40
baſanū
primo.
Quarta ſuppoſitio ſiue petitio.
Oē
quod ſucceſſiue diminuitur vſ ad non gradū eſt
latitudo diuiſibilis: et in duas medietates: et ī tres
tertias, et in quatuor quartas, et ſic conſequenter
Diminuitur enim ad ſubduplum, ad ſubtriplum,
ad ſubquadruplum: et ſic deinceps.
quod ſucceſſiue diminuitur vſ ad non gradū eſt
latitudo diuiſibilis: et in duas medietates: et ī tres
tertias, et in quatuor quartas, et ſic conſequenter
Diminuitur enim ad ſubduplum, ad ſubtriplum,
ad ſubquadruplum: et ſic deinceps.
Quīta ſuppoſitio.
Latitudo propor-
tionis maiores inequalitatis eſt ſucceſſiue dimi-
nuibilis vſ ad nõ gradum. Probatur tum pri-
mo / quia maius extremum proportionis maioris
īequalitatis ſucceſſiue valet diminui vſ ad equa
litatē minoris extremi: et in tali diminutione pro-
portio maioris inequalitatis ſucceſſiue diminui-
tur ad non gradum / vt conſtat: igitur in tali di-
minutione quelibet proportio minor illa ſignata
dabitur. Tum ſecundo / q2 vt baſanus concedit ve
locitas motus correſpondet magnitudini ꝓpor-
tionis quo ad equalitatē: ſed ipſa velocitas mo-
tus eſt diminuibilis continuo ſucceſſiue vſ ad nõ
gradū: igitur et latitudo proportionis ſibi corre-
ſpondens inequalitate. ¶ Ex hac ſequitur / que-
libet latitudo proportionis maioris inequalita-
tis diuidi poteſt in duas medietates, in tres ter-
tias, in quatuor quartas, et ſic deinceps. Patet
hoc correlariū ex priore auxiliante quarta.
tionis maiores inequalitatis eſt ſucceſſiue dimi-
nuibilis vſ ad nõ gradum. Probatur tum pri-
mo / quia maius extremum proportionis maioris
īequalitatis ſucceſſiue valet diminui vſ ad equa
litatē minoris extremi: et in tali diminutione pro-
portio maioris inequalitatis ſucceſſiue diminui-
tur ad non gradum / vt conſtat: igitur in tali di-
minutione quelibet proportio minor illa ſignata
dabitur. Tum ſecundo / q2 vt baſanus concedit ve
locitas motus correſpondet magnitudini ꝓpor-
tionis quo ad equalitatē: ſed ipſa velocitas mo-
tus eſt diminuibilis continuo ſucceſſiue vſ ad nõ
gradū: igitur et latitudo proportionis ſibi corre-
ſpondens inequalitate. ¶ Ex hac ſequitur / que-
libet latitudo proportionis maioris inequalita-
tis diuidi poteſt in duas medietates, in tres ter-
tias, in quatuor quartas, et ſic deinceps. Patet
hoc correlariū ex priore auxiliante quarta.
Sexta ſuppoſitio.
Omne quod effi-
citur ſubduplū ad id quod erat antea perdit me-
dietatem ſui: et id quod remanet eſt tantū quantuꝫ
eſt id quod perdidit / qm̄ perdidit aliã medietatem
et cuiuſlibet quanti medietates ſunt equales.
citur ſubduplū ad id quod erat antea perdit me-
dietatem ſui: et id quod remanet eſt tantū quantuꝫ
eſt id quod perdidit / qm̄ perdidit aliã medietatem
et cuiuſlibet quanti medietates ſunt equales.
His ſuppoſitis aduertendū eſt / ba-
ſanus volens defenſare quãlibet proportionalē ra-
tionalē cuilibet alteri eſſe cõmenſurabilē aſtruxit
proportionū cõmenſurabilitatē ſiue ꝓportioneꝫ
aſſumendã eſſe ex denominationū ꝓportionibus
ponens talem concluſionē. Proportionū propor
tio eſt earū denominationū proportio: vt quadru
pla eſt dupla ad duplã: q2 inter earum denomina
tiones ſiue numeros a quibus denominantur eſt
proportio dupla, a binario enim dupla: et a qua-
ternario quadrupla denomīatur. Item dupla eſt
ſexquitertia ad ſexquialteram: q2 dupla a bina-
rio ſexquialtera vero ab vnitate cū dimidio deno
minatur. Conſtat autem binarii ad vnitatem cum
dimidio proportionem ſexquitertiam eſſe.
