42 falſa et probatio nulla.
et ſecundumm baſanum ē
quadrupla ad quadruplam: igitur dicta baſani
et calculatoris non coherent. ¶ Hoc idem ex mul-
tis aliis locis calculatoris euidenter deprehēde-
re potes. ſed hii loci ſufficiant. Et ſic relinquo po-
ſitionem eius confutatam et exploſam: que tamē
proterue defenſari poteſt: ſed nõ conſequenter ad
mathemathica prīcipia vt dictū eſt. 11correĺm. ¶ Ex his igit̄̄
abunde apparet / proportio proportionū nõ eſt
ſicut proportio denominationum.
quadrupla ad quadruplam: igitur dicta baſani
et calculatoris non coherent. ¶ Hoc idem ex mul-
tis aliis locis calculatoris euidenter deprehēde-
re potes. ſed hii loci ſufficiant. Et ſic relinquo po-
ſitionem eius confutatam et exploſam: que tamē
proterue defenſari poteſt: ſed nõ conſequenter ad
mathemathica prīcipia vt dictū eſt. 11correĺm. ¶ Ex his igit̄̄
abunde apparet / proportio proportionū nõ eſt
ſicut proportio denominationum.
Capitulū ſextū / in quo agitur de pro-
portionū proportione: cõmenſurabilita
te earūdem, et incõmenſurabilitate.
portionū proportione: cõmenſurabilita
te earūdem, et incõmenſurabilitate.
PRo ſpecialiori noticia propor
tionis ꝓportionū habenda ſit.
tionis ꝓportionū habenda ſit.
Prima ſuppoſitio.
Cõmenſurabilia
ſiue in ꝓportione rationali ſe habentia ſunt illa
quorū idem eſt pars aliquota vt .4. et .2. pedale et
bipedale. Unitas em̄ eſt pars aliquota et duorū et
quatuor: et medietas pedalis eſt pars aliquota et
pedalis et bipedalis. 22eu. 10. ele. Hec eſt diffinitio cõmenſura
biliū in principio decimi elementoꝝ euclidis.
ſiue in ꝓportione rationali ſe habentia ſunt illa
quorū idem eſt pars aliquota vt .4. et .2. pedale et
bipedale. Unitas em̄ eſt pars aliquota et duorū et
quatuor: et medietas pedalis eſt pars aliquota et
pedalis et bipedalis. 22eu. 10. ele. Hec eſt diffinitio cõmenſura
biliū in principio decimi elementoꝝ euclidis.
Secunda ſuppoſitio.
Ille proportio
nes dicūtur cõmenſurabiles quarum eadem pro-
portio eſt pars aliquota. Patet ex priori.
nes dicūtur cõmenſurabiles quarum eadem pro-
portio eſt pars aliquota. Patet ex priori.
Tertia ſuppoſitio.
Quando aliqua
ꝓportio cõponitur ex aliquot ꝓportionibus ade-
quate ſemꝑ altera illarū eſt ꝓportio que eſt alicu-
ius termini intermedii ad minimū extremū: vt ꝓ-
portio quatuor ad duo componitur ex proportio
ne .4. ad .3. et trium ad duo que eſt alicuius termi-
ni intermedii ad minimum extremum. Patet hec
ſatis ex his que dicta ſunt in quarto capite huius
partis.
ꝓportio cõponitur ex aliquot ꝓportionibus ade-
quate ſemꝑ altera illarū eſt ꝓportio que eſt alicu-
ius termini intermedii ad minimū extremū: vt ꝓ-
portio quatuor ad duo componitur ex proportio
ne .4. ad .3. et trium ad duo que eſt alicuius termi-
ni intermedii ad minimum extremum. Patet hec
ſatis ex his que dicta ſunt in quarto capite huius
partis.
Quarta ſuppoſitio
Quilibet nume-
rus eſt multiplex ad vnitatem Patet ex his que
dicta ſunt in quarto capite: Et rurſns quia omīs
numerus aut componitur ex duabus vnitatibus:
et ſic eſt duplus ad vnitatem. vel ex tribus / et ſic eſt
triplus, vel ex quatuor / et ſic eſt quadruplus: et ſic
in infinitum. ¶ Ex hac ſequitur.
rus eſt multiplex ad vnitatem Patet ex his que
dicta ſunt in quarto capite: Et rurſns quia omīs
numerus aut componitur ex duabus vnitatibus:
et ſic eſt duplus ad vnitatem. vel ex tribus / et ſic eſt
triplus, vel ex quatuor / et ſic eſt quadruplus: et ſic
in infinitum. ¶ Ex hac ſequitur.
Sexta ſuppoſitio.
Nullus numerus
eſt ſuprapartiēs, aut ſuperparticularis: aut mul
tiplex ſuprapartiens, aut multiplex ſuperparti-
cularis ad vnitatem. Probatur / quoniã quilibet
numerus adequate eſt multiplex ad vnitatem / vt
patet ex quarta: igitur nullꝰ eſt ſuprapartiēs aut
ſuperparticularis: aut multiplex etc. ad vnitatem
eſt ſuprapartiēs, aut ſuperparticularis: aut mul
tiplex ſuprapartiens, aut multiplex ſuperparti-
cularis ad vnitatem. Probatur / quoniã quilibet
numerus adequate eſt multiplex ad vnitatem / vt
patet ex quarta: igitur nullꝰ eſt ſuprapartiēs aut
ſuperparticularis: aut multiplex etc. ad vnitatem
His ſuppoſitis ſit
Prima concluſio
Nulla proportio multiplex eſt pars aliquota ali
cuius proportionis non multiplicis. Probatur /
quoniaꝫ multiplex nullius proportionis ſuperꝑ-
ticularis aut ſuprapartientis eſt pars: cum quali
bet tali ſit maior: nec etiam alicuius non multipli
cis alterius: quia ſi ſic detur illa proportio et ſit a. /
et multiplex pars aliquota eius ſit b. inter d. et e.
terminos primos / et arguitur ſic b. proportio mul
tiplex eſt pars aliquota ipſius a. / igitur a. eſt pro-
portio multiplex / quod eſt oppoſitum dati. Pro-
batur conſequentia / quia ſi b. eſt pars aliquota ip
ſius a. / ſequitur / ipſa b. proportio multiplex ali-
quoties ſumpta reddit et componit ipſam a. pro-
portionem: cõponat igitur c. vicibus ſumpta ade
quate: et tūc capio proportionem b. inter primos
numeros eius ſiue terminos d. videlicet maiorem
et e. minorem: et manifeſtum eſt / e. eſt vnitas vt
patet ex quinta ſuppoſitione: capio igitur / tūc vnū
alium numerum que ſe habeat in proportione b.
ad ipſum d. qui ſit f. et iterum vnum alterum qui
ſe habeat in proportione b. ad f: et ſic c. vicibus: et
ſit vltimus numerus ſic ſumptus g. / et manifeſtum
eſt / g. ad e. erit proportio compoſita ex b. ꝓpro-
tione c. vicibus adequate: et illa proportio g. ad e.
eſt multiplex quia eſt inter g. numerum et e. vnita-
tem. Conſequentia patet ex quarta ſuppoſitione
et ſexta: et illa eſt a. proportio per te / ergo a. ē mul
multiplex / quod fuit probandum. Et ſic patet con-
cluſio. ¶ Ex qua ſequitur / nulla proportio non
multiplex eſt dupla, quadrupla, aut aliqua alia
de genere multiplici, ad aliquam multiplicem.
Nulla proportio multiplex eſt pars aliquota ali
cuius proportionis non multiplicis. Probatur /
quoniaꝫ multiplex nullius proportionis ſuperꝑ-
ticularis aut ſuprapartientis eſt pars: cum quali
bet tali ſit maior: nec etiam alicuius non multipli
cis alterius: quia ſi ſic detur illa proportio et ſit a. /
et multiplex pars aliquota eius ſit b. inter d. et e.
terminos primos / et arguitur ſic b. proportio mul
tiplex eſt pars aliquota ipſius a. / igitur a. eſt pro-
portio multiplex / quod eſt oppoſitum dati. Pro-
batur conſequentia / quia ſi b. eſt pars aliquota ip
ſius a. / ſequitur / ipſa b. proportio multiplex ali-
quoties ſumpta reddit et componit ipſam a. pro-
portionem: cõponat igitur c. vicibus ſumpta ade
quate: et tūc capio proportionem b. inter primos
numeros eius ſiue terminos d. videlicet maiorem
et e. minorem: et manifeſtum eſt / e. eſt vnitas vt
patet ex quinta ſuppoſitione: capio igitur / tūc vnū
alium numerum que ſe habeat in proportione b.
ad ipſum d. qui ſit f. et iterum vnum alterum qui
ſe habeat in proportione b. ad f: et ſic c. vicibus: et
ſit vltimus numerus ſic ſumptus g. / et manifeſtum
eſt / g. ad e. erit proportio compoſita ex b. ꝓpro-
tione c. vicibus adequate: et illa proportio g. ad e.
eſt multiplex quia eſt inter g. numerum et e. vnita-
tem. Conſequentia patet ex quarta ſuppoſitione
et ſexta: et illa eſt a. proportio per te / ergo a. ē mul
multiplex / quod fuit probandum. Et ſic patet con-
cluſio. ¶ Ex qua ſequitur / nulla proportio non
multiplex eſt dupla, quadrupla, aut aliqua alia
de genere multiplici, ad aliquam multiplicem.
Probatur facile ex concluſione: quia ſi ſic: iã mul
tiplex eſſet pars aliquota illius nõ multiplicis / vt
conſtat / quod eſt contra concluſionem.
tiplex eſſet pars aliquota illius nõ multiplicis / vt
conſtat / quod eſt contra concluſionem.
Secunda concluſio
Nulla propor-
tio multiplex eſt cõmenſurabilis alicui proportio
ni ſuperparticulari aut ſuprapartienti. Proba-
tur / quoniam cuiuſlibet proportionis multiplicis
vnitas eſt minimum extremum: igitur nulla ꝓpor
tio multiplex eſt cõmenſurabilis alicui proportio
ni ſuperparticulari aut ſuprapartienti. Antece-
dens patet ex quinta ſuppoſitione: et conſequen-
tia probatur / quia detur oppoſitum conſequētis:
et ſit illa proportio ſuperparticularis aut ſuper-
partiens b. et multiplex et commenſurabilis a. / et
ſequitur / aliqua proportio eſt pars aliquota ip
ſius b. et ipſius a. / vt patet ex ſecunda ſuppoſitio-
ne: ſit igitur illa proportio que eſt pars aliquota
c. / et arguit̄̄ ſic / c. ē pars aliq̊ta ipſius a. / igr̄ a. ex ali
quot c. proportionibus adequate componitur.
tio multiplex eſt cõmenſurabilis alicui proportio
ni ſuperparticulari aut ſuprapartienti. Proba-
tur / quoniam cuiuſlibet proportionis multiplicis
vnitas eſt minimum extremum: igitur nulla ꝓpor
tio multiplex eſt cõmenſurabilis alicui proportio
ni ſuperparticulari aut ſuprapartienti. Antece-
dens patet ex quinta ſuppoſitione: et conſequen-
tia probatur / quia detur oppoſitum conſequētis:
et ſit illa proportio ſuperparticularis aut ſuper-
partiens b. et multiplex et commenſurabilis a. / et
ſequitur / aliqua proportio eſt pars aliquota ip
ſius b. et ipſius a. / vt patet ex ſecunda ſuppoſitio-
ne: ſit igitur illa proportio que eſt pars aliquota
c. / et arguit̄̄ ſic / c. ē pars aliq̊ta ipſius a. / igr̄ a. ex ali
quot c. proportionibus adequate componitur.
Patet hec conſequentia ex definitione partis ali
quote: et vltra ex aliquot proportionibus c. ade-
quate componitur: ergo altera illarum c. propor
tionum eſt alicuius termini ītermedii ad minimū
extremum ipſius proportionis a. Patet hec con
ſequentia ex tertia ſuppoſitione. et c. non eſt ꝓpor
tio multiplex / vt conſtat: cum ſit pars aliquota ꝓ-
portionis qualibet multiplice minoris. ergo ſeq̇-
tur / minimum extremum talis ꝓportionis c. nõ
eſt vnitas: et illud minimum extremum proportio
nis .c. eſt minimum extremum proportionis a. / igi
tur illud minimum extremum proportionis a. nõ
eſt vnitas: et a. eſt multiplex per te: ergo non cuiuſ
libet multiplicis vnitas eſt minimum extremum /
quod eſt oppoſitum antecedentis conſequentie ꝓ
bande et quinte ſuppoſitionis.
quote: et vltra ex aliquot proportionibus c. ade-
quate componitur: ergo altera illarum c. propor
tionum eſt alicuius termini ītermedii ad minimū
extremum ipſius proportionis a. Patet hec con
ſequentia ex tertia ſuppoſitione. et c. non eſt ꝓpor
tio multiplex / vt conſtat: cum ſit pars aliquota ꝓ-
portionis qualibet multiplice minoris. ergo ſeq̇-
tur / minimum extremum talis ꝓportionis c. nõ
eſt vnitas: et illud minimum extremum proportio
nis .c. eſt minimum extremum proportionis a. / igi
tur illud minimum extremum proportionis a. nõ
eſt vnitas: et a. eſt multiplex per te: ergo non cuiuſ
libet multiplicis vnitas eſt minimum extremum /
quod eſt oppoſitum antecedentis conſequentie ꝓ
bande et quinte ſuppoſitionis.
Tertia concluſio.
Nulla proportio
multiplex eſt commenſurabilis alicui multiplici
ſuperparticulari aut multiplici ſuprapartienti.
multiplex eſt commenſurabilis alicui multiplici
ſuperparticulari aut multiplici ſuprapartienti.
Probatur: quia ſi aliqua proportio multiplex
ſit commenſurabilis alicui proportioni multipli
ci ſuperparticulari: aut ſuprapartienti: aliqua ꝓ
portio eſſet pars aliquota vtriuſ puta multipli
cis, et multiplicis ſuperparticularis, vel multipli
cis ſuprapartientis que ſit c. / et arguo ſic / c. non eſt
proportio multiplex / vt patet ex prima concluſio-
ne huius: nec eſt ſuperparticularis: aut ſuprapar
tiens vt patet ex ſecunda: igitur erit multiplex ſu
perparticularis, aut multiplex ſuprapartiens: ſꝫ
hoc eſt falſum / igitur c. non eſt pars aliquota pro
ſit commenſurabilis alicui proportioni multipli
ci ſuperparticulari: aut ſuprapartienti: aliqua ꝓ
portio eſſet pars aliquota vtriuſ puta multipli
cis, et multiplicis ſuperparticularis, vel multipli
cis ſuprapartientis que ſit c. / et arguo ſic / c. non eſt
proportio multiplex / vt patet ex prima concluſio-
ne huius: nec eſt ſuperparticularis: aut ſuprapar
tiens vt patet ex ſecunda: igitur erit multiplex ſu
perparticularis, aut multiplex ſuprapartiens: ſꝫ
hoc eſt falſum / igitur c. non eſt pars aliquota pro