36 Probatur prima pars: quia ſemper vter extre-
morum acquirit equalē proportionē: igitur con-
tinuo inter ea manet eadem proportio. Secunda
pars probatur: quia continuo manet eadem pro-
portio inter medium et tertium continuo etiam
manet eadem roportio que antea erat inter ſecun
dum et tertium eadem ratione qua inter extrema
manet eadem proportio: igttur continuo illi ter-
mini manent proportionabiles arithmetice.
morum acquirit equalē proportionē: igitur con-
tinuo inter ea manet eadem proportio. Secunda
pars probatur: quia continuo manet eadem pro-
portio inter medium et tertium continuo etiam
manet eadem roportio que antea erat inter ſecun
dum et tertium eadem ratione qua inter extrema
manet eadem proportio: igttur continuo illi ter-
mini manent proportionabiles arithmetice.
Patet conſequentia ex precedenti correlario.
Tertia autem ſic probatur: quia ſemper illi ex-
ceſſus cõtinuo manent partes aliquote cõſimilis
denominationis ſuorū numerorū: igitur in ea ꝓ-
portione qua numeri fiunt maiores et illi exceſſus
etiã fiūt maiores: quia ſunt partes aliquote illoꝝ
numerorū eiuſdē denominationis. Et ſic patet cor
relariū. 114. correĺ
Calcu. in
prīcipio
de ītē. ele. ¶ Sequitur quarto: ſi ſint tres termini
arithmetice ꝓportionabiles: et ſtante maximo il-
lorū īuariato deſcreſcat minimus illoꝝ ſucceſſiue:
ita cõtinue illi tres maneant arithmetice ꝓpor-
tionabiles: neceſſe eſt mediū in duplo tardius cõ-
tinuo decreſcere minimo: neceſſe quo eſt ꝓporti-
onē extremi ad extremū continuo augeri: vt datis
his tribus terminis .12.8.4. et ſtantibus .12. decre
ſcant .4. perdendo binariū: ſi illi tres termini de-
beant cõtinuo manere arithmetice ꝓportionabi-
les: neceſſe eſt numerū mediū perdere vnitatē: et ſic
manebunt arithmetice ꝓportiõabiles. Manebūt
em̄ .12.7.2. et manebit maior ꝓportio quã erat an
tea inter extrema. Probatur / et ſint a.b.c. tres ter-
mini arithmetice ꝓportionabiles a. maximus c.
vero minimus: et perdat c. vnã partē ſui que ſit d.
et medietas d. ſit e. / et tunc dico / cum c. perdit d.b.
perdit e. adequate. Quod ſic ꝓbatur: quoniã illi
tres termini cõtinuo manēt ꝓportiõabiles arith-
metice: igitur medium inter extrema eſt medietas
aggregati et extremis vt ex ſuperioribus conſtat:
ſed facta tali diminutiõe aggregatū ex extremis
eſt minus per d. latitudinē quã antea: quia illam
perdit adequate: igitur medietas illius aggrega
ti effecta eſt minor per medietatē illius quod per-
dit totū puta per medietatē ipſiꝰ d: ſed medietas
ipſius d. eſt e. / igitur medietas illius aggregati fa
cta eſt minor per e. adeq̈te: et illa medietas eſt me-
diū inter illa extrema: igitur medietas inter illa
extrema perdidit e. / quod fuit probandū. Secūda
vero pars patet ex priori parte decime ſuppoſiti-
onis ſecundi capitis huius: quoniã numerus mi-
nor creſcit ſtante maiore. Et hec eſt quedã ſuppo-
ſitio quã ponit: et aliter probat calculator in prin
cipio capituli de intenſione elementi. 225. correĺ. ¶ Sequitur
quinto / oīs ꝓportio cõponitur ex duabus pro-
tionibus puta maximi termini ad mediū: et medii
ad minimū: et proportio maximi ad mediū minor
eſt quã ſubdupla ad ipſam que eſt extremi ad ex-
tremū: et proportio medii termini ad minimū ma
ior eſt quam ſubdupla: vt proportio ſexquialtera
que eſt .6. ad .4. cõponitur ex proportione .6. ad .5
et .5. ad .4. et proportio .6. ad .5. minor eſt quã ſub-
dupla: et .5. ad .4. maior eſt quã ſubdupla ad ſex-
quialterã. Prima pars huius patet ex concluſiõe /
et ſecūda probatur: quia omne cõpoſitū adequate
ex duobus inequalibus eſt maius quam duplum
ad minus illorum: et minus quam duplum ad ma
ius illorum / vt patet ex ſexta ſuppoſitione huius
ſed omnis proportio componitur ex duabus pro
portionibus inequalibus quarum minor eſt ma-
oris extremi ad medium: et maior medii ad mini-
mum extremum: vt patet ex eadem cõcluſione: igi-
tur omnis proportio eſt maior quãdupla ad pro-
portionem que eſt maioris extremi ad medium: et
minor quam dupla ad proportionem quē eſt me-
dii termini ad minimum extremum. Patet conſe
quentia in primo prime: et ſic patet correlarium.
