35 duplã: manent igitur in eadē ꝓportione / vt ptꝫ ex
correlario decime ſuppoſitiõis ſecūdi capitꝪ huiꝰ
īueniatur / igitur mediū inter illos duos numeros
et īueniētur due ꝓportiones tnequales in quas di
uiditur ꝓportio inter illos duos numeros / vt pre-
oſtenſum eſt. Patet igitur vniuerſaliter concluſio
11Primuꝫ
correlari
um. ¶ Ex qua ſequitur primo / quelibet proportio in
infinitas ꝓportiones ſecari valet in numeris ſine
vnitatis fractione: et capio ly infinitas ſyncathe-
goreumatice. Probatur / qm̄ capta ꝓportione a.
in numeris manifeſtū eſt / illi numeri ſaltē ꝑ vni-
tatē diſtabūt / hoc eſt ſaltē maior excedit minorē ꝑ
vnitatē que vnitas eſt pars aliquota minoris: du
pletur igitur vter illoꝝ numeroꝝ: et ſequitur /
adhuc inter illos numeros duplatos manet ꝓpor
tio a. / vt paulo ãte deductū eſt: igitur iam exceſſus
erit in duplo maior: q2 erit pars aliquota eiuſdē
denomīationis numeri in duplo maioris: igitur
iam ibi inter illos duos numeros reperietur vnꝰ
numerus medius vt ſuperiꝰ oſtenſum eſt: et ꝑ cõſe-
quens due ꝓportiones inequales in quas diuidit̄̄
talis ꝓportio. Iteꝝ duplent̄̄ illi numeri īter quos
eſt ꝓportio a. et iam inter eos īuenientur tres nu-
meri intermedii et ſic erūt quatuor ꝓportiões in-
termedie. Et ſi tertio duplentur illi numeri īueni-
entur ſeptē numeri intermedii: et ſic erūt .8. ꝓpor-
tiones: et ſic in infinitū duplando ſemꝑ numeros.
Data igit̄̄ quã volueris ꝓportione ipſa vel ſibi e-
qualis (quod ꝓ eodē reputo) in infinitas ꝓportio-
nes ſecari valet: quod fuit oſtendendū. Et ſicut ꝓ-
batur in numeris: ita et facilius ꝓbabitur in quã-
titatibus. Et ſicut ꝓbatur capiēdo primos nume-
ros excedentes ſe vnitate: ita per locū a maiori ꝓ-
babitur capiendo numeros excedētes ſe numero:
vt ſatis conſtat. Patet igit̄̄ correlariū. 22Secūduꝫ
correlar̄. ¶ Sequit̄̄
ſecūdo / capitis tribꝰ terminis cõtinuo ꝓportio-
nabilibus arithmetice: et captis aliis tribus ſic ſe
habentibꝰ / qualis eſt ꝓportio inter duos maio-
res primi ternarii: talis ſit inter duos maiores ſe
cūdi ternarii: et qualis inter duos numeros primi
ternarii: talis etiã ſit inter duos minores ſecundi
ternarii: tūc termini ſecūdi ternarii ſunt ꝓportio-
nabiles arithmetice: ſicut et termini ṗmi ternarii:
vt captis his tribus terminis .4.3.2. qui ſunt pro-
portiõabiles arithmetice: dico / iſti .3. termini .8.
6.4. ſunt etiã arithmetice proportionabiles: qm̄
qualis eſt ꝓportio inter .4. et .3. talis eſt inter .8. et
6. et qualis inter .3. et .2. talis inter .6. et .4. / vt patꝫ
Probatur / ſint tres termini a.b.c. ꝓportiõabiles
arithmetice: et ſint alii trrs d.e.f. et ſit inter d. et e.
talis ꝓportio qualis inter a. et b. et inter e. et f. q̈lis
inter b. et c. Et tunc dico / d.e.f. ſunt tres termini
ꝓportionabiles arithmetice: Ad quod probandū
volo / exceſſus quo a. excedit b. ſit g. et quo b. exce
dit c. ſit h. equalis g. / vt oportet: et exceſſus q̊ d. exce
dit e. ſit i. et quo e. excedit f. ſit k. / et manifeſtū eſt / g.