11Contra ſanus volens defenſare quãlibet proportionalē ra-
tionalē cuilibet alteri eſſe cõmenſurabilē aſtruxit
proportionū cõmenſurabilitatē ſiue ꝓportioneꝫ
aſſumendã eſſe ex denominationū ꝓportionibus
ponens talem concluſionē. Proportionū propor
tio eſt earū denominationū proportio: vt quadru
pla eſt dupla ad duplã: q2 inter earum denomina
tiones ſiue numeros a quibus denominantur eſt
proportio dupla, a binario enim dupla: et a qua-
ternario quadrupla denomīatur. Item dupla eſt
ſexquitertia ad ſexquialteram: q2 dupla a bina-
rio ſexquialtera vero ab vnitate cū dimidio deno
minatur. Conſtat autem binarii ad vnitatem cum
dimidio proportionem ſexquitertiam eſſe.
baſanū
primo.
Sed contra hanc opinationem mea
ſententia mathemathicis principiis derogantē et
contrariã: arguitur primo ſic. Ex hac opinione ſe
quitur octuplam eſſe duplaꝫ ad quadruplam: ſed
conſequens eſt manifeſte falſū: igitur illud ex quo
ſequitur. Sequela probatur / q2 illarū proportio-
onū octuple videlicet et quadruple denominatio-
nes ſiue numeros a quibus denominãtur, duple
ꝓportiõis rationē habere conſtat .8. em̄ ad .4. du
pla ꝓportio eſt: igitur expoſitiõe octupla dupla
eſt ad quadruplã. Iã falſitatē cõſequentis oſten-
damus ſuꝑeſt: qm̄ ſi octupla eſt dupla ad quadru-
plã: ſequitur / quadrupla eſt medietas ipſiꝰ octu
ple: vt ptꝫ ex prima ſuppoſitione: ſed cõſequēs eſt
falſum: igitur illud ex quo ſequitur: q2 tūc ſeque-
retur / octupla cõtineret quadruplã bis adequa
te: ſed hoc eſt falſuꝫ / q2 cõtinet quadruplã et duplã
adequate / vt ptꝫ in his terminis .8. ad .4. et .4. ad .1.
Patet hec conſequentia ex ſecunda parte eiuſdē
ſuppoſitionis. 22Cõfirma
tio ṗma. ¶ Et confirmatur / q2 omne dupluꝫ
ad aliquod continet ipſum vel equale ei bis tantū
ſed octupla eſt dupla ad quadruplã per te / igitur
continet ipſum bis tantū: ſed cõſequens eſt falſuꝫ /
q2 ſexdecupla cõtinet quadruplã bis tantū. Cõſe-
quentia ptꝫ ex ſe: et minor eſt prima pars ſecunde
ſuppoſitionis. 33Cõfirma
tio ſcḋa ¶ Confirmatur ſecundo / q2 ſi poſi-
tio eſſet vera / ſequeretur / dupla eſſet medietas
octuple: ſed hoc eſt falſum: igitur illud ex quo ſe-
quitur: q2 ſecundū iſtã opinionē octupla eſt qua-
drupla ad duplã / vt ptꝫ ex ꝓportione denoīationū
duple et octuple: et ſi octupla eſt quadrupla ad du
plã iam ſequitur / ipſa dupla eſt quarta octuple
et nõ medietas. Quodlibet em̄ eſt quadruplū ad
ſui quartã: cum eã contineat quater adequate. Iã
probatur ſequela: et capio ꝓportionē octuplam: et
volo / diminuatur quouſ fiat quadrupla ade-
quate: vt poſito / octo diminuãtur vſ ad quatu
or: et arguitur ſic: ipſa proportio octupla efficitur
in duplo minor vĺ cõcedit poſitio. Efficitur enim
q̈drupla que eſt ſubdupla ad octuplã: igitur ipſa
proportio octupla perdit adequate medietatem
ſui / vt ptꝫ ex tertia ſuppoſitione: et non perdit niſi
duplã adequate / vt conſtat / igitur dupla eſt medie
tas octuple / qḋ fuit inferendū. 443. confir-
matio ¶ Et ↄ̨firmat̄̄ tertio /
q2 ſi iſta poſitio eſſet vera / ſeq̄ret̄̄ / dupla eſſet eq̈-
lis quadruple. Cõſequēs eſt falſum et cõtra opi-
nantem / igitur illud ex quo ſequitur. Sequela ar-
guitur / et volo / potentia vt octo moueat reſiſten
tiam vt vnum velocitate vt quatuor exempli gra-
tia / deinde volo / potētia ſtante reſiſtentia: dimi-
nuatur vſ ad ſubduplū: et arguo ſic / ille motꝰ ſiue
velocitas vt quatuor diminuetur ad ſubduplum:
igitur perdit medietatē ſui. Patet cõſequentia ex
ſuppoſitione tertia: et per cõſequens nõ manebit
niſi velocitas vt duo: et deperdet̄̄ velocitas vt duo /
igitur tanta ꝓportio deperdita eſt quanta manet
Patet hec cõſequētia / q2 ab equalibꝰ ꝓportioni-
bus equales latitudines motuū ꝓueniūt: ſed ma-
net quadrupla / ergo deperdita eſt ei equalis: ſed
deperdita eſt dūtaxat ꝓportio dupla: ergo dupla
eſt equalis quadruple: quod fuit inferendum.