336. correĺ. ¶ Sequitur ſexto: omnis proportio ſuperpar-
ticularis componitur ex duabus quarum vna eſt
maximi termini ad medium: et alia eſt medii ad mi
nus extremum: et vtra illarum eſt ſuperparticu-
laris: et proportio medii ad minimum demonina-
tur a parte aliquota denominata a numero du-
plo ad numerū a quo denominatur pars aliquo-
ta a qua denoīatur ꝓportio maximi ad minimū:
et ꝓportio maximi termini ad medium denoīatur
a parte aliquota denominata a numero īmedia-
te ſequente numerum illum duplum: vt proportio
ſexquialtera que eſt .6. ad .4. cõponitur ex duabꝰ
inequalibus / vt dictum eſt: et vtra illarum eſt ſu-
perparticularis. Nam proportio .6. ad .5. eſt ſu-
perparticularis et .5. ad .4. ſimiliter: et proportio
que eſt .5. ad .4. denomīatur a quarta que eſt pars
aliquota denominata a numero in duplo maiore
quam ſit numerus a quo denominatur medietas
a qua medietate denominatur ſexquialtera. De-
nominatur enim medietas a binario, et quarta a
quaternario, et quinta denominatur a quinario
qui eſt numerus ſequens immediate quaternariū
Probatur prima pars huius ex correlario imme
diate precedenti: et ſecunda probatur / et quia om-
nis proportio ſuperparticularis reperitur inter
duos numeros immediatos: vt patet ex eius gene
ratione poſita in prima parte: capio igitur vnam
proportionem ſuperparticularem que ſit f. et du-
os terminos eius in numeris immediatos: puta
a. maiorem: et c. minorem: et tunc dico / propor-
tio ſuperparticularis inter illos duos numeros
immediatos cõponitur adequate ex duabus pro-
portionibus ſuperparticularibus: ex vna videli-
cet que eſt maximi ad medium: et altera que eſt me
dii ad extremum. Probatur quoniam cum a. et c.
ſunt nnmeri immediati: et a. maior: ſequitur / a.