eſt tota pars aliquota ipſiꝰ b. vel tote partes q̊ta
vel quote i. eſt ipſiꝰ e. et eiuſdē denominationis: et
h. eſt tota pars vel tote partes aliquote et eiuſdeꝫ
denomīationis reſpectu c. ſicut k. reſpectu f. / vt ptꝫ
ex probatione quarte ſuppoſitionis ſecūdi capi-
tis huiꝰ. Quo ſuppoſito arguit̄̄ ſic / i. quod eſt ex-
ceſſus inter d. et e. eſt equale ipſi k. / quod eſt exceſſus
inter e. et f. / igit̄̄ illi tres termini d.e.f. ſunt ꝓporti-
onabiles arithmetice. Cõſequentia ptꝫ manifeſte:
et arguit̄̄ antecedens: q2 ſicut ſe habet b. ad .c. ita e.
ad f. / igit̄̄ ſicut ſe habet b. ad e. ita c. ad f. Patet cõ-
ſequentia ex ſecūda cõcluſione tertii capitis huiꝰ:
et ex ↄ̨ſequenti ſicut ſe habet b. ad e. ita c. ad f. puta
in l. ꝓportione / igitur g. ſe habet ad i. in l. ꝓporti-
one et h. ad k. etiã in l. ꝓportione. Patet cõſequen
tia ex vndecima ſuppoſitione ſecūdi capitis huiꝰ:
ille em̄ ſunt partes aliquote eiuſdē denoīationis
numeroꝝ ſe habentiū in l. ꝓportione: et vltra g. ſe
habet ad i. in l. ꝓportiõe: et h. ad k. etiã in l. pro-
portione: igit̄̄ ſicut ſe habet g. ad h. ita i. ad k. Ptꝫ
per locū a. ꝑmutata proportione: ſed g. et h. ſe ha-
bent in proportione equalitatis: igit̄̄ i. et k. / qḋ fuit
probandñ. Probatur aliter correlariū tam in nu
meris quã in quãtitatibus cõtinuis: et retēta eadē
hypotheſi: manifeſtū eſt / ipſiꝰ a. ad d. et ipſiꝰ b.
ad c. et ipſius c. ad f. eſt eadē ꝓportio: que ſit l. / qm̄
ex hypotheſi ſicut ſe habet a. ad b. ita ſe habet d.
ad e. / ergo per locū a. permutata proportiõe ſicut
ſe habet a. ad d. ita b. ad e. et vltra ſicut ſe habet b
ad c. ita e. ad f. ex hypotheſi: ergo ꝑmutatim: ſicut
ſe habet b. ad e. ita c. ad f. et a. ad d. eſt etiã ꝓportio
illa que eſt b. ad c. / igit̄̄ eadē proportio eſt a. ad d. et
b. ad e. et c. ad f. puta l. Quo ſuppoſito: probatur
correlariū: q2 i. et k. ſūt equales: igit̄̄ .d.e.f. ſunt ter
mini cõtinuo proportionabiles arithmetice. Ptꝫ
cõſequentia ex hypotheſi: iūcta diffinitione ꝓpor
tionalitatis arithmetice. Probat̄̄ antecedens: q2
ſicut ſe habet g. ad h. ita ſe habet i. ad k. ſed g et h.
ſe habent in proportiõe equalitatis / vt ptꝫ ex hy-
potheſi: igit̄̄ i. et k. ſe habent in proportione equa-
litatis: et ſic ſunt equalia igit̄̄. Probat̄̄ antecedēs /
q2 ſicut ſe habet g. ad i. ita h. ad k. / ergo ꝑmutatim
ſicut ſe habet g. ad h. ita i. ad k. / qḋ fuit probandū.
Probatur antecedens: q2 g. ſe habet ad i. in l. ꝓ-
portione: et h. ſe habet ad k. in eadē l. proportione /
igitur intentū. Probat̄̄ maior / q2 g. ſe hꝫ ad i. ſicut
a. ſe hꝫ ad d. / igitur ſe hꝫ in l. ꝓportione. Patꝫ ↄ̨ña
ex hypotheſi. Probat̄̄ antecedēs: et volo / a. dimi
nuatur ad equalitatē b. ꝑdendo g. differentiã per
quã excedit ipſum b. ex hypotheſi: et d. diminuatur
ad equalitatē c. ꝑdendo i. differentiã ꝑ quã excedit
e. ex hypotheſi: et manifeſtū eſt / reſidui ex ipſo a. /
qḋ eſt b. ad reſiduū ex ipſo d. / qḋ eſt e. adhuc eſt l. ꝓ
portio: vt ptꝫ ex hypotheſi: g̊ inṫ deꝑditū ab ip̄o a
et deꝑditū ab ip̄o d. eſt etiã l. ꝓportio: et deꝑditū ab
ip̄o a eſt g. et deꝑditū ab ipſo d. eſt i. / g̊ g. ſe hꝫ ad i.
