fractione vel ſine: vel
ab vnitate cū maiori fractione. 11Ior. ſcḋo
ele. Hec nõ demõſtra-
tur / q2 diffinitio eſt / et a iordauo petitur in princi-
pio ſecūdi elemētoꝝ. Exemplū / vt ꝓportio que eſt
8. ad .4. eſt equalis ꝓportioni que eſt .2. ad .1. quia
vtra illarū denominatur dupla. Sexquialtera
autē maior eſt ſexquitertia: q2 denominatio eius
maior eſt: denominatur em̄ ab vnitate cū medieta
te: altera vero ab vnitate cum tertia. Modo plus
eſt vnitas cū medietate quã cū tertia.
Quarta ſuppoſitio.
Omne totum ex
quantolibet minori eo cõponitur: et diſtribuat ly
quãtolibet pro generibus ſingnloꝝ. Probat̄̄ hec
ſuppoſitio / q2 quãtūlibet minus aliquo maiori eo
eſt pars illius: ergo ex quãtolibet tali cõponitur.
Probatur antecedens / q2 capto vno pedali: quã-
talibet mīor quãtitas pedali eſt ꝑs eiꝰ / vt ptꝫ ex ſe.
quantolibet minori eo cõponitur: et diſtribuat ly
quãtolibet pro generibus ſingnloꝝ. Probat̄̄ hec
ſuppoſitio / q2 quãtūlibet minus aliquo maiori eo
eſt pars illius: ergo ex quãtolibet tali cõponitur.
Probatur antecedens / q2 capto vno pedali: quã-
talibet mīor quãtitas pedali eſt ꝑs eiꝰ / vt ptꝫ ex ſe.
Quinta ſuppoſitio.
Omne cõpoſitū
ex duobus equalibus adequate: eſt preciſe duplū
ad vtrū illoꝝ: et omne cõpoſitū ex tribus equali-
bus adequate eſt triplum ad quodlibet illoꝝ: et ex
quattuor quadruplū: et ex quin quintuplum .etc̈.
Patet hec ſuppoſitio ex diffinitione dupli, tripli
quadrupli, et ſic ſine termino.
ex duobus equalibus adequate: eſt preciſe duplū
ad vtrū illoꝝ: et omne cõpoſitū ex tribus equali-
bus adequate eſt triplum ad quodlibet illoꝝ: et ex
quattuor quadruplū: et ex quin quintuplum .etc̈.
Patet hec ſuppoſitio ex diffinitione dupli, tripli
quadrupli, et ſic ſine termino.
Sexta ſuppoſitio.
Omne cõpoſituꝫ
ex duobus inequalibus eſt maius quã duplum ad
minꝰ illoꝝ: et minus quã duplū ad maius illoꝝ: et
ſi cõponatur ex tribus inequalibus: eſt maius quã
triplū ad minimū illoꝝ: et minꝰ quã triplū ad ma-
ximū: et ſi ex quattuor eſt maius quã quadruplum
ad minimū illoꝝ: et minus quã quadruplū ad ma
ximū: et ſic conſequēter: ſi cõponatur ex quin, ex
ſex .etc̈. Probatur prima pars: q2 illud cõpoſitum
continet minus illorū duorū bis: et aliquid vltra:
ergo eſt maius quã duplū ad illud. Cõſequētia eſt
nota: et antecedens ꝓbatur: q2 ſi ↄ̨tineret minꝰ bis
adequate iam illud eſſet ſua medietas: et per con-
ſequens reſiduū etiã eſſet medietas: et ſic illa duo
eſſent equalia / quod eſt contra hypotheſim. Alia
pars huius partis ſimiliter ꝓbatur / q2 ſi eſſet du-
plū ad maius illoꝝ / iã illud eſſet ſua medietas / qḋ
modo eſt īpugnatū. Secūda pars probatur / quia
illud cõpoſitū continet minimū illoꝝ triū ter et a-
liquid vltra: ergo eſt pluſquã triplū ad illud. Con
ſequētia patet et antecedens ꝓbatur / q2 ſi cõtineret
eū ter adequate iã illud eſſet vna tertia eius / vt ptꝫ
ex ſe et ꝑ cõſequēs alie due partes eſſent due tertie /
et ſic aggregatū ex eis eſſet dupluꝫ ad illud mini-
mū: ſed hoc eſt falſum: q2 alterū illoꝝ duoꝝ eſt ma
ius iſto minimo: et aliud equale vel maius / vt con-
ſtat: igitur aggregatū ex iſtis duobꝰ eſt maiꝰ quã
duplū ad illud minimū. Alia pars huius partis
ꝓbatur / q2 maximū illoꝝ triū eſt maius quã tertia /
ergo cõpoſitū ex illis eſt minꝰ quã triplū ad illud.