excedit c. per vnitatem: dupletur igitur tam c. quã
a. / et manifeſtum eſt / inter illos duos numeros
duplatos manet eadeꝫ proportio que erat antea
puta f. / vt patet ex correlario decime ſuppoſitio-
nis ſecundi capitis huius: igitur exceſſus maioris
termini. ſic duplati ad minorem etiam ſit dupla-
tum erit in duplo maior: vt patet ex tertio corre-
lario huius concluſionis: et antea erat vnitas / er-
go modo eſt dualitas: et per conſequens inter nu
merum maiorem ipſius proportionis f. et nume-
rum minorem mediat numerus excedens minimū
illorum per vnitatem: et qui exceditur maximo
illorum per vnitatem. Patet hec conſequentia /
quia omnis numerus excedens alterum per dua-
litatem diſtat ab eo per vnum numerum tantum
in naturali ſerie numerorum / vt ſatis conſtat: ſit
igitur talis numerus medius b. / et ſequitur / ma-
ximi termini illius proportionis f. ſuperparticu-
laris date ad ipſum b. eſt proportio ſuperparti-
cularis: et ipſius b. ad minimum extremum eiuſ-
dem proportionis f. eſt etiam proportio ſuper-
particularis: quia illi tres numeri ſunt imme-
diati / igitur illa proportio f. ſuperparticularis
Tertia autem ſic probatur: quia ſemper illi ex-
ceſſus cõtinuo manent partes aliquote cõſimilis
denominationis ſuorū numerorū: igitur in ea ꝓ-
portione qua numeri fiunt maiores et illi exceſſus
etiã fiūt maiores: quia ſunt partes aliquote illoꝝ
numerorū eiuſdē denominationis. Et ſic patet cor
relariū. 114. correĺ
Calcu. in
prīcipio
de ītē. ele. ¶ Sequitur quarto: ſi ſint tres termini
arithmetice ꝓportionabiles: et ſtante maximo il-
lorū īuariato deſcreſcat minimus illoꝝ ſucceſſiue:
ita cõtinue illi tres maneant arithmetice ꝓpor-
tionabiles: neceſſe eſt mediū in duplo tardius cõ-
tinuo decreſcere minimo: neceſſe quo eſt ꝓporti-
onē extremi ad extremū continuo augeri: vt datis
his tribus terminis .12.8.4. et ſtantibus .12. decre
ſcant .4. perdendo binariū: ſi illi tres termini de-
beant cõtinuo manere arithmetice ꝓportionabi-
les: neceſſe eſt numerū mediū perdere vnitatē: et ſic
manebunt arithmetice ꝓportiõabiles. Manebūt
em̄ .12.7.2. et manebit maior ꝓportio quã erat an
tea inter extrema. Probatur / et ſint a.b.c. tres ter-
mini arithmetice ꝓportionabiles a. maximus c.
vero minimus: et perdat c. vnã partē ſui que ſit d.
et medietas d. ſit e. / et tunc dico / cum c. perdit d.b.
perdit e. adequate. Quod ſic ꝓbatur: quoniã illi
tres termini cõtinuo manēt ꝓportiõabiles arith-
metice: igitur medium inter extrema eſt medietas
aggregati et extremis vt ex ſuperioribus conſtat:
ſed facta tali diminutiõe aggregatū ex extremis
eſt minus per d. latitudinē quã antea: quia illam
perdit adequate: igitur medietas illius aggrega
ti effecta eſt minor per medietatē illius quod per-
dit totū puta per medietatē ipſiꝰ d: ſed medietas
ipſius d. eſt e. / igitur medietas illius aggregati fa
cta eſt minor per e. adeq̈te: et illa medietas eſt me-
diū inter illa extrema: igitur medietas inter illa
extrema perdidit e. / quod fuit probandū. Secūda
vero pars patet ex priori parte decime ſuppoſiti-
onis ſecundi capitis huius: quoniã numerus mi-
nor creſcit ſtante maiore. Et hec eſt quedã ſuppo-
ſitio quã ponit: et aliter probat calculator in prin
cipio capituli de intenſione elementi. 225. correĺ. ¶ Sequitur
quinto / oīs ꝓportio cõponitur ex duabus pro-
tionibus puta maximi termini ad mediū: et medii
ad minimū: et proportio maximi ad mediū minor
eſt quã ſubdupla ad ipſam que eſt extremi ad ex-
tremū: et proportio medii termini ad minimū ma
ior eſt quam ſubdupla: vt proportio ſexquialtera
que eſt .6. ad .4. cõponitur ex proportione .6. ad .5
et .5. ad .4. et proportio .6. ad .5. minor eſt quã ſub-
dupla: et .5. ad .4. maior eſt quã ſubdupla ad ſex-
quialterã. Prima pars huius patet ex concluſiõe /
et ſecūda probatur: quia omne cõpoſitū adequate
ex duobus inequalibus eſt maius quam duplum
ad minus illorum: et minus quam duplum ad ma
ius illorum / vt patet ex ſexta ſuppoſitione huius
ſed omnis proportio componitur ex duabus pro
portionibus inequalibus quarum minor eſt ma-
oris extremi ad medium: et maior medii ad mini-
mum extremum: vt patet ex eadem cõcluſione: igi-
tur omnis proportio eſt maior quãdupla ad pro-
portionem que eſt maioris extremi ad medium: et
minor quam dupla ad proportionem quē eſt me-
dii termini ad minimum extremum. Patet conſe
quentia in primo prime: et ſic patet correlarium.
