1
notus, & ita extendemus per totum annum. Cum uerò fuerit g ele
uatus erit, ut demonſtratum eſt, in circulo magno uerticali, ergo an
gulus fiet in eodem circulo, quia gnomo eſt etiam in illius ſuperfi
cie. Ergo angulus erit æqualis angulo, quem faceret ſol, ſi oriretur
136[Figure 136]
in puncto horizontis, quem ſecat circulus
uerticalis ſub ea altitudine: ſed his eſt no
tus: nam in priore figura g h f eſt notus ea
dem ratione, qua f, & ideò ei oppoſitus k h n,
& k rectus, eſt enim f polus b d, & h k decli
natio nota ergo k n, & h n notæ. At e k, &
g h fuere notæ. Ergo e n, & g n, quare reſi
duæ n l & n b notæ. Eſt autem angulus l
rectus. ergo ortus amplitudo puncti l nota
ſcilicet arcus l b, ergo in præſenti figura angulus m h b, ergo k h l.
igitur poterimus ſtatuere angulos umbrarum, & iam poſſumus
determinare magnitudinem: ergo punctum ad unguem umbrę qua
libet hora, & parte horæ ſingulis diebus in quacunque regione datæ
altitudinis poli uerſa, & rects. In cylindrica autem eodem modo ſi
cut in uerſa, eſt enim ſpecies umbrę uerſę, niſi quod analema ob ob
liquitatem cylindri melius aptatur, rotundum ſcilicet cum rotundo.
notus, & ita extendemus per totum annum. Cum uerò fuerit g ele
uatus erit, ut demonſtratum eſt, in circulo magno uerticali, ergo an
gulus fiet in eodem circulo, quia gnomo eſt etiam in illius ſuperfi
cie. Ergo angulus erit æqualis angulo, quem faceret ſol, ſi oriretur
136[Figure 136]in puncto horizontis, quem ſecat circulus
uerticalis ſub ea altitudine: ſed his eſt no
tus: nam in priore figura g h f eſt notus ea
dem ratione, qua f, & ideò ei oppoſitus k h n,
& k rectus, eſt enim f polus b d, & h k decli
natio nota ergo k n, & h n notæ. At e k, &
g h fuere notæ. Ergo e n, & g n, quare reſi
duæ n l & n b notæ. Eſt autem angulus l
rectus. ergo ortus amplitudo puncti l nota
ſcilicet arcus l b, ergo in præſenti figura angulus m h b, ergo k h l.
igitur poterimus ſtatuere angulos umbrarum, & iam poſſumus
determinare magnitudinem: ergo punctum ad unguem umbrę qua
libet hora, & parte horæ ſingulis diebus in quacunque regione datæ
altitudinis poli uerſa, & rects. In cylindrica autem eodem modo ſi
cut in uerſa, eſt enim ſpecies umbrę uerſę, niſi quod analema ob ob
liquitatem cylindri melius aptatur, rotundum ſcilicet cum rotundo.
Co^{m}.
Per 28. li. 4.
loan. de Mon
teregij de
Triang.
loan. de Mon
teregij de
Triang.
Per 123.
uel 124.
Propoſ.
uel 124.
Propoſ.
Prop. 123.
Corol. 1.
Corol. 1.
Per 127.
Propoſ.
Propoſ.
Per 15. pri
mi Elem.
mi Elem.
Propoſitio centeſima trigeſima prima.
Si lineæ alicui dupla alterius adiungatur, erit proportio duarum ad
primam maior, quam dupli, cum prima ad primam cum una adiecta.
primam maior, quam dupli, cum prima ad primam cum una adiecta.
Sit a b linea, cui adiecta ſit b c, & rurſus ad b c c d æqualis b c
dico, quod proportio a c ad a b eſt maior, quàm a d ad a c. Propor
tio enim c d ad c a minor eſt, quàm ad a b per octauam quinti E
lementorum. Ergo minor d c ad c a quàm c b ad a b, quia b c & c d
ſunt æquales, ideò æqualem habent proportionem
ad a b: igitur coniungendo per 28. Quinti propor
137[Figure 137]
tio d a ad a c minor, quam c a ad a b, quod erat demonſtrandum.
dico, quod proportio a c ad a b eſt maior, quàm a d ad a c. Propor
tio enim c d ad c a minor eſt, quàm ad a b per octauam quinti E
lementorum. Ergo minor d c ad c a quàm c b ad a b, quia b c & c d
ſunt æquales, ideò æqualem habent proportionem
ad a b: igitur coniungendo per 28. Quinti propor
137[Figure 137]tio d a ad a c minor, quam c a ad a b, quod erat demonſtrandum.
Com.
Per 7. quin
ti Elem.
ti Elem.
Propoſitio centeſima trigeſima ſecunda.
Si ad duas lineas, quarum una alteri dupla ſit eadem linea adda
tur erit aggregati ex minore, & a d adiecta ad ipſam minorem minor
proportio quam aggregati ex maiore, & adiecta ad ipſam maio
rem duplicata.
tur erit aggregati ex minore, & a d adiecta ad ipſam minorem minor
proportio quam aggregati ex maiore, & adiecta ad ipſam maio
rem duplicata.
Com.
Sint duæ lineę a b, & c d.
& ſit c d dupla ad a b, ad datur communis
138[Figure 138]
b e, & uocetur iuncta c d, d f dico,
quod proportio e a ad a b, eſt mi
nor duplicata f c ad c d, adijcia
tur d f æqualis g f, quia ergo g d
eſt dupla ad f d, ideo ad e b c d autem eſt dupla ad a b, tota igitur
138[Figure 138]b e, & uocetur iuncta c d, d f dico,
quod proportio e a ad a b, eſt mi
nor duplicata f c ad c d, adijcia
tur d f æqualis g f, quia ergo g d
eſt dupla ad f d, ideo ad e b c d autem eſt dupla ad a b, tota igitur