Cõſequentia patet et antecedens ꝓbatur / q2 ſi eſſet
adeq̈te tertia iã alie due ꝑtes eſſent due tertie: et ſic
aggregatū ex eis eſſet duplū ad illud / qḋ eſt falſuꝫ /
q2 aggregatū ex aliis duobus componitur ex vno
minori illo: et alio equali vel minori: igitur aggre
gatū ex eis nõ eſt duplū ad illud. Et ſic ꝓbabis ali
as partes. Patet igitur ſuppoſitio.
ex duobus inequalibus eſt maius quã duplum ad
minꝰ illoꝝ: et minus quã duplū ad maius illoꝝ: et
ſi cõponatur ex tribus inequalibus: eſt maius quã
triplū ad minimū illoꝝ: et minꝰ quã triplū ad ma-
ximū: et ſi ex quattuor eſt maius quã quadruplum
ad minimū illoꝝ: et minus quã quadruplū ad ma
ximū: et ſic conſequēter: ſi cõponatur ex quin, ex
ſex .etc̈. Probatur prima pars: q2 illud cõpoſitum
continet minus illorū duorū bis: et aliquid vltra:
ergo eſt maius quã duplū ad illud. Cõſequētia eſt
nota: et antecedens ꝓbatur: q2 ſi ↄ̨tineret minꝰ bis
adequate iam illud eſſet ſua medietas: et per con-
ſequens reſiduū etiã eſſet medietas: et ſic illa duo
eſſent equalia / quod eſt contra hypotheſim. Alia
pars huius partis ſimiliter ꝓbatur / q2 ſi eſſet du-
plū ad maius illoꝝ / iã illud eſſet ſua medietas / qḋ
modo eſt īpugnatū. Secūda pars probatur / quia
illud cõpoſitū continet minimū illoꝝ triū ter et a-
liquid vltra: ergo eſt pluſquã triplū ad illud. Con
ſequētia patet et antecedens ꝓbatur / q2 ſi cõtineret
eū ter adequate iã illud eſſet vna tertia eius / vt ptꝫ
ex ſe et ꝑ cõſequēs alie due partes eſſent due tertie /
et ſic aggregatū ex eis eſſet dupluꝫ ad illud mini-
mū: ſed hoc eſt falſum: q2 alterū illoꝝ duoꝝ eſt ma
ius iſto minimo: et aliud equale vel maius / vt con-
ſtat: igitur aggregatū ex iſtis duobꝰ eſt maiꝰ quã
duplū ad illud minimū. Alia pars huius partis
ꝓbatur / q2 maximū illoꝝ triū eſt maius quã tertia /
ergo cõpoſitū ex illis eſt minꝰ quã triplū ad illud.
Cõſequentia patet et antecedens ꝓbatur / q2 ſi eſſet
adeq̈te tertia iã alie due ꝑtes eſſent due tertie: et ſic
aggregatū ex eis eſſet duplū ad illud / qḋ eſt falſuꝫ /
q2 aggregatū ex aliis duobus componitur ex vno
minori illo: et alio equali vel minori: igitur aggre
gatū ex eis nõ eſt duplū ad illud. Et ſic ꝓbabis ali
as partes. Patet igitur ſuppoſitio.
Septima ſuppoſitio.
Quãdo aliqua
latitudo ſiue exceſſus additur alicui maiorē ꝓpor
tionē acquirit quã quãdo eidē additur minor ex-
ceſſus ſiue latitudo: vt quando quaternario addi
tur quaternarius maiorē ꝓportionē acquirit quã
quando ei additur binarius: Et ex conſequenti ſe-
quitur / quãdo aliq̇d deperdit aliquã latitudinē
ſiue quantitatē maiorē ꝓportionē deperdit quaꝫ
quando deperdit minorē latitudinē. Hec ſuppoſi
tio cū ſuo correlario propter ſui euidentiã nõ pro
batur: ſed ſimpliciter petitur.
latitudo ſiue exceſſus additur alicui maiorē ꝓpor
tionē acquirit quã quãdo eidē additur minor ex-
ceſſus ſiue latitudo: vt quando quaternario addi
tur quaternarius maiorē ꝓportionē acquirit quã
quando ei additur binarius: Et ex conſequenti ſe-
quitur / quãdo aliq̇d deperdit aliquã latitudinē
ſiue quantitatē maiorē ꝓportionē deperdit quaꝫ
quando deperdit minorē latitudinē. Hec ſuppoſi
tio cū ſuo correlario propter ſui euidentiã nõ pro
batur: ſed ſimpliciter petitur.