ſicut a. ad d. puta in l. ꝓportione. Ptꝫ tamen ↄ̨ña
ex primo correlario quinte cõcluſionis ſecūdi ca-
pitis huiꝰ partis. Et ſic ptꝫ maior. Iam ꝓbo mi-
norē / q2 h. ſe hꝫ ad k. ſicut b. ſi ſe hꝫ ad e. / igr̄ ꝓpoſitū
Probat̄̄ ãtecedēs: et volo / b. diminuat̄̄ ad equa-
litatē c: perdendo h. differentiã: et e. diminuat̄̄ ad
equalitatē f. perdendo k. differentiã: et manifeſtuꝫ
eſt / reſidui ex ipſo b. / qḋ eſt c. ad reſiduū ex ipſo e.
qḋ eſt f. eſt adhuc l. ꝓportio: vt patet ex hypotheſi:
igitur inter h. deperditū a b. termino maiori, et
k. deꝑditū ab c. ṫmīo minori eſt ēt l ꝓportio: vt ſu-
pra argutū eſt / igr̄ h. ſe hꝫ ad k. ſicut b. ad e. puta in
l. ꝓportione: qḋ fuit probandū. Et ſic ptꝫ correla-
riū. 33Calcu. de
īduc. gra
dus ſūmi Et hec ē ſuppoſitio quã calculator ponit ī ca-
pitulo de inductione gradus ſummi circa princi-
piū ſub iſta forma. Si ſint tria cõtinuo ꝓportio-
nabilia ꝓportione arithmetica: et ſint alia tria cõ
ſimiliter ꝓportionabilia proportiõe geometrica
ſicut prima tria: illa etiã ſunt cãtinuo ꝓportiõabi
lia proportiõe arithmetica. 44Tertium
correlar̄. ¶ Sequit̄̄ ex hoc ter-
tio / ſi ſint tres termini arithmetice proportiõa-
biles: et quilibet illoꝝ dupletur, aut tripletur, aut
ſexquialteretur .etc̈. ſemꝑ ꝓportio extremi ad ex-
tremū manet equalis: et cõtinuo manebūt illi tres
termini arithmetice ꝓportiõabiles: et in ea ꝓpor-
tiõe in qua termini augmētant̄̄ exceſſus augmētat̄̄
correlario decime ſuppoſitiõis ſecūdi capitꝪ huiꝰ
īueniatur / igitur mediū inter illos duos numeros
et īueniētur due ꝓportiones tnequales in quas di
uiditur ꝓportio inter illos duos numeros / vt pre-
oſtenſum eſt. Patet igitur vniuerſaliter concluſio
11Primuꝫ
correlari
um. ¶ Ex qua ſequitur primo / quelibet proportio in
infinitas ꝓportiones ſecari valet in numeris ſine
vnitatis fractione: et capio ly infinitas ſyncathe-
goreumatice. Probatur / qm̄ capta ꝓportione a.
in numeris manifeſtū eſt / illi numeri ſaltē ꝑ vni-
tatē diſtabūt / hoc eſt ſaltē maior excedit minorē ꝑ
vnitatē que vnitas eſt pars aliquota minoris: du
pletur igitur vter illoꝝ numeroꝝ: et ſequitur /
adhuc inter illos numeros duplatos manet ꝓpor
tio a. / vt paulo ãte deductū eſt: igitur iam exceſſus
erit in duplo maior: q2 erit pars aliquota eiuſdē
denomīationis numeri in duplo maioris: igitur
iam ibi inter illos duos numeros reperietur vnꝰ
numerus medius vt ſuperiꝰ oſtenſum eſt: et ꝑ cõſe-
quens due ꝓportiones inequales in quas diuidit̄̄
talis ꝓportio. Iteꝝ duplent̄̄ illi numeri īter quos
eſt ꝓportio a. et iam inter eos īuenientur tres nu-
meri intermedii et ſic erūt quatuor ꝓportiões in-
termedie. Et ſi tertio duplentur illi numeri īueni-
entur ſeptē numeri intermedii: et ſic erūt .8. ꝓpor-
tiones: et ſic in infinitū duplando ſemꝑ numeros.