ſententia mathemathicis principiis derogantē et
contrariã: arguitur primo ſic. Ex hac opinione ſe
quitur octuplam eſſe duplaꝫ ad quadruplam: ſed
conſequens eſt manifeſte falſū: igitur illud ex quo
ſequitur. Sequela probatur / q2 illarū proportio-
onū octuple videlicet et quadruple denominatio-
nes ſiue numeros a quibus denominãtur, duple
ꝓportiõis rationē habere conſtat .8. em̄ ad .4. du
pla ꝓportio eſt: igitur expoſitiõe octupla dupla
eſt ad quadruplã. Iã falſitatē cõſequentis oſten-
damus ſuꝑeſt: qm̄ ſi octupla eſt dupla ad quadru-
plã: ſequitur / quadrupla eſt medietas ipſiꝰ octu
ple: vt ptꝫ ex prima ſuppoſitione: ſed cõſequēs eſt
falſum: igitur illud ex quo ſequitur: q2 tūc ſeque-
retur / octupla cõtineret quadruplã bis adequa
te: ſed hoc eſt falſuꝫ / q2 cõtinet quadruplã et duplã
adequate / vt ptꝫ in his terminis .8. ad .4. et .4. ad .1.
Patet hec conſequentia ex ſecunda parte eiuſdē
ſuppoſitionis. 22Cõfirma
tio ṗma. ¶ Et confirmatur / q2 omne dupluꝫ
ad aliquod continet ipſum vel equale ei bis tantū
ſed octupla eſt dupla ad quadruplã per te / igitur
continet ipſum bis tantū: ſed cõſequens eſt falſuꝫ /
q2 ſexdecupla cõtinet quadruplã bis tantū. Cõſe-
quentia ptꝫ ex ſe: et minor eſt prima pars ſecunde
ſuppoſitionis. 33Cõfirma
tio ſcḋa ¶ Confirmatur ſecundo / q2 ſi poſi-
tio eſſet vera / ſequeretur / dupla eſſet medietas
octuple: ſed hoc eſt falſum: igitur illud ex quo ſe-
quitur: q2 ſecundū iſtã opinionē octupla eſt qua-
drupla ad duplã / vt ptꝫ ex ꝓportione denoīationū
duple et octuple: et ſi octupla eſt quadrupla ad du
plã iam ſequitur / ipſa dupla eſt quarta octuple
et nõ medietas. Quodlibet em̄ eſt quadruplū ad
ſui quartã: cum eã contineat quater adequate. Iã
probatur ſequela: et capio ꝓportionē octuplam: et
volo / diminuatur quouſ fiat quadrupla ade-
quate: vt poſito / octo diminuãtur vſ ad quatu
or: et arguitur ſic: ipſa proportio octupla efficitur
in duplo minor vĺ cõcedit poſitio. Efficitur enim
q̈drupla que eſt ſubdupla ad octuplã: igitur ipſa
proportio octupla perdit adequate medietatem
ſui / vt ptꝫ ex tertia ſuppoſitione: et non perdit niſi
duplã adequate / vt conſtat / igitur dupla eſt medie
tas octuple / qḋ fuit inferendū. 443. confir-
matio ¶ Et ↄ̨firmat̄̄ tertio /
q2 ſi iſta poſitio eſſet vera / ſeq̄ret̄̄ / dupla eſſet eq̈-
lis quadruple. Cõſequēs eſt falſum et cõtra opi-
nantem / igitur illud ex quo ſequitur. Sequela ar-
guitur / et volo / potentia vt octo moueat reſiſten
tiam vt vnum velocitate vt quatuor exempli gra-
tia / deinde volo / potētia ſtante reſiſtentia: dimi-
nuatur vſ ad ſubduplū: et arguo ſic / ille motꝰ ſiue
velocitas vt quatuor diminuetur ad ſubduplum:
igitur perdit medietatē ſui. Patet cõſequentia ex
ſuppoſitione tertia: et per cõſequens nõ manebit
niſi velocitas vt duo: et deperdet̄̄ velocitas vt duo /
igitur tanta ꝓportio deperdita eſt quanta manet
Patet hec cõſequētia / q2 ab equalibꝰ ꝓportioni-
bus equales latitudines motuū ꝓueniūt: ſed ma-
net quadrupla / ergo deperdita eſt ei equalis: ſed
deperdita eſt dūtaxat ꝓportio dupla: ergo dupla
eſt equalis quadruple: quod fuit inferendum.