Octaua ſuppoſitio.
Quãdocū idē
exceſſus ſiue latitudo additur maiori et mīori: ma
iorē ꝓportionē acquirit minꝰ quã maius. Et cum
maius et minus deperdūt eandē latitudinē ſiue ex
ceſſum maiorē ꝓportionē deperdit minus quã ma
ius: vt ſi quaternarius et octonarius perdant bi-
nariū maiorē ꝓportionē deperdit quaternarius
quã octonarius. Quaternarius em̄ perdit ꝓpor-
tionē duplã: octonarius vero ſexquitertiã: vt con-
ſtat. Et ſi binarius et ſenarius binariū acquirant
binariꝰ eadē ratione maiorē ꝓportionē acquirit
quam ſenarius: vt cõſtat. Probatur / ſint a.b. due
quantitates ſine numeri ſiue que vis alie latitudi-
nes a. maior et b. minor que ſe habeant in ꝓporti-
one f. et acquirat tam a. quã b.d. exceſſum ſiue lati-
tudinē: tunc dico / b. maiorē ꝓportionē acquirit
quã a. Quod ſic ꝓbatur: et volo / quãdo a. acqui-
rit d. antea quã b. acquirat ipſum d. acquirat vnã
quantitatē ad quã d. ſe habet in ꝓportione f. et ſit
illa quantitas e. / et arguitur ſic / a. et b. ſe habent in
ꝓportione f. et quantitas acquiſita ipſi a ſe habet
etiã in eadē ꝓportione ad quantitatē acquiſitam
ipſi b. / ergo continuo a. et b. manent in eadē ꝓpor-
tione f. in qua ſe habebant ante talē acquiſitionē.
Patet hec cõſequentia ex quīto correlario quīte
concluſionis ſecūdi capitis huiꝰ: et per cõſequens
tantã ꝓportionē acquiſiuit b. ſupra ſe quantam a
ſupra ſe. Si em̄ b. acquiſiuiſſet minorē iã ꝓportio
inter a. et b. fuiſſet augmentata: et ſi maiorem iam
fuiſſet diminuta: qm̄ quantã ꝓportionē acquirit
numerus minor vltra numeꝝ maiorē tantã deꝑdit
ꝓportio inter illos numeros: et quantã numerus
maior acquirit vltra minorē tãtã acq̇rit ꝓportio
inṫ illos nūeros ſiue q̄uis alia latitudo: vt ↄ̨ſtat ex
ſuꝑioribꝰ et ex ↄ̨ñti quantã ꝓportionē acq̇ſiuit b. ꝑ
acquiſitionē e. latitudinis tantã adequate acqui-
ſiuit a. per additionē d. latitudinis et eocõtra. igit̄̄
quando b. acquirit d. maiorē latitudinē quã ſit e.
maiorē ꝓportionē acquirit: et per cõſequens ma-
iorē ꝓportionē acquirit b: acquirendo d. quam a.
acquirendo d. / quod fuit probandū. Patet tamen
conſequentia ex ſeptima ſuppoſitione huiꝰ capi-
tis. Et ſic patet prima pars: et ſecunda facile ꝓba-
tur / qm̄ ſi quando a. et b. acquirūt d. latitudinē ma
iorē ꝓportionē acquirit b. quã a. / ſequitur / cū de
perdunt eandē d. latitudinē maiorē ꝓportionem
deperdit b. quã a. Nam adequate perdit illã quã
acquiſiuit et maiorē acquiſiuit: ergo maiorem de-
perdit. Et ſic patet ſuppoſitio.