Data igit̄̄ quã volueris ꝓportione ipſa vel ſibi e-
qualis (quod ꝓ eodē reputo) in infinitas ꝓportio-
nes ſecari valet: quod fuit oſtendendū. Et ſicut ꝓ-
batur in numeris: ita et facilius ꝓbabitur in quã-
titatibus. Et ſicut ꝓbatur capiēdo primos nume-
ros excedentes ſe vnitate: ita per locū a maiori ꝓ-
babitur capiendo numeros excedētes ſe numero:
vt ſatis conſtat. Patet igit̄̄ correlariū. 22Secūduꝫ
correlar̄. ¶ Sequit̄̄
ſecūdo / capitis tribꝰ terminis cõtinuo ꝓportio-
nabilibus arithmetice: et captis aliis tribus ſic ſe
habentibꝰ / qualis eſt ꝓportio inter duos maio-
res primi ternarii: talis ſit inter duos maiores ſe
cūdi ternarii: et qualis inter duos numeros primi
ternarii: talis etiã ſit inter duos minores ſecundi
ternarii: tūc termini ſecūdi ternarii ſunt ꝓportio-
nabiles arithmetice: ſicut et termini ṗmi ternarii:
vt captis his tribus terminis .4.3.2. qui ſunt pro-
portiõabiles arithmetice: dico / iſti .3. termini .8.
6.4. ſunt etiã arithmetice proportionabiles: qm̄
qualis eſt ꝓportio inter .4. et .3. talis eſt inter .8. et
6. et qualis inter .3. et .2. talis inter .6. et .4. / vt patꝫ
Probatur / ſint tres termini a.b.c. ꝓportiõabiles
arithmetice: et ſint alii trrs d.e.f. et ſit inter d. et e.
talis ꝓportio qualis inter a. et b. et inter e. et f. q̈lis
inter b. et c. Et tunc dico / d.e.f. ſunt tres termini
ꝓportionabiles arithmetice: Ad quod probandū
volo / exceſſus quo a. excedit b. ſit g. et quo b. exce
dit c. ſit h. equalis g. / vt oportet: et exceſſus q̊ d. exce
dit e. ſit i. et quo e. excedit f. ſit k. / et manifeſtū eſt / g.
eſt tota pars aliquota ipſiꝰ b. vel tote partes q̊ta
vel quote i. eſt ipſiꝰ e. et eiuſdē denominationis: et
h. eſt tota pars vel tote partes aliquote et eiuſdeꝫ
denomīationis reſpectu c. ſicut k. reſpectu f. / vt ptꝫ
ex probatione quarte ſuppoſitionis ſecūdi capi-
tis huiꝰ. Quo ſuppoſito arguit̄̄ ſic / i. quod eſt ex-
ceſſus inter d. et e. eſt equale ipſi k. / quod eſt exceſſus
inter e. et f. / igit̄̄ illi tres termini d.e.f. ſunt ꝓporti-
onabiles arithmetice. Cõſequentia ptꝫ manifeſte:
et arguit̄̄ antecedens: q2 ſicut ſe habet b. ad .c. ita e.
ad f. / igit̄̄ ſicut ſe habet b. ad e. ita c. ad f. Patet cõ-
ſequentia ex ſecūda cõcluſione tertii capitis huiꝰ:
et ex ↄ̨ſequenti ſicut ſe habet b. ad e. ita c. ad f. puta
in l. ꝓportione / igitur g. ſe habet ad i. in l. ꝓporti-
one et h. ad k. etiã in l. ꝓportione. Patet cõſequen
tia ex vndecima ſuppoſitione ſecūdi capitis huiꝰ:
ille em̄ ſunt partes aliquote eiuſdē denoīationis
numeroꝝ ſe habentiū in l. ꝓportione: et vltra g. ſe
habet ad i. in l. ꝓportiõe: et h. ad k. etiã in l. pro-
portione: igit̄̄ ſicut ſe habet g. ad h. ita i. ad k. Ptꝫ
per locū a. ꝑmutata proportione: ſed g. et h. ſe ha-
bent in proportione equalitatis: igit̄̄ i. et k. / qḋ fuit
probandñ. Probatur aliter correlariū tam in nu
meris quã in quãtitatibus cõtinuis: et retēta eadē
hypotheſi: manifeſtū eſt / ipſiꝰ a. ad d. et ipſiꝰ b.
ad c. et ipſius c. ad f. eſt eadē ꝓportio: que ſit l. / qm̄
ex hypotheſi ſicut ſe habet a. ad b. ita ſe habet d.
ad e. / ergo per locū a. permutata proportiõe ſicut
ſe habet a. ad d. ita b. ad e. et vltra ſicut ſe habet b
ad c. ita e. ad f. ex hypotheſi: ergo ꝑmutatim: ſicut
ſe habet b. ad e. ita c. ad f. et a. ad d. eſt etiã ꝓportio
illa que eſt b. ad c. / igit̄̄ eadē proportio eſt a. ad d. et
b. ad e. et c. ad f. puta l. Quo ſuppoſito: probatur
correlariū: q2 i. et k. ſūt equales: igit̄̄ .d.e.f. ſunt ter
mini cõtinuo proportionabiles arithmetice. Ptꝫ
cõſequentia ex hypotheſi: iūcta diffinitione ꝓpor
tionalitatis arithmetice. Probat̄̄ antecedens: q2
ſicut ſe habet g. ad h. ita ſe habet i. ad k. ſed g et h.