Secundo arguitur ſic / ſi illa poſitio
eſſet vera / ſequeretur / quarta alicuiꝰ et ſua medie
tas eſſent equales ſed cõſequens eſt falſum: igitur
illud ex quo ſequitur. Sequela ꝓbatur / q2 dupla
eſt quarta pars octuple et medietas octuple ꝑ po-
ſitionē: igitur propoſitū. Maior probatur / q2 du
pla eſt quarta pars ipſius octuple cū octuple ad
duplam ſit proportio quadrupla / vt patet ex po-
ſitiõe. Minor probatur: et volo / octupla perdat
ꝓportionē duplã adequate: et manifeſtū eſt / effi-
citur quadrupla: et per cõſequens ſubdupla ad id
quod erat antea / vt patet ex poſitione: igitur ꝑdit
medietatē ſui. Patet cõſequentia ex tertia et ſexta
ſuppoſitionibus: et non perdit niſi duplam: ergo
dupla eſt medietas octuple / quod fuit probandū.
55Cõfirma
tio ṗma. ¶ Et confirmatur / quia ſi poſitio eſſet vera / ſeque-
retur / aliquid contineret alterum bis adequate
et tamen non eſſet duplum ad illud: ſed minꝰ quaꝫ
duplum: conſequens eſt manifeſte falſuꝫ et contra
diffinitionem proportionis duple: igitur. Seque
la probatur: quia proportio dupla ſexquiquar-
ta bis adequate continet ſexquialteram: patet
in his terminis .9.6.4. Nouem enim ad quatuor
eſt proportio dupla ſexquiquarta: et componitur
adequate ex proportione .9. ad .6. et .6. ad .4. qua
rum vtra eſt ſexquialtera: et tamen ipſa propor
tio dupla ſexquiquarta eſt minor quam dupla
ad ſexquialteram: igitur propoſitum.
eſſet vera / ſequeretur / quarta alicuiꝰ et ſua medie
tas eſſent equales ſed cõſequens eſt falſum: igitur
illud ex quo ſequitur. Sequela ꝓbatur / q2 dupla
eſt quarta pars octuple et medietas octuple ꝑ po-
ſitionē: igitur propoſitū. Maior probatur / q2 du
pla eſt quarta pars ipſius octuple cū octuple ad
duplam ſit proportio quadrupla / vt patet ex po-
ſitiõe. Minor probatur: et volo / octupla perdat
ꝓportionē duplã adequate: et manifeſtū eſt / effi-
citur quadrupla: et per cõſequens ſubdupla ad id
quod erat antea / vt patet ex poſitione: igitur ꝑdit
medietatē ſui. Patet cõſequentia ex tertia et ſexta
ſuppoſitionibus: et non perdit niſi duplam: ergo
dupla eſt medietas octuple / quod fuit probandū.
55Cõfirma
tio ṗma. ¶ Et confirmatur / quia ſi poſitio eſſet vera / ſeque-
retur / aliquid contineret alterum bis adequate
et tamen non eſſet duplum ad illud: ſed minꝰ quaꝫ
duplum: conſequens eſt manifeſte falſuꝫ et contra
diffinitionem proportionis duple: igitur. Seque
la probatur: quia proportio dupla ſexquiquar-
ta bis adequate continet ſexquialteram: patet
in his terminis .9.6.4. Nouem enim ad quatuor
eſt proportio dupla ſexquiquarta: et componitur
adequate ex proportione .9. ad .6. et .6. ad .4. qua
rum vtra eſt ſexquialtera: et tamen ipſa propor
tio dupla ſexquiquarta eſt minor quam dupla
ad ſexquialteram: igitur propoſitum.