336. correĺ. ¶ Sequitur ſexto: omnis proportio ſuperpar-
ticularis componitur ex duabus quarum vna eſt
maximi termini ad medium: et alia eſt medii ad mi
nus extremum: et vtra illarum eſt ſuperparticu-
laris: et proportio medii ad minimum demonina-
tur a parte aliquota denominata a numero du-
plo ad numerū a quo denominatur pars aliquo-
ta a qua denoīatur ꝓportio maximi ad minimū:
et ꝓportio maximi termini ad medium denoīatur
a parte aliquota denominata a numero īmedia-
te ſequente numerum illum duplum: vt proportio
ſexquialtera que eſt .6. ad .4. cõponitur ex duabꝰ
inequalibus / vt dictum eſt: et vtra illarum eſt ſu-
perparticularis. Nam proportio .6. ad .5. eſt ſu-
perparticularis et .5. ad .4. ſimiliter: et proportio
que eſt .5. ad .4. denomīatur a quarta que eſt pars
aliquota denominata a numero in duplo maiore
quam ſit numerus a quo denominatur medietas
a qua medietate denominatur ſexquialtera. De-
nominatur enim medietas a binario, et quarta a
quaternario, et quinta denominatur a quinario
qui eſt numerus ſequens immediate quaternariū
Probatur prima pars huius ex correlario imme
diate precedenti: et ſecunda probatur / et quia om-
nis proportio ſuperparticularis reperitur inter
duos numeros immediatos: vt patet ex eius gene
ratione poſita in prima parte: capio igitur vnam
proportionem ſuperparticularem que ſit f. et du-
os terminos eius in numeris immediatos: puta
a. maiorem: et c. minorem: et tunc dico / propor-
tio ſuperparticularis inter illos duos numeros
immediatos cõponitur adequate ex duabus pro-
portionibus ſuperparticularibus: ex vna videli-
cet que eſt maximi ad medium: et altera que eſt me
dii ad extremum. Probatur quoniam cum a. et c.
ſunt nnmeri immediati: et a. maior: ſequitur / a.
excedit c. per vnitatem: dupletur igitur tam c. quã
a. / et manifeſtum eſt / inter illos duos numeros
duplatos manet eadeꝫ proportio que erat antea
puta f. / vt patet ex correlario decime ſuppoſitio-
nis ſecundi capitis huius: igitur exceſſus maioris
termini. ſic duplati ad minorem etiam ſit dupla-
tum erit in duplo maior: vt patet ex tertio corre-
lario huius concluſionis: et antea erat vnitas / er-
go modo eſt dualitas: et per conſequens inter nu
merum maiorem ipſius proportionis f. et nume-
rum minorem mediat numerus excedens minimū
illorum per vnitatem: et qui exceditur maximo
illorum per vnitatem. Patet hec conſequentia /
quia omnis numerus excedens alterum per dua-
litatem diſtat ab eo per vnum numerum tantum
in naturali ſerie numerorum / vt ſatis conſtat: ſit
igitur talis numerus medius b. / et ſequitur / ma-
ximi termini illius proportionis f. ſuperparticu-
laris date ad ipſum b. eſt proportio ſuperparti-
cularis: et ipſius b. ad minimum extremum eiuſ-
dem proportionis f. eſt etiam proportio ſuper-
particularis: quia illi tres numeri ſunt imme-
diati / igitur illa proportio f. ſuperparticularis