ſe habent in proportiõe equalitatis / vt ptꝫ ex hy-
potheſi: igit̄̄ i. et k. ſe habent in proportione equa-
litatis: et ſic ſunt equalia igit̄̄. Probat̄̄ antecedēs /
q2 ſicut ſe habet g. ad i. ita h. ad k. / ergo ꝑmutatim
ſicut ſe habet g. ad h. ita i. ad k. / qḋ fuit probandū.
Probatur antecedens: q2 g. ſe habet ad i. in l. ꝓ-
portione: et h. ſe habet ad k. in eadē l. proportione /
igitur intentū. Probat̄̄ maior / q2 g. ſe hꝫ ad i. ſicut
a. ſe hꝫ ad d. / igitur ſe hꝫ in l. ꝓportione. Patꝫ ↄ̨ña
ex hypotheſi. Probat̄̄ antecedēs: et volo / a. dimi
nuatur ad equalitatē b. ꝑdendo g. differentiã per
quã excedit ipſum b. ex hypotheſi: et d. diminuatur
ad equalitatē c. ꝑdendo i. differentiã ꝑ quã excedit
e. ex hypotheſi: et manifeſtū eſt / reſidui ex ipſo a. /
qḋ eſt b. ad reſiduū ex ipſo d. / qḋ eſt e. adhuc eſt l. ꝓ
portio: vt ptꝫ ex hypotheſi: g̊ inṫ deꝑditū ab ip̄o a
et deꝑditū ab ip̄o d. eſt etiã l. ꝓportio: et deꝑditū ab
ip̄o a eſt g. et deꝑditū ab ipſo d. eſt i. / g̊ g. ſe hꝫ ad i.
ſicut a. ad d. puta in l. ꝓportione. Ptꝫ tamen ↄ̨ña
ex primo correlario quinte cõcluſionis ſecūdi ca-
pitis huiꝰ partis. Et ſic ptꝫ maior. Iam ꝓbo mi-
norē / q2 h. ſe hꝫ ad k. ſicut b. ſi ſe hꝫ ad e. / igr̄ ꝓpoſitū
Probat̄̄ ãtecedēs: et volo / b. diminuat̄̄ ad equa-
litatē c: perdendo h. differentiã: et e. diminuat̄̄ ad
equalitatē f. perdendo k. differentiã: et manifeſtuꝫ
eſt / reſidui ex ipſo b. / qḋ eſt c. ad reſiduū ex ipſo e.
qḋ eſt f. eſt adhuc l. ꝓportio: vt patet ex hypotheſi:
igitur inter h. deperditū a b. termino maiori, et
k. deꝑditū ab c. ṫmīo minori eſt ēt l ꝓportio: vt ſu-
pra argutū eſt / igr̄ h. ſe hꝫ ad k. ſicut b. ad e. puta in
l. ꝓportione: qḋ fuit probandū. Et ſic ptꝫ correla-
riū. 33Calcu. de
īduc. gra
dus ſūmi Et hec ē ſuppoſitio quã calculator ponit ī ca-
pitulo de inductione gradus ſummi circa princi-
piū ſub iſta forma. Si ſint tria cõtinuo ꝓportio-
nabilia ꝓportione arithmetica: et ſint alia tria cõ
ſimiliter ꝓportionabilia proportiõe geometrica
ſicut prima tria: illa etiã ſunt cãtinuo ꝓportiõabi
lia proportiõe arithmetica. 44Tertium
correlar̄. ¶ Sequit̄̄ ex hoc ter-
tio / ſi ſint tres termini arithmetice proportiõa-
biles: et quilibet illoꝝ dupletur, aut tripletur, aut
ſexquialteretur .etc̈. ſemꝑ ꝓportio extremi ad ex-
tremū manet equalis: et cõtinuo manebūt illi tres
termini arithmetice ꝓportiõabiles: et in ea ꝓpor-
tiõe in qua termini augmētant̄̄ exceſſus augmētat̄̄