exceſſus ſiue latitudo additur maiori et mīori: ma
iorē ꝓportionē acquirit minꝰ quã maius. Et cum
maius et minus deperdūt eandē latitudinē ſiue ex
ceſſum maiorē ꝓportionē deperdit minus quã ma
ius: vt ſi quaternarius et octonarius perdant bi-
nariū maiorē ꝓportionē deperdit quaternarius
quã octonarius. Quaternarius em̄ perdit ꝓpor-
tionē duplã: octonarius vero ſexquitertiã: vt con-
ſtat. Et ſi binarius et ſenarius binariū acquirant
binariꝰ eadē ratione maiorē ꝓportionē acquirit
quam ſenarius: vt cõſtat. Probatur / ſint a.b. due
quantitates ſine numeri ſiue que vis alie latitudi-
nes a. maior et b. minor que ſe habeant in ꝓporti-
one f. et acquirat tam a. quã b.d. exceſſum ſiue lati-
tudinē: tunc dico / b. maiorē ꝓportionē acquirit
quã a. Quod ſic ꝓbatur: et volo / quãdo a. acqui-
rit d. antea quã b. acquirat ipſum d. acquirat vnã
quantitatē ad quã d. ſe habet in ꝓportione f. et ſit
illa quantitas e. / et arguitur ſic / a. et b. ſe habent in
ꝓportione f. et quantitas acquiſita ipſi a ſe habet
etiã in eadē ꝓportione ad quantitatē acquiſitam
ipſi b. / ergo continuo a. et b. manent in eadē ꝓpor-
tione f. in qua ſe habebant ante talē acquiſitionē.
Patet hec cõſequentia ex quīto correlario quīte
concluſionis ſecūdi capitis huiꝰ: et per cõſequens
tantã ꝓportionē acquiſiuit b. ſupra ſe quantam a
ſupra ſe. Si em̄ b. acquiſiuiſſet minorē iã ꝓportio
inter a. et b. fuiſſet augmentata: et ſi maiorem iam
fuiſſet diminuta: qm̄ quantã ꝓportionē acquirit
numerus minor vltra numeꝝ maiorē tantã deꝑdit
ꝓportio inter illos numeros: et quantã numerus
maior acquirit vltra minorē tãtã acq̇rit ꝓportio
inṫ illos nūeros ſiue q̄uis alia latitudo: vt ↄ̨ſtat ex
ſuꝑioribꝰ et ex ↄ̨ñti quantã ꝓportionē acq̇ſiuit b. ꝑ
acquiſitionē e. latitudinis tantã adequate acqui-
ſiuit a. per additionē d. latitudinis et eocõtra. igit̄̄
quando b. acquirit d. maiorē latitudinē quã ſit e.
maiorē ꝓportionē acquirit: et per cõſequens ma-
iorē ꝓportionē acquirit b: acquirendo d. quam a.
acquirendo d. / quod fuit probandū. Patet tamen
conſequentia ex ſeptima ſuppoſitione huiꝰ capi-
tis. Et ſic patet prima pars: et ſecunda facile ꝓba-
tur / qm̄ ſi quando a. et b. acquirūt d. latitudinē ma
iorē ꝓportionē acquirit b. quã a. / ſequitur / cū de
perdunt eandē d. latitudinē maiorē ꝓportionem
deperdit b. quã a. Nam adequate perdit illã quã
acquiſiuit et maiorē acquiſiuit: ergo maiorem de-
perdit. Et ſic patet ſuppoſitio.
His iactis fundamentis ſit prima cõ
cluſio. Oīs ꝓportio multiplex, multiplex ſuꝑpar-
ticularis, vel multiplex ſuprapartiens eſt maior
ꝓportione ſuperparticulari vel ſuprapartiente.
Probatur: q2 cuiuſlibet ꝓportionis multiplicis,
multiplicis ſuꝑparticularis, vel multiplicis ſu-
prapartiens, denominatio eſt maior quã alicu-
ius ſuperparticularis vel ſuprapartientis: igitur
quelibet ꝓportio multiplex, aut multiplex ſuper-
particularis, aut multiplex ſuprapartiēs, eſt ma
cluſio. Oīs ꝓportio multiplex, multiplex ſuꝑpar-
ticularis, vel multiplex ſuprapartiens eſt maior
ꝓportione ſuperparticulari vel ſuprapartiente.
Probatur: q2 cuiuſlibet ꝓportionis multiplicis,
multiplicis ſuꝑparticularis, vel multiplicis ſu-
prapartiens, denominatio eſt maior quã alicu-
ius ſuperparticularis vel ſuprapartientis: igitur
quelibet ꝓportio multiplex, aut multiplex ſuper-
particularis, aut multiplex ſuprapartiēs, eſt ma