Sꝫ contra / q2 in tali ſenſu capiendo
eã non cõcluditur propoſitum ſed ſolum concludi
tur / de qualibet ſpecie proportionis multipli-
cis aliquod indiuiduum eiuſdem ſpeciei non ē cõ-
menſurabile alicui ſuperparticulari, aut ſupraꝑ
tienti etc. / et adhuc vix id poteſt haberi contra pro
teruum. ¶ Sed diceret nicholaus / ſatis ei ē ha-
bere / vna proportio dupla non eſt commenſura
bilis alicui proportioni non multiplici rationali /
quoniam cuꝫ omnes duple ſint equales. quicquid
non eſt commenſurabile vni certe non eſt commē-
ſurabile alteri. Et certo credo / in hoc fundatur
principaliter deductio illarum concluſionū qua-
rum fundamenta ſumuntur ex euclide ſeptimo et
octauo elementorum. Notum eni3 eſt / ſi aliquid
eſt īcommenſurabile vni equalium etiam cuilibet
erit incommenſurabile: quoniam omnia equalia
ex equalibus adequate componuntur.
eã non cõcluditur propoſitum ſed ſolum concludi
tur / de qualibet ſpecie proportionis multipli-
cis aliquod indiuiduum eiuſdem ſpeciei non ē cõ-
menſurabile alicui ſuperparticulari, aut ſupraꝑ
tienti etc. / et adhuc vix id poteſt haberi contra pro
teruum. ¶ Sed diceret nicholaus / ſatis ei ē ha-
bere / vna proportio dupla non eſt commenſura
bilis alicui proportioni non multiplici rationali /
quoniam cuꝫ omnes duple ſint equales. quicquid
non eſt commenſurabile vni certe non eſt commē-
ſurabile alteri. Et certo credo / in hoc fundatur
principaliter deductio illarum concluſionū qua-
rum fundamenta ſumuntur ex euclide ſeptimo et
octauo elementorum. Notum eni3 eſt / ſi aliquid
eſt īcommenſurabile vni equalium etiam cuilibet
erit incommenſurabile: quoniam omnia equalia
ex equalibus adequate componuntur.
Sed contra diceret proteruus / quia
dabiles ſunt due proportiones equales et tamen
aliqua proportio eſt pars vnius: et nec illa nec ali
qua equalis ei eſt pars alterius: igitur non eſt in-
conueniens aliquas duas proportiones eſſe equa
les: et aliquid eſſe partem vnius et nec illud nec tã
tum eſſe partem alterius: et per conſequens pari
ratione poſſet dici / quamuis omnes duple ſint
equales: aliquid tamen eſt pars aliquota vnius /
quod non eſt pars aliquota alterius nec tantum:
quemadmodum aliqua proportio eſt pars alicu-
ius proportionis duple: et tamen nec illa. nec ei eq̈
lia eſt pars alterius duple. Probatur aſſumptuꝫ
de his duabus duplis quarum vna eſt .8. ad .4. et
altera .2. ad .1. Nam illa que eſt .8. ad .4. componi-
tur ex ꝓportione ſexquialtera et ſexquitertia que
mediant inter ſua extrema: illa vero que eſt duoꝝ
ad vnum ex nulla ſexquialtera aut ſexquitertia cõ
ponitur: quoniam nullus numerus mediat inter
extrema illius. Nec valet dicere / quamius nõ me
diat numerus mediat tamen vnitas cum fractio-
ne aliqua: et illud ſufficit: quoniam vnitatis cum
dimidio ad vnitatem eſt proportio ſexquialtera:
Quoniaꝫ iam tunc haberem / alicuius ꝓportio-
nis ſexquialtere vnitas eſt alterum extremum / qḋ
ipſe negare videtur. Et etiam habito illo: iam de-
ſtruitur totus modus procedendi et ꝓbandi illas
concluſiones et etiam quintã. Fundatur enim pro
batio illius quinte concluſionis in hoc: īter nu
lius proportionis ſuperparticularis primos nu-
meros reperitur aliqua ꝓportio rationalis que
ſit pars eius. Modo illud eſt falſum vtendo fra-
ctione vnitatis: inter .5. eī et .6. mediant .5. cū dimi
dio. Item eſto / inter primos numeros ꝓportio-
nis ſuperparticularis non mediat aliquis nume
rus mediat tamen inter non primos: et diceret ꝓ-
teruus / proportio ſuperparticularis inter non
primos numeros componitur ex aliquot rationa
libus quibus eſt commenſurabilis: et tamen ipſa
proportio inter primos numeros conſtituta non
componitur ex talibus. Nec valet dicere / non eſt
imaginabile / aliqua duo ſint equalia: et tamen
aliquid ſit pars aliquota vnius et nullum tantuꝫ
ſit pars aliquota alterius. quoniam diceret ꝓter
uus illud non eſſe imaginabile in quantitatibus
continuis: ſed bene eſſe imaginabile in ꝓportioni
bus quoniam impoſſibile eſt dare duas quantita
tes cõtinuas equales: et aliquid ſit pars vnius
ſiue aliquota ſiue non. et nullum tantuꝫ ſit pars
alterius: et tamen illud datur in proportionibus
Duarum enim intelligentiarum ad vnam intelli-
gentiam eſt proportio dupla que non componi-
tur ex ſexquialtera et ſexquitertia nec cum fractio
ne nec ſine. et tamen proportio dupla ei equalis .4.
ad duo componitur ex ſexquialtera et ſexquiter-
tia / vt patet. 11Aduerte ¶ Hic tamen tu aduerte / hee conclu
ſiones cum demonſtrationibus ſuis dependēt ex
octaua propoſitione octaui elementorum euclidis
que dependet ex .35. ſeptimi, et .14. et .18. et .21. ſepti
mi et tertia octaui. Et ideo difficilis eſt demonſtra
tio harum concluſionum: quia ex multis depēdēt
22eu. 8. ele. Dicit tamen euclides in propoſitione allegata
ſi inter aliquos numeros non primos alicuius ꝓ
portionis reperiuntur aliqui numeri cõtinuo pro
portionabiles: totidē inter primos numeros eiuſ
dem proportionis reperiuntur. Et ideo tu ipſe ef-
ficatiores demonſtrationes inquire.
dabiles ſunt due proportiones equales et tamen
aliqua proportio eſt pars vnius: et nec illa nec ali
qua equalis ei eſt pars alterius: igitur non eſt in-
conueniens aliquas duas proportiones eſſe equa
les: et aliquid eſſe partem vnius et nec illud nec tã
tum eſſe partem alterius: et per conſequens pari
ratione poſſet dici / quamuis omnes duple ſint
equales: aliquid tamen eſt pars aliquota vnius /
quod non eſt pars aliquota alterius nec tantum:
quemadmodum aliqua proportio eſt pars alicu-
ius proportionis duple: et tamen nec illa. nec ei eq̈
lia eſt pars alterius duple. Probatur aſſumptuꝫ
de his duabus duplis quarum vna eſt .8. ad .4. et
altera .2. ad .1. Nam illa que eſt .8. ad .4. componi-
tur ex ꝓportione ſexquialtera et ſexquitertia que
mediant inter ſua extrema: illa vero que eſt duoꝝ
ad vnum ex nulla ſexquialtera aut ſexquitertia cõ
ponitur: quoniam nullus numerus mediat inter
extrema illius. Nec valet dicere / quamius nõ me
diat numerus mediat tamen vnitas cum fractio-
ne aliqua: et illud ſufficit: quoniam vnitatis cum
dimidio ad vnitatem eſt proportio ſexquialtera:
Quoniaꝫ iam tunc haberem / alicuius ꝓportio-
nis ſexquialtere vnitas eſt alterum extremum / qḋ
ipſe negare videtur. Et etiam habito illo: iam de-
ſtruitur totus modus procedendi et ꝓbandi illas
concluſiones et etiam quintã. Fundatur enim pro
batio illius quinte concluſionis in hoc: īter nu
lius proportionis ſuperparticularis primos nu-
meros reperitur aliqua ꝓportio rationalis que
ſit pars eius. Modo illud eſt falſum vtendo fra-
ctione vnitatis: inter .5. eī et .6. mediant .5. cū dimi
dio. Item eſto / inter primos numeros ꝓportio-
nis ſuperparticularis non mediat aliquis nume
rus mediat tamen inter non primos: et diceret ꝓ-
teruus / proportio ſuperparticularis inter non
primos numeros componitur ex aliquot rationa
libus quibus eſt commenſurabilis: et tamen ipſa
proportio inter primos numeros conſtituta non
componitur ex talibus. Nec valet dicere / non eſt
imaginabile / aliqua duo ſint equalia: et tamen
aliquid ſit pars aliquota vnius et nullum tantuꝫ
ſit pars aliquota alterius. quoniam diceret ꝓter
uus illud non eſſe imaginabile in quantitatibus
continuis: ſed bene eſſe imaginabile in ꝓportioni
bus quoniam impoſſibile eſt dare duas quantita
tes cõtinuas equales: et aliquid ſit pars vnius
ſiue aliquota ſiue non. et nullum tantuꝫ ſit pars
alterius: et tamen illud datur in proportionibus
Duarum enim intelligentiarum ad vnam intelli-
gentiam eſt proportio dupla que non componi-
tur ex ſexquialtera et ſexquitertia nec cum fractio
ne nec ſine. et tamen proportio dupla ei equalis .4.
ad duo componitur ex ſexquialtera et ſexquiter-
tia / vt patet. 11Aduerte ¶ Hic tamen tu aduerte / hee conclu
ſiones cum demonſtrationibus ſuis dependēt ex
octaua propoſitione octaui elementorum euclidis
que dependet ex .35. ſeptimi, et .14. et .18. et .21. ſepti
mi et tertia octaui. Et ideo difficilis eſt demonſtra
tio harum concluſionum: quia ex multis depēdēt
22eu. 8. ele. Dicit tamen euclides in propoſitione allegata
ſi inter aliquos numeros non primos alicuius ꝓ
portionis reperiuntur aliqui numeri cõtinuo pro
portionabiles: totidē inter primos numeros eiuſ
dem proportionis reperiuntur. Et ideo tu ipſe ef-
ficatiores demonſtrationes inquire.
Octaua concluſio.
Si fuerint tres
termini continuo proportionabiles geometri-
ce erit proportio extremi ad extremum dupla ad
vtrã intermediam. et ſi fuerint .4. tripla, ſi .5. q̈-
drupla: et ſic in infinitum. ſemper vno minus. hoc
eſt ſi fuerint decem termini non erit ꝓportio decu
pla extremi ad extremum: ſed noncupla. Proba-
tur: quoniam ſi ſunt tres termini continuo ꝓpor-
tionabiles: reperientur ibi due ꝓportiones equa
les ex quibus adequate componitur ꝓportio ex-
tremi ad extremum: et ſi quatuor tres. et ſi quin
quatuor / et ſic conſequenter. Modo omne compo-
ſitum ex duobus equalibus adequate eſt duplum
ad quodlibet illorum, et ex tribus tripluꝫ, et ſic cõ
ſequenter / vt patet ex quinta ſuppoſitione quarti
capitis huius partis: igitur cõcluſio vera: 33 eu. 5. ele.
ior. 2. ele.
Ne hoc
p̄tereas. ¶ Et hec
eſt decima diffinitio quinti elementorum euclidis
et quinta diffinitio ſecundi elementorum iordani
¶ Et aduerte / quotienſcun allego euclidē: ſem
per vtor noua traductione. Bartholomei3 am-
berti.
termini continuo proportionabiles geometri-
ce erit proportio extremi ad extremum dupla ad
vtrã intermediam. et ſi fuerint .4. tripla, ſi .5. q̈-
drupla: et ſic in infinitum. ſemper vno minus. hoc
eſt ſi fuerint decem termini non erit ꝓportio decu
pla extremi ad extremum: ſed noncupla. Proba-
tur: quoniam ſi ſunt tres termini continuo ꝓpor-
tionabiles: reperientur ibi due ꝓportiones equa
les ex quibus adequate componitur ꝓportio ex-
tremi ad extremum: et ſi quatuor tres. et ſi quin
quatuor / et ſic conſequenter. Modo omne compo-
ſitum ex duobus equalibus adequate eſt duplum
ad quodlibet illorum, et ex tribus tripluꝫ, et ſic cõ
ſequenter / vt patet ex quinta ſuppoſitione quarti
capitis huius partis: igitur cõcluſio vera: 33 eu. 5. ele.
ior. 2. ele.
Ne hoc
p̄tereas. ¶ Et hec
eſt decima diffinitio quinti elementorum euclidis
et quinta diffinitio ſecundi elementorum iordani
¶ Et aduerte / quotienſcun allego euclidē: ſem
per vtor noua traductione. Bartholomei3 am-
berti.
Nona concluſio
Nulla proportio ra
tionalis habet ſubduplam rationalem. niſi habe
at numerū mediū ꝓportionabilem inter ſua extre
ma: et ſi non habet talem numerum non habet ſub
quadruplam proportionem rationalem, nec ſub
octuplam: nec ſubſexdecuplam: et ſic in infinitum
procedendo per numeros pariter. Proba
tur prima pars huius concluſionis: quia ſi nõ de-
tur oppoſitum videlicet / aliqua proportio ha-
beat ſubduplam rationaleꝫ que non habet nume
rum medium ꝓportionabilem inter ſua extrema:
et ſit illa a. / et arguo ſic / a. proportio habet ꝓpor-
tionem ſubduplam rationalem que ſit f. gratia ex
empli: igitur a. proportio componitur ex duplici
f: adequate et per conſequēs vna illaruꝫ f. erit ma
ioris extremi ipſius a. ad aliquem numerum inter
medium: et altera eiuſdem numeri intermedii ad
aliud extremum minus eiuſdem a. ꝓportionis: et
per conſequens ille numerus intermedius erit me
dio loco proportionabilis / vt patet ex diffinitiõe
numeri medio loco proportionabilis / quod eſt op
poſitum dati. Iam probatur ſecunda pars: quo-
niam ſi inter terminos date ꝓportionis rationa
lis non fuerit numerus qui ſit medium proportio
nale: iam ibi non reperiuntur quin numeri cõti-
nuo proportionabiles geometrice: et ſi non ſunt
ibi quin numeri cõtinuo proportionabiles geo
metrice: iam extremi ad extremum non erit ꝓpor-
tio quadrupla ad aliquam proportionem ratio-
tionalis habet ſubduplam rationalem. niſi habe
at numerū mediū ꝓportionabilem inter ſua extre
ma: et ſi non habet talem numerum non habet ſub
quadruplam proportionem rationalem, nec ſub
octuplam: nec ſubſexdecuplam: et ſic in infinitum
procedendo per numeros pariter. Proba
tur prima pars huius concluſionis: quia ſi nõ de-
tur oppoſitum videlicet / aliqua proportio ha-
beat ſubduplam rationaleꝫ que non habet nume
rum medium ꝓportionabilem inter ſua extrema:
et ſit illa a. / et arguo ſic / a. proportio habet ꝓpor-
tionem ſubduplam rationalem que ſit f. gratia ex
empli: igitur a. proportio componitur ex duplici
f: adequate et per conſequēs vna illaruꝫ f. erit ma
ioris extremi ipſius a. ad aliquem numerum inter
medium: et altera eiuſdem numeri intermedii ad
aliud extremum minus eiuſdem a. ꝓportionis: et
per conſequens ille numerus intermedius erit me
dio loco proportionabilis / vt patet ex diffinitiõe
numeri medio loco proportionabilis / quod eſt op
poſitum dati. Iam probatur ſecunda pars: quo-
niam ſi inter terminos date ꝓportionis rationa
lis non fuerit numerus qui ſit medium proportio
nale: iam ibi non reperiuntur quin numeri cõti-
nuo proportionabiles geometrice: et ſi non ſunt
ibi quin numeri cõtinuo proportionabiles geo
metrice: iam extremi ad extremum non erit ꝓpor-
tio quadrupla ad aliquam proportionem